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Topologie » Mengentheoretische Topologie » Kompaktheit verstehen
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Universität/Hochschule Kompaktheit verstehen
curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-09 19:41


Hi,

ich schaue mir gerade das Thema Kompaktheit im Rahmen der Maß- u. Integrationstheorie an.

Die Kompaktheit im topologischen Sinne, also, dass eine Überdeckung der Menge <math>K</math> eine endliche Teilüberdeckung hat, finde ich nachvollziehbar. Wobei ich das Wort "Teilüberdeckung" merkwürdig finde, es ist doch trotzdem eine komplette Überdeckung, nur mit endlich-vielen offenen Mengen, richtig? Wieso nennt man es "Teil-"Überdeckung?

Auch unsicher fühle ich mich bei der Kompaktheit in <math>\mathbb{R}^d</math>, auf die das aufbaut.

Zum Beispiel:
Ist in <math>\mathbb{R}</math> die "Menge" <math>([1,2] \cup [3,4])</math> kompakt?

Nenne ich "<math>([1,2] \cup [3,4])</math>" immernoch ein "Intervall" auch wenn es die Vereinigung mehrerer Intervalle ist? Oder kann ich es nur explizit benennen, also als "Vereinigung zweier Intervalle"?

Was wäre ein Beispiel für eine Menge <math>K \subset \mathbb{R}^5</math>, die kompakt ist und wo für <math>x=(x_1, \ldots, x_5)\in \mathbb{R}^5</math>, die <math>x_i</math> für <math>i\in {1, \ldots, 5}</math> Folgen bilden können (was ich ja brauche, um damit zu beweisen, dass die Menge <math>K</math> kompakt ist)?





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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-09 20:17

\(\begingroup\)
Hallo,


Die Kompaktheit im topologischen Sinne, also, dass eine Überdeckung der Menge <math>K</math> eine endliche Teilüberdeckung hat, finde ich nachvollziehbar.

Das ist so nicht richtig.
Es ist wichtig, dass jede(!) offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung hat.

Das Wort "Teilüberdeckung" erklärt man sich wohl so, dass man eine offene Überdeckung hat und davon dann eben einen endlichen Teil nimmt.

Die Menge $[1,2]\cup [3,4]$ ist Kompakt. Denn sie ist beschränkt und abgeschlossen. Das ist der Satz von Heine-Borel

2018-11-09 19:41 - curious_mind im Themenstart schreibt:

Was wäre ein Beispiel für eine Menge <math>K \subset \mathbb{R}^5</math>, die kompakt ist und wo für <math>x=(x_1, \ldots, x_5)\in \mathbb{R}^5</math>, die <math>x_i</math> für <math>i\in {1, \ldots, 5}</math> Folgen bilden können (was ich ja brauche, um damit zu beweisen, dass die Menge <math>K</math> kompakt ist)?


Kannst du den Satz zitieren, den du hier im Sinn hast?
Ich verstehe glaube ich nicht ganz, was du meinst.
\(\endgroup\)


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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-11 13:30


2018-11-09 20:17 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
...
Das Wort "Teilüberdeckung" erklärt man sich wohl so, dass man eine offene Überdeckung hat und davon dann eben einen endlichen Teil nimmt.

Ah, ok. Danke.

2018-11-09 19:41 - curious_mind im Themenstart schreibt:

Was wäre ein Beispiel für eine Menge <math>K \subset \mathbb{R}^5</math>, die kompakt ist und wo für <math>x=(x_1, \ldots, x_5)\in \mathbb{R}^5</math>, die <math>x_i</math> für <math>i\in {1, \ldots, 5}</math> Folgen bilden können (was ich ja brauche, um damit zu beweisen, dass die Menge <math>K</math> kompakt ist)?

2018-11-09 20:17 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
Kannst du den Satz zitieren, den du hier im Sinn hast?
Ich verstehe glaube ich nicht ganz, was du meinst.


Der Satz lautet:
Eine Menge <math>A \subset \mathbb{R}^d</math> heißt kompakt, wenn jede Folge <math>(x_n)</math> mit <math>x_n \in A</math> eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in <math>A</math> hat.







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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-11 13:49

\(\begingroup\)
Muss es denn unbedingt der $\mathbb{R}^5$ sein?

Zum Beispiel ist das offene Intervall $(0,1]\subset\mathbb{R}$ nicht Kompakt.

Denn die Folge $a_n=\frac1n$ liegt in diesem Intervall, aber der Grenzwert ist nicht enthalten.
Denn der Grenzwert ist Null.

Anders gesagt ist $(0,1]$ nicht abgeschlossen.

Außerdem erfüllt ja jede kompakte Teilmenge des $\mathbb{R}^d$ diese Eigenschaft.
Die Frage ist also nicht so gut gestellt.
\(\endgroup\)


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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-11 14:36

\(\begingroup\)
Es wurde noch gefragt, ob $[1,2]\cup[3,4]$ ein Intervall ist. Nein, das ist kein Intervall. Man kann die Kompaktheit dieser Menge mit Heine-Borel begründen, es gilt aber auch allgemeiner, dass die Vereinigung endlich vieler kompakter Teilmengen kompakt ist.


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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-12 11:16


Ja es soll IR^5 sein.Bei einfachen Intervallen aus IR kann ich mir das ja selbst vorstellen, deshalb frage ich nach einem anderen Beispiel.

Die Frage ist gut gestellt, du hast sie wohl nicht verstanden. Ich frage nach einer kompakten Menge in IR^5, nicht nach einer nicht kompakten Menge in IR.



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