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Lineare Algebra » Eigenwerte » Jordan-Normalform bzw. rationale kanonische Form aus charakteristischem Polynom und Minimalpolynom
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Universität/Hochschule J Jordan-Normalform bzw. rationale kanonische Form aus charakteristischem Polynom und Minimalpolynom
Schueler321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-14

\(\begingroup\)
Guten Abend zusammen,

ich habe hier eine Aufgabe vor mir, bei der ich ausgehend vom charakteristischen und dem Minimalpolynom alle (bis auf Vertauschung der Primärkomponenten) mögliche rationale kanonische Formen bzw. Jordannormalformen der Matrix A mit reellen Einträgen bestimmen soll. a) und b) sollten richtig sein, bei c) und d) hänge ich ganz...


a) \(chpol=(x+1)^7\), \(minpol=(x+1)^3\)
Hier habe ich eine JNF bestimmt

fed-Code einblenden


b) \(chpol=(x+1)^4*(x-3)^3\), \(minpol=(x+1)^2*(x-3)\)

fed-Code einblenden

c) \(chpol=(x^2+x+1)^2*(x+2)^3\), \(minpol=(x^2+x+1)*(x+2)^3\)
für den (x+2) Teil weiß ich, wie die JNF aussehen muss. Doch wie gehe ich mit dem ersten Produkt um? Da muss ich hier A als rationale kanonische Form schreiben, oder? Könntet ihr mir das bitte erklären?

d) \(chpol=(x^3+x^2+x+1)^2*(x^2+1)\), \(minpol=(x^3+x^2+x+1)^2\)
Hier habe ich das selbe Problem wie in c).


Mein ganzes Übungsblatt dreht sich diese Woche um rationale kanonische Form. Ich habe aber immer eine Matrix gegeben, aus der ich diese bilden soll. Hier weiß ich nicht weiter...
Könnt Ihr mir bitte helfen?

Danke im Voraus :)

\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-15

\(\begingroup\)
Hallo.

Ich weiss nicht wie/ob Ihr die Existenz der beiden Formen bewiesen habt, und will dich nicht weiter verwirren, aber das Thema ist absolut grundlegend und ich bin der Meinung, dass man dieses Thema nur in ganzer Fuelle verstehen kann, wenn man die Hintergruende kennt.
Wenn es dich nur verwirrt, weil du die Begriffe nicht kennst kannst du es auch erstmal nur informell lesen.

Folgendes hattet ihr vermutlich in der Vorlesung behandelt:

Beide Formen beruhen auf folgenden Tatsachen.

Tatsache 1
Es gibt eine bijektive Korrespondenz zwischen Aehnlichkeitsklassen von \(k\)-linearen Transformationen eines \(k\)-Vektorraums \(V\) und den Isomorphieklassen von \(k[t]\)-Modul-Strukturen auf \(V\).

Das heisst, eine \(k\)-lineare Transformation auf einem Vektorraum \(V\) zu geben ist das gleiche wie den \(k\)-Vektorraum mit einer \(k[t]\)-Modulstruktur zu versehen, wobei Aehnliche Transformationen isomorphen Modulstrukturen entsprechen.

Tatsache 2
Ist \(k\) ein Koerper, dann ist \(k[t]\) ein Hauptidealbereich.

Tatsache 3 (Klassifikation endlich erzeugter Moduln ueber Hauptidealbereichen)
Sei \(R\) ein Hauptidealbereich und \(M\) ein endlich erzeugter \(R\)-Modul.
Teil 1:
Es gibt eigentliche (\(\neq 0,\neq R\)) Ideale \((a_i),i=1\cdots m\)
 mit \((a_1)\supset (a_2)\supset \cdots \supset(a_m)\) und einen Isomorphismus
\(M\cong R^{rk(M)}\oplus\underset{i}{\bigoplus}\frac{R}{(a_i)}\)
Die \(a_i\) heissen Invariante Faktoren.

Teil 2:
Es gibt verschiedene Primideale \((p_1),\cdots,(p_n)\) und positive ganze Zahlen \(r_{ij}\) und ein Isomorphismus von \(R\)-Moduln
\(M\cong R^{rk(M)}\oplus \underset{i,j}{\bigoplus}\frac{R}{(p_i^{r_{i,j}})} \)
Die \(p_i^{r_{ij}}\) heissen Elementarteiler.

