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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Äquivalenzklassen bestimmen
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Universität/Hochschule J Äquivalenzklassen bestimmen
Mere123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-08


Hallo,

Ich versuche schon seit geraumer Zeit das Thema Äquivalenzklassen zu verstehen, schaff es aber trotz zig Internetseiten, Videos, Beispiele anschauen nicht. Bei einfachen Äquivalenzrelationen verstehe ich ja noch, wie man drauf kommen. Wir machen gerade jedoch Äquivalenzrelationen aus zwei Tupeln also:
(x1,y1) ~ (x2,y2) :<-> (Es existiert ein a > 0: (x2,y2)=(ax1,ay1)

Alles auf der Menge R^2.
Das das eine Äquivalenzrelationen ist konnte ich noch zeigen, jetzt sollen wir jedoch die Äquivalenzklassen [(x, y)] geometrisch darstellen und ich hab keine Ahnung wie das geht. Über Tipps wär ich dankbar.

Lg Mere



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-08

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Hallo,


(x1,y1) ~ (x2,y2) :<-> (Es existiert ein a > 0: (x2,y2)=(ax1,ay1)

Nimm mal den Punkt $(1,1)\in\mathbb{R}^2$.
Welche Punkte sind zu $(1,1)$ äquivalent?

Schreibe mal ein paar auf.
Trage diese Punkte in ein Koordinatensystem ein.
Was fällt auf?

Danach kannst du es mit einem anderem Punkt probieren und Punkte hinschreiben die dazu äquivalent sind.
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Mere123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09


Dann müsste doch eine Ursprungsgerade mit der Steigung 1 rauskommen oder? Mein Problem ist momentan, dass ich nicht weiß wie ich mit solchen Tupeln umgehen kann. Muss ich immer die gleichen Zahlenwerte ins erste Tupel eintragen? Ansonsten ist die Relation doch nicht darstellbar da man 2 Tupel à 4 Zahlen und nur zwei Koordinatenachsen hat. Die x-Koordinaten-Achse entspricht dann dem ersten Tupel oder? Ich bin verwirrt :/ Ich hoff dass nicht alles falsch is, was ich gerade schreibe. enn ich jetzt für x1,y1 eins einsetze, dann können für das erste Tupel doch alle möglichen Werte x1=y1 rauskommen, da das erste Tupel doch ist (a*x1,b*y1). Im zweiten Tupel müssen doch folglich die gleichen Zahlenpaare stehen, also auch a*1,b*1 oder? Entschuldige mich, wenn ich vieles überhaupt nicht verstehe.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-09

\(\begingroup\)

Dann müsste doch eine Ursprungsgerade mit der Steigung 1 rauskommen oder?

Nicht ganz, aber fast.

Wir wollen ja die Äquivalenzklasse von dem Punkt (1,1) geometrisch darstellen.
Wenn dies die gesamte Ursprungsgerade nimmt, dann trifft man auch Punkte, die nicht zu (1,1) äquivalent sind.

Damit ein Punkt $(x,y)$ zu (1,1) äquivalent ist, muss es es eine positive reelle Zahl $a$ geben so, dass $(ax, ay)=(1,1)$.

Der Punkt $(-1,-1)$ liegt auch auf der Ursprungsgeraden, also der Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x$.
Es gibt aber keine positive(!) Zahl so, dass $(-a, -a)=(1,1)$, wobei ich $x=y=-1$ gesetzt habe, da wir ja gerade den Punkt $(-1,-1)$ betrachten.

Also sind (-1,-1) und (1,1) nicht äquivalent bezüglich der gegebenen Äquivalenzrelation.
Vor allem liegen sie in verschiedenen Äquivalenzklassen.
Denn wie du vielleicht weißt, sind Äquivalenzklassen entweder gleich, oder disjunkt.


Welche Punkte wären zu $(-2, \tfrac12)$ äquivalent?
Welche Punkte wären zu $(0,0)$ äquivalent.


Die x-Koordinaten-Achse entspricht dann dem ersten Tupel oder?

Nein. Vielleicht kommst du auch nur mit den Begriffen gerade durcheinander?
Es ist so wie immer. Das Koordinatensystem beschreibt, wie du es aus der Schule kennst den $\mathbb{R}^2$. Du nimmst nun einen Punkt/Tupel/Paar $(x_1, x_2)\in\mathbb{R}^2$. $x_1$ wäre dabei die x-Koordinate und $x_2$ die y-Koordinate.
Der Punkt $(1,1)$ wird dann ganz normal im Koordinatensystem eingezeichnet.


Muss ich immer die gleichen Zahlenwerte ins erste Tupel eintragen?

