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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » echte Untergruppen
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Universität/Hochschule echte Untergruppen
juergen007
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Braunschweig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-14 18:09

\(\begingroup\)
10.
Show that a group G cannot be the union of two proper subgroups, in other words,
a) if G = H ∪K where H and K are subgroups of G, then H = G or K = G.
b) Equivalently,if H and K are subgroups of a group G, then H ∪ K cannot be a subgroup unless H ⊆ K or K ⊆ H.

also wenn H und K echte Untergruppen von G sind G kann (un)endlich  oder abelsch sein. So wird behauptet, ist entweder H oder K die ganze G
oder $H\subseteq K$ oder $K \subseteq H$,

Hätten wir ein a aus H aber nicht in K, b aus K aber nicht in H wobei  H,K nichttriviale Untergruppen in G sind.
Dann muss ab zu H oder K gehören. sagen wir $ab=h \in H$.
Dann waere aber $b=a^{-1}h \in H$ durch linkes ranmultiplizieren von $a^{-1}$, was ein Widerspruch zu $b \in K$ ist.
sagen wir $ab \in K$, dann $a=kb^{-1}$. Wieder eine Widerspruch

b) angemommen $K\cup H$ ist eine Untergruppe von G.

In den Loesungen (schumml):

.. ,the first result with G replaced by H ∪ K implies that H = H ∪ K or K = H ∪ K, in other words, K ⊆ H or H ⊆ K.

so ein leichtes mengeninkluisionsproblem.. an sich ..
was will er replacen  :-?
Peinlich..

also ab liegt enwteder in H dann auch in K oder in K dann auch in H.. (ich glaub das stimmt nicht so .. ) naja ich schicks mal ab Helmi ist ja in Urlaub  8-)





\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 457
Aus: Aalen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-14 23:02

\(\begingroup\)
2018-11-14 18:09 - juergen007 im Themenstart schreibt:
10.
Show that a group G cannot be the union of two proper subgroups, in other words,
a) if G = H ∪K where H and K are subgroups of G, then H = G or K = G.
b) Equivalently,if H and K are subgroups of a group G, then H ∪ K cannot be a subgroup unless H ⊆ K or K ⊆ H.

Hätten wir ein a aus H aber nicht in K, b aus K aber nicht in H wobei  H,K nichttriviale Untergruppen in G sind.
Dann muss ab zu H oder K gehören. sagen wir $ab=h \in H$.
Dann waere aber $b=a^{-1}h \in H$ durch linkes ranmultiplizieren von $a^{-1}$, was ein Widerspruch zu $b \in K$ ist.
sagen wir $ab \in K$, dann $a=kb^{-1}$. Wieder eine Widerspruch



Hallo juergen007

Das zeigt noch nicht \(H=G\) oder \(K=G\).
Du hast nur gezeigt, dass es ein Paar von Elementen \(a\in (H\setminus K),b\in (K\setminus H)\) nicht geben kann. Hierraus folgt, dass \(H\setminus K=\emptyset\) oder \(K\setminus H=\emptyset\) gelten muss.
Oder wolltest du hier Teil b) beweisen?


-----------------
"Der Unterschied zwischen Meister und Amateur ist der, dass der Meister öfter gescheitert ist, als der Amateur es versucht hat."

"Umso mehr ich lerne, umso klarer wird mir wie wenig ich eigentlich weiss."
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juergen007
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Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 3017
Aus: Braunschweig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-15 18:39


als Lösung zum ersten Teil der da ist:

a) if G = H ∪K where H and K are subgroups of G, then H = G or K = G.

In den Lösungen, die ich zugegeben einfach übersetzte steht hierzu:

10. Choose an element a that belongs to H but not K, and an element b that belongs to K but not H, where H and K are subgroups whose union is G. Then ab must belong to either H or K, say ab = h ∈ H. But then b = a−1h ∈ H, a contradiction. If ab = k ∈ K, then a = kb−1 ∈ K, again a contradiction.





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Fornax
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Dabei seit: 05.10.2018
Mitteilungen: 76
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-17 02:23

\(\begingroup\)
Ich denke, die Aufgabe zielt darauf ab, dass für eine Untergruppen $U\subseteq G$ die folgende Inklusion für Komplexprodukte gilt:
\[
U\cdot\left(G\setminus U\right)\subseteq\left(G\setminus U\right)
\] Wenn man also ein Element aus $U$ mit einem Element aus dem Komplement verknüpft, liegt das Produkt ebenfalls im Komplement.

Hat man nun Untergruppen $H$ und $K$ derart, dass keine der Inklusionen $K\subseteq H$ oder $H\subseteq K$ gilt, so gibt es $k\in K\setminus H$ und $h\in H\setminus K$. Nach der oben genannten Eigenschaft folgt dann für das Produkt $hk\notin H\cup K$. Mithin ist $H\cup K$ nicht abgeschlossen. Die Annahme $H\cup K=G$ würde bedeuten, dass $G$ nicht abgeschlossen wäre.

Gruß
Fornax
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