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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Beweis zu Halbordnung
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Universität/Hochschule Beweis zu Halbordnung
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-08 23:55

\(\begingroup\)
Hallo zusammen!

Folgende Aufgabe ist gegeben:

Sei $X$ eine Menge und $M \subset P(X)$. Dann ist $I \subset M \times M$ mit

$(A,B) \in I: \iff A \subset B$ für $A,B \in M$

eine Halbordnung.

(i) Zeige, dass I eine Halbordnung ist.

(ii) Zeige, dass I im Allgemeinen keine Totalordnung ist.


Zu (i) Zu zeigen ist ja, dass I reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.

Zur Reflexivität: Zu zeigen ist, dass für alle $A \in M$ gilt: $A \subset A$. Sei hierzu $x \in A$ beliebig. Es folgt, dass $x \in A$ ist und somit ist die Inklusion gezeigt. (Eigentlich trivial?)

Zur Transitivität: Zu zeigen ist, dass für alle $A,B,C \in M$ aus $A \subset B$ und $B \subset C$ folgt, dass $A \subset B$.
Sei dazu $x \in A$ beliebig. Nach Voraussetzung gilt dann auch $x \in B$ und ebenso nach Voraussetzung, dass $x \in C$.

Zur Antisymmetrie: Zu zeigen ist: für alle $A,B \in M$ folgt aus $A \subset B$ und $B \subset A$, dass $A = B$. Dies folgt direkt aus den Voraussetzungen $A \subset B$ und $B \subset A$. (eigentlich auch trivial?)



Zu (ii) Betrachte die Menge $X = \{1,2\}$. Dann ist $P(X) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}$. Es müsste für alle $A,B \in M \subset P(X)$ gelten, dass entweder $A \subset B$ oder $B \subset A$.
Betrachte $A = \{1\}, B = \{2\}$. Es gilt weder $\{1\} \subset \{2\}$ noch $\{2\} \subset \{1\}$.



Wäre das so okay?


Wie immer wäre ich für jede Antwort von euch dankbar!


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-09 01:11

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

(i) passt.

Bei (ii) solltest du noch dazu sagen, was $M$ in deinem Gegenbeispiel ist.
\(\endgroup\)


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X3nion
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09 14:01

\(\begingroup\)
Die Menge M wäre $\{\{1\}, \{2\}\}$?


\(\endgroup\)


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 835
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-09 14:33

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Ja, zum Beispiel. Es würde auch mit jeder Obermenge von $\{\{1\},\{2\}\}$ klappen.
\(\endgroup\)


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