Das kommt darauf an.
Wenn du herausfinden möchtest, welche Paare zu einem gegebenen Paar $(x_1, x_2)$ äquivalent sind, dann schon.


Wenn ich jetzt für x1,y1 eins einsetze, dann können für das erste Tupel doch alle möglichen Werte x1=y1 rauskommen

Nein. Es sind nicht alle Punkte (x_1, y_1) zu (1,1) äquivalent wenn $x_1=y_1$ gilt.
Ich habe oben erklärt warum.


da das erste Tupel doch ist (a*x1,b*y1). Im zweiten Tupel müssen doch folglich die gleichen Zahlenpaare stehen, also auch a*1,b*1 oder?

Ich verstehe nicht ganz, was du meinst.
Insbesondere warum du hier noch ein $b$ ins Spiel bringst.
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Mere123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-17


Hey,

Sorry dass ich jetzt erst antworte, war anderweitig beschäftigt. Das mit dem b ist natürlich Unsinn, ich hab mich doof vertippt wink Ich hab bei dem Thema Äquivalenzklassen echt einen hänger, irgendwie macht es bei mir einfach nicht klick, selbst nachdem ich die Lösung bekommen habe. Mir ist jetzt klar, warum es eine Ursprungsgerade ab (0,0) sein muss  also ohne negative Paare, mir ist jedoch immer noch nicht klar, warum andere geraden es nicht auch tun :/ wenn ich z.B. wie du vorgeschlagen hast [(-2,1/2)]~ untersuche, bekomme ich eine Gerade mit der Steigung - 1/2 heraus, indem ich ja einfach immer a*(-2) und a*(1/2) mache. Warum ist das keine Äquivalenzklasse? Es tut mir Leid wegen den vielen Fragen und dass ich einfach so komplett nichts kapiere, was das Thema Äquivalenzklassen angeht. Danke für deine Geduld ;))



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-18

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Mir ist jetzt klar, warum es eine Ursprungsgerade ab (0,0) sein muss

Sowas nennt man auch Halbgerade.


mir ist jedoch immer noch nicht klar, warum andere geraden es nicht auch tun :/

Was nicht tun?
Kannst du das Verständnisproblem genauer beschreiben?


wenn ich z.B. wie du vorgeschlagen hast [(-2,1/2)]~ untersuche, bekomme ich eine Gerade mit der Steigung - 1/2 heraus

Die Halbgerade hätte Steigung -1/4.

Wie oben bereits festgestellt, sind die Äquivalenzklassen eines Punktes gegeben durch die Halbgerade durch (0,0) und den entsprechenden Punkt. Hier (-2, 1/2).

Allerdings liegt (0,0) nicht in der Äquivalenzklasse, in der auch $(-2, 1/2)$  liegt.
Warum nicht?

Das ist nur fürs Zeichnen leichter. Um eine (Halb-)Gerade zu zeichnen, benötigt man ja zwei Punkte. [Man könnte natürlich auch einen anderen Punkt als (0,0) wählen, um die Halbgerade zu zeichnen. Dazu muss man einen anderen Punkt finden, der zu diesem Äquivalent ist. In diesem Fall etwa $(-4, 1)$. Es ist $(-4, 1)\sim (-2, \frac12)$. Denn es gibt ein $a>0$ so, dass $(-2a, \frac12a)=(-4, 1)$. Nämlich $a=2$.


Warum ist das keine Äquivalenzklasse?

Weil wenn du einfach die Gerade mit Steigung -1/4 nimmst, also $-\frac4x$

Dann liegt auch der Punkt $(1, -\frac14)$ auf dieser Geraden.

Aber $(1,-\frac14)$ ist nicht äquivalent zu $(-2, \frac12)$

Denn dazu müsste es ein $a>0$ geben so, dass $1\cdot a=-2$ und $-\frac14\cdot a=\frac12$.

Aber $a$ ist ja positiv. Also kann kein Vorzeichenwechsel stattfinden.
Deshalb können negative Koordinaten grundsätzlich nur zu negativen Koordinaten äquivalent sein.
Und ebenso positive Koordinaten nur zu positiven Koordinaten.

Deshalb erhält man ja auch gerade diese Halbgeraden. die auf die jeweiligen Quadranten des Koordinatensystems beschränkt sind.


Wichtig ist, dass du dir klar machst wie die Äquivalenzrelation definiert ist und vielleicht mal einfach ein paar äquivalente Punkte hinschreibst und in ein Koordinatensystem einzeichnest, um eine Intuition zu bekommen.
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Mere123
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Okay ich glaube ich hab es mittlerweile verstanden. Vielen Dank :)



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