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Universität/Hochschule J zyklische Gruppen und Ordnung
Bfg97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-10


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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-10


Was meinst du mit einfallen? Also nach den Sylow-Sätzen gibt es doch (mindestens) eine 2-Sylow mit 8 Elementen, eine 3-Sylow mit 3 Elementen und eine 5-Syow mit 5 Elementen. Meinst du wie die als Permutationsgruppen konkret aussehen, oder zu welchen Gruppen die isomorph sind?



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Bfg97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-10


2018-11-10 16:32 - supermonkey in Beitrag No. 1 schreibt:
Was meinst du mit einfallen? Also nach den Sylow-Sätzen gibt es doch (mindestens) eine 2-Sylow mit 8 Elementen, eine 3-Sylow mit 3 Elementen und eine 5-Syow mit 5 Elementen. Meinst du wie die als Permutationsgruppen konkret aussehen, oder zu welchen Gruppen die isomorph sind?

Das konkrete Aussehen. Leider konnte ich mir nicht selbst welche konstruieren.



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-10


Am einfachsten ist die 5-Sylow. Sie braucht ein Element der Ordnung 5 und ist zyklisch. Fällt dir ein Element der Ordnung 5 ein?



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Bfg97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-10


2018-11-10 17:00 - supermonkey in Beitrag No. 3 schreibt:
Am einfachsten ist die 5-Sylow. Sie braucht ein Element der Ordnung 5 und ist zyklisch. Fällt dir ein Element der Ordnung 5 ein?

Leider nicht. Sylowgruppen und alles, was dazu gehört haben wir bisher noch nicht wirklich behandelt.



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-10


Nimm Deine Lieblingspermutation <math>\neq 1</math> aus <math>S_{5}</math> und berechne bitte ihre Ordnung. Teile das Ergebnis hier mit.



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Dune
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-10


Hi Bfg!

Man muss Sylowgruppen nicht behandelt haben, um welche zu finden. 😉 Untergruppen der Ordnung 3 bzw. 5 findest du mit Sicherheit ohne Probleme alleine. Fang einfach mal an..

Eine Untergruppe der Ordnung 8 zu finden, ist minimal komplizierter. Suche zunächst erstmal nach einer Untergruppe der Ordnung 4. Die lässt sich dann anschließend noch vergrößern.

VG Dune

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Bfg97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-10


2018-11-10 18:18 - Dune in Beitrag No. 6 schreibt:
Hi Bfg!

Man muss Sylowgruppen nicht behandelt haben, um welche zu finden. 😉 Untergruppen der Ordnung 3 bzw. 5 findest du mit Sicherheit ohne Probleme alleine. Fang einfach mal an..

Eine Untergruppe der Ordnung 8 zu finden, ist minimal komplizierter. Suche zunächst erstmal nach einer Untergruppe der Ordnung 4. Die lässt sich dann anschließend noch vergrößern.

VG Dune

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]

Ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie ich eine derartige Gruppe konstruieren könnte, aber ich habe es trotzdem mal verscuht, wobei ich mir überhaupt nicht sicher bin, ob das stimmt.
Ordnung 3: <123>
Ordnung 8: {id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1432),(13),(24)}



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Dune
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-11-10


Sieht doch gut aus! Fehlt noch eine Untergruppe der Ordnung 5.

Das Problem ist jetzt natürlich noch zu begründen, dass deine achtelementige Menge tatsächlich eine Untergruppe ist. Da du sicherlich nicht sämtliche Produkte der 8 Elemente bilden willst, hätte ich hier einen Alternativvorschlag:

Definiere die Untergruppe als \( U = \langle (1234), (13) \rangle \) und beweise, dass sie Ordnung 8 hat. Dafür könntest du zum Beispiel zeigen, dass sie sich als Produkt \( U = N \cdot A \) für einen Normalteiler N und eine weitere Untergruppe A schreiben lässt, sodass \( N \cap A \) trivial ist.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-11-10


2018-11-10 17:10 - Bfg97 in Beitrag No. 4 schreibt:
2018-11-10 17:00 - supermonkey in Beitrag No. 3 schreibt:
Am einfachsten ist die 5-Sylow. Sie braucht ein Element der Ordnung 5 und ist zyklisch. Fällt dir ein Element der Ordnung 5 ein?

Leider nicht. Sylowgruppen und alles, was dazu gehört haben wir bisher noch nicht wirklich behandelt.

Die Anzahl der p-Sylowuntergruppen ist ein Teiler des Index m der p-Sylowuntergruppe von G  und von der Form $1+ kp, k \in \mathbb {N}_{0}$.

2018-11-10 17:00 - supermonkey in Beitrag No. 3 schreibt:
Am einfachsten ist die 5-Sylow. Sie braucht ein Element der Ordnung 5 und ist zyklisch. Fällt dir ein Element der Ordnung 5 ein?

Auszug aus wiki:

Den ganzen Wiki-Artikel zuz lesen empfiehlt sich!

ich zitiere nur aus einen Post der mir sehr half:
Hoffe Dir auch:)

LinkAlternierende Gruppe A_5

Die Anzahl der 5er-Zyklen ist 24.
Jeweils 4 davon bilden zusammen mit der Eins eine 5-Sylowgruppe.
Weil je zwei 5-Sylowgruppen nur die Eins gemeinsam haben, ist die Anzahl der 5-Sylowgruppen gleich 6.
Dies hast du im Beitrag #4 auch herausgefunden.
Alle 5-Sylowgruppen sind konjugiert, also hat jede von ihnen genau 6 Konjugierte, sich selbst mitgezählt.

Dieselbe Überlegung kann man für die 3-Sylowgruppen machen.
Die Anzahl der 3er-Zyklen ist 20, also ist die Anzahl der 3-Sylowgruppen gleich 10. Jede 3-Sylowgruppe hat 10 Konjugierte, sich selbst mitgezählt.

Eine Untergruppe der Ordnung 15 muss zyklisch sein, denn Gruppen der Ordnung pq mit Primzahlen p < q sind zyklisch, wenn p kein Teiler von q-1 ist. Elemente der Ordnung 15 gibt es aber nur in den Gruppen An mit n ≥ 8, weil sie einen Zyklus mit durch 3 teilbarer Länge und einen Zyklus mit durch 5 teilbarer Länge enthalten müssen. Also gibt es in A5 keine Untergruppen der Ordnung 15.
Gruß Buri








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