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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Äquivalenzen Surjektivität
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Universität/Hochschule Äquivalenzen Surjektivität
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-08 23:37

\(\begingroup\)
Hallo zusammen!

Folgendes soll bewiesen werden:

Sei $f: A \to B$ eine Abbildung. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) f ist surjektiv

(ii) Für alle Mengen $X$ und alle Abbildungen $g,h: B \to X$ folgt aus $g \circ f = h \circ f$ bereits $g = h$.


(i) => (ii)

Sei nun $b \in B$ beliebig. Wegen der Surjektivität von f $\exists a \in A: f(a) = b$
Nun gilt wegen $g \circ f = h \circ f$, dass $g(f(a)) = h(f(a))$ bzw. $g(b) = h(b)$.
Da b beliebig war, folgt g = h.

Würde diese Richtung so passen?


(ii) => (i)

Hier gehe ich ja wiedre von einem beliebigen $b \in B$ aus.
Wie würde ich nun weitermachen?


Wie immer wäre ich euch sehr dankbar für eure Antworten!


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-08 23:51

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

Der Beweis von (i)=>(ii) passt.

Versuch es mal mit einem Widerspruchsbeweis für die andere Richtung. Also $\lnot(i)\Rightarrow \lnot(ii)$
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-08 23:58

\(\begingroup\)
Hm du meinst einen Beweis durch Kontraposition?
Weil bei einem Beweis durch Widerspruch würde ich ja (ii) annehmen und $\neg (i)$ annehmen und zum Widerspruch führen?
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-09 00:11


Ja, das meinte ich.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09 00:15

\(\begingroup\)
Okay dann verneine ich die Aussagen erst einmal zur Verifizierung:

$\neg (i)$ f ist nicht surjektiv, also gilt $\exists b \in B: \forall a \in A: f(a) \not= b$

$\neg (ii)$ Es existieren Mengen X und Abbildungen g,h: $B \to X$: $g \circ f = h \circ f \wedge g \neq h$


Wäre das so okay? Oder verneine ich bei (ii) nur die Implikation $g \circ f = h \circ f => g = h$ ?
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-09 00:17


Es passt so wie du es geschrieben hast.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-09 00:38

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Der direkte Beweis ist wohl doch ein bisschen schöner.
Nimm dazu an, dass $g$ die charakteristische Funktion des Bildes von $f$ ist.
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09 00:39

\(\begingroup\)
Okay sei nun b mit der Eigenschaft gegeben, dass es nicht im Bild von f enthalten ist. Sei ferner die Menge X = $\{0,1\}$ gegeben.

Definiere nun $g,h: B \to \{0,1\}$ mit
g(x) := 1 $\forall x \in B$
h(x) := 1 $\forall x \in B$ mit $x \neq b$
$h(b) := 0$

Damit ist, da b nicht im Bild von f enthalten ist, $g \circ f = h \circ f$.
Aber es gilt $g \neq h$ nach Definition von g und h.


Wäre dies so ok, oder müsste man den Beweis weiter ausführen?


Viele Grüße,
X3nion

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-11-09 00:41


Der Beweis stimmt so.  smile



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