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Strukturen und Algebra » Polynome » Irreduzibilität in Q[x]
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Universität/Hochschule Irreduzibilität in Q[x]
Shiro
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Dabei seit: 03.10.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-08 15:19

\(\begingroup\)
Hallo,

Und zwar gehts bei dem dieswöchigem Übungsblatt darum, Polynome auf Irreduziblität in Q[x] zu prüfen, darunter auch
$ f(x) = x^{4} + 3x^{3} + 5x^2 + 7x + 9 $

Das Problem ist dass ich nicht weiß wie man das hier macht, da Nullstellensatz nicht funktioniert, genauso wenig Eisenstein oder Reduktionskriterium (oder zumindest wüsste ich nicht wie ich das damit mache, reduziert bleibt die höchste Potenz immer noch 4, weswegen ich keinen Nullstellensatz anwenden kann, und Eisenstein funktioniert bei reduzierten Polynomen soweit ich das gesehen hab auch nicht)

Kann mir da wer weiterhelfen?
\(\endgroup\)


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targon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Mitteilungen: 83
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-08 15:38

\(\begingroup\) \(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\norm}[1]{\mathop{}\left\lVert\,#1\,\right\rVert}\newcommand{\abs}[1]{\mathop{}\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand{\eins}[1]{\textbf{1}_{\left\{ #1 \right\}}}\)
Hi Shiro,

manchmal gibt es keinen Satz und man muss ausprobieren: nehmen wir an es wäre reduzibel, dann gibt es 2 Polynome vom Grad 3 und 1 oder vom Grad 2 und 2, die aneinandermultipliziert dein Polynom ergeben. Der erste Fall bedeutet, dass dein Polynom eine reelle Nullstelle hat. Da der konstante Faktor so groß ist und der Grad gerade vermutet man schnell, dass das nicht sein kann (alternativ hilft auch ableiten und das einsetzen von ein paar Punkten um das einzusehen). Das heißt, es kann nur von Polynomen mit Grad 2 geteilt werden, also
\[x^4 + 3 x^3 + 5 x^2 + 7x + 9 = \big(a_2 x^2 + a_1 x + a_0\big) \big(b_2 x^2 + b_1 x + b_0 \big) ,\] wobei die \(a\) und \(b\) natürlich aus \(\Q\) sind. Multipliziere rechts aus und stelle fest, dass das nicht geht (du kannst dir das Leben einfach machen und ohne Einschränkung annehmen, dass \(a_2 = b_2 =1\) (wieso?) gilt).
Gruß
Targon
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-11-08 15:53

\(\begingroup\)
2018-11-08 15:19 - Shiro im Themenstart schreibt:
Das Problem ist dass ich nicht weiß wie man das hier macht, da Nullstellensatz nicht funktioniert, genauso wenig Eisenstein oder Reduktionskriterium

Versteh ich nicht. Hast du denn schon das Reduktionskriterium mit $p=2$ probiert?
\(\endgroup\)


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Shiro
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Mitteilungen: 4
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-08 20:52

\(\begingroup\)
Hallo, zuerst einmal danke für die schnellen Antworten


Versteh ich nicht. Hast du denn schon das Reduktionskriterium mit $p=2$ probiert?

Wenn ich das mache, dann erhalte ich das Polynom
$ x^4+x^3+x^2+x+1 $ in Z/(2)[x], aber damit weiß ich nicht viel anzufangen, weil ich darauf auch weder Nullstellensatz noch Eisenstein anwenden kann.


 Das heißt, es kann nur von Polynomen mit Grad 2 geteilt werden, also
$ x^4+3x^3+5x^2+7x+9=(a_2x^2+a_1x+a_0)(b_2x^2+b_1x+b_0) $,
wobei die a und b natürlich aus Q sind
Daran hatte ich nicht gedacht, mit Koeffizientenvergleich hab ichs jetzt aber hinbekommen, vielen Dank
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-08 20:59

\(\begingroup\)
Ich geb mal noch kurz meinen Senf dazu und sage, dass zuerst Reduktion mod 2 und dann Koeff.vergleich das Rechnen leichter gemacht hätte. Das kann man durchaus probieren.
Man muss nur aufpassen, da irreduzible Polynome nach Reduktion reduzibel werden können. Z.B. Ist $x^2+1$ irreduzibel über $\mathbb Q$, aber über Z/2 haben wir $x^2+1=(x+1)^2$.

Aber auch immer gut zu wissen sind die irreduziblen Polynome vom Grad 2 über Z/2. Da gibts nicht so viele, um genau zu sein nur $f=x^2+x+1$. Würde also ein Polynom vom Grad 4 über Z/2 in 2 irreduzible Polynome vom Grad 2 zerfallen, so wäre es $f^2$!
\(\endgroup\)


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Dune
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Aus: Rostock
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-09 01:55

\(\begingroup\)
Hi Shiro,

man kann das Reduktionskriterium auch wunderbar für verschiedene Primzahlen kombinieren:

Bei Reduktion modulo 2 sehen wir sofort, dass f keinen Teiler vom Grad 1 besitzt. Bei Reduktion modulo 3 sehen wir auf der anderen Seite sehr leicht, dass f keinen Teiler vom Grad 2 besitzt. Also muss f über \( \mathbb{Z} \) irreduzibel sein.

VG Dune
\(\endgroup\)


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