Die Mathe-Redaktion - 20.01.2019 08:36 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAward-Abstimmung ab 3.1.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 369 Gäste und 8 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Polynome » Irreduzibilität in Q[x]
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Irreduzibilität in Q[x]
Shiro
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.10.2018
Mitteilungen: 4
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-08

\(\begingroup\)
Hallo,

Und zwar gehts bei dem dieswöchigem Übungsblatt darum, Polynome auf Irreduziblität in Q[x] zu prüfen, darunter auch
$ f(x) = x^{4} + 3x^{3} + 5x^2 + 7x + 9 $

Das Problem ist dass ich nicht weiß wie man das hier macht, da Nullstellensatz nicht funktioniert, genauso wenig Eisenstein oder Reduktionskriterium (oder zumindest wüsste ich nicht wie ich das damit mache, reduziert bleibt die höchste Potenz immer noch 4, weswegen ich keinen Nullstellensatz anwenden kann, und Eisenstein funktioniert bei reduzierten Polynomen soweit ich das gesehen hab auch nicht)

Kann mir da wer weiterhelfen?
\(\endgroup\)


Wahlurne Für Shiro bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
targon
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.04.2016
Mitteilungen: 83
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-08

\(\begingroup\) \(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\norm}[1]{\mathop{}\left\lVert\,#1\,\right\rVert}\newcommand{\abs}[1]{\mathop{}\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand{\eins}[1]{\textbf{1}_{\left\{ #1 \right\}}}\)
Hi Shiro,

manchmal gibt es keinen Satz und man muss ausprobieren: nehmen wir an es wäre reduzibel, dann gibt es 2 Polynome vom Grad 3 und 1 oder vom Grad 2 und 2, die aneinandermultipliziert dein Polynom ergeben. Der erste Fall bedeutet, dass dein Polynom eine reelle Nullstelle hat. Da der konstante Faktor so groß ist und der Grad gerade vermutet man schnell, dass das nicht sein kann (alternativ hilft auch ableiten und das einsetzen von ein paar Punkten um das einzusehen). Das heißt, es kann nur von Polynomen mit Grad 2 geteilt werden, also
\[x^4 + 3 x^3 + 5 x^2 + 7x + 9 = \big(a_2 x^2 + a_1 x + a_0\big) \big(b_2 x^2 + b_1 x + b_0 \big) ,\] wobei die \(a\) und \(b\) natürlich aus \(\Q\) sind. Multipliziere rechts aus und stelle fest, dass das nicht geht (du kannst dir das Leben einfach machen und ohne Einschränkung annehmen, dass \(a_2 = b_2 =1\) (wieso?) gilt).
Gruß
Targon
\(\endgroup\)


Wahlurne Für targon bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4422
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-11-08

\(\begingroup\)
2018-11-08 15:19 - Shiro im Themenstart schreibt:
Das Problem ist dass ich nicht weiß wie man das hier macht, da Nullstellensatz nicht funktioniert, genauso wenig Eisenstein oder Reduktionskriterium

Versteh ich nicht. Hast du denn schon das Reduktionskriterium mit $p=2$ probiert?
\(\endgroup\)


Wahlurne Für weird bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Shiro
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.10.2018
Mitteilungen: 4
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-08

\(\begingroup\)
Hallo, zuerst einmal danke für die schnellen Antworten


Versteh ich nicht. Hast du denn schon das Reduktionskriterium mit $p=2$ probiert?

Wenn ich das mache, dann erhalte ich das Polynom
$ x^4+x^3+x^2+x+1 $ in Z/(2)[x], aber damit weiß ich nicht viel anzufangen, weil ich darauf auch weder Nullstellensatz noch Eisenstein anwenden kann.


 Das heißt, es kann nur von Polynomen mit Grad 2 geteilt werden, also
$ x^4+3x^3+5x^2+7x+9=(a_2x^2+a_1x+a_0)(b_2x^2+b_1x+b_0) $,
wobei die a und b natürlich aus Q sind
Daran hatte ich nicht gedacht, mit Koeffizientenvergleich hab ichs jetzt aber hinbekommen, vielen Dank
\(\endgroup\)


Wahlurne Für Shiro bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
supermonkey
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 218
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-08

\(\begingroup\)
Ich geb mal noch kurz meinen Senf dazu und sage, dass zuerst Reduktion mod 2 und dann Koeff.vergleich das Rechnen leichter gemacht hätte. Das kann man durchaus probieren.
Man muss nur aufpassen, da irreduzible Polynome nach Reduktion reduzibel werden können. Z.B. Ist $x^2+1$ irreduzibel über $\mathbb Q$, aber über Z/2 haben wir $x^2+1=(x+1)^2$.

Aber auch immer gut zu wissen sind die irreduziblen Polynome vom Grad 2 über Z/2. Da gibts nicht so viele, um genau zu sein nur $f=x^2+x+1$. Würde also ein Polynom vom Grad 4 über Z/2 in 2 irreduzible Polynome vom Grad 2 zerfallen, so wäre es $f^2$!
\(\endgroup\)


Wahlurne Für supermonkey bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dune
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.03.2009
Mitteilungen: 3031
Aus: Rostock
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-09

\(\begingroup\)
Hi Shiro,

man kann das Reduktionskriterium auch wunderbar für verschiedene Primzahlen kombinieren:

Bei Reduktion modulo 2 sehen wir sofort, dass f keinen Teiler vom Grad 1 besitzt. Bei Reduktion modulo 3 sehen wir auf der anderen Seite sehr leicht, dass f keinen Teiler vom Grad 2 besitzt. Also muss f über \( \mathbb{Z} \) irreduzibel sein.

VG Dune
\(\endgroup\)


Wahlurne Für Dune bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]