Hat man nun eine lineare Transformation \(\alpha\) auf einem endlich dimensionalen \(k\)-Vektorraum, dann entspricht das einer \(k[t]\)-Modulstruktur auf \(V\), wo \(k[t]\) ein Hauptidealbereich ist.
Man kann also Tatsache 3 anwenden un bekommt)

Tatsache 4
Sei \(k\) ein Koerper und \(V\) ein endlich dimensionaler \(k\)-Vektorraum. Sei \(\alpha\) eine lineare Transformation auf \(V\).
Betrachte \(V\) mit der zu \(\alpha\) entsprechenden \(k[t]\)-Modulstruktur.
Dann gilt:

Teil 1
Es gibt normierte nicht-konstante Polynome \(f_1(t),\cdots f_m(t)\in k[t]\), sodass gilt \(f_1(t)|f_2(t)|\cdots |f_m(t)\), und einen \(k[t]\)-Modul Isomorphismus:
\(V\cong \frac{k[t]}{(f_1(t))}\oplus\cdots\oplus \frac{k[t]}{(f_m(t))}\).
Die Polynome \(f_i\) heissen Invariante Faktoren.

Teil 2
Es gibt verschiedene normierte irreduzible Polynome
\(p_1(t),\cdots p_s(t)\in k[t]\) und positive ganze Zahlen \(r_{ij}\) und einen Isomorphismus von \(k[t]\)-Moduln.
\(V\cong \underset{i,j}{\bigoplus}\frac{k[t]}{(p_i(t)^{r_{ij}})}\).
Die \(p_i(t)^{r_{ij}}\) heissen Elementarteiler.
 
Beachte: Es gilt \(min_\alpha(t)=f_m(t)\) und \(char_\alpha(t)=f_1(t)\cdots f_m(t)\).

Hierraus folgt:
Die rationale kanonische Form einer linearen Transformation \(\alpha\)  eines endlich dimensionalen \(k\)-Vektorraums existiert immer und hat Eintraege in \(k\).
Sie entspricht dem Isomorphismus in Teil 1.
 
Zwei lineare Transformationen sind aehnlich, genau dann wenn sie die gleiche rationale kanonische Form haben.

Die Jordansche Normalform existiert, wenn das Charakteristische Polynom vollstaendig zerfaellt.
Das ist zum Beispiel ueber einem Algebraischen Abschluss (z.B.\(\mathbb{C}\)) immer der Fall.

Sie entspricht dem Isomorphismus in Teil 2.
Wenn das Charakteristische Polynom zerfaellt hast du in der Direkten Summe
Summanden der Form \(\frac{k[t]}{(t-\lambda)^r}\) stehen welche den Jordanbloecken entsprechen.


Zu deiner Aufgabe:
Die rationale kanonische Form kannst du wie gewohnt bestimmen.
Fuer die Jordansche Normalform solltest du das Charakteristische Polynom ueber \(\mathbb{C}\) betrachten, wo es in lineare Faktoren zerfaellt.
Dann kannst du die Jordansche Normalform direkt hinschreiben.

Melde dich, falls es noch Fragen gibt.





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"Der Unterschied zwischen Meister und Amateur ist der, dass der Meister öfter gescheitert ist, als der Amateur es versucht hat."

"Umso mehr ich lerne, umso klarer wird mir wie wenig ich eigentlich weiss."
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-11-15

\(\begingroup\)
Hallo.

Ich weiss nicht wie/ob Ihr die Existenz der beiden Formen bewiesen habt, und will dich nicht weiter verwirren, aber das Thema ist absolut grundlegend und ich bin der Meinung, dass man dieses Thema nur in ganzer Fuelle verstehen kann, wenn man die Hintergruende kennt.
Wenn es dich nur verwirrt, weil du die Begriffe nicht kennst kannst du es auch erstmal nur informell lesen.

Beide Formen beruhen auf folgenden Tatsachen.

Tatsache 1
Es gibt eine bijektive Korrespondenz zwischen Aehnlichkeitsklassen von \(k\)-linearen Transformationen eines \(k\)-Vektorraums \(V\) und den Isomorphieklassen von \(k[t]\)-Modul-Strukturen auf \(V\).

Das heisst, eine \(k\)-lineare Transformation auf einem Vektorraum \(V\) zu geben ist das gleiche wie den \(k\)-Vektorraum mit einer \(k[t]\)-Modulstruktur zu versehen, wobei Aehnliche Transformationen isomorphen Modulstrukturen entsprechen.

Tatsache 2
Ist \(k\) ein Koerper, dann ist \(k[t]\) ein Hauptidealbereich.

Tatsache 3 (Klassifikation endlich erzeugter Moduln ueber Hauptidealbereichen)
Sei \(R\) ein Hauptidealbereich und \(M\) ein endlich erzeugter \(R\)-Modul.
Teil 1:
Es gibt eigentliche (\(\neq 0,\neq R\)) Ideale \((a_i),i=1\cdots m\)
 mit \((a_1)\supset (a_2)\supset \cdots \supset(a_m)\) und einen Isomorphismus
\(M\cong R^{rk(M)}\oplus\underset{i}{\bigoplus}\frac{R}{(a_i)}\)
Die \(a_i\) heissen Invariante Faktoren.

Teil 2:
Es gibt verschiedene Primideale \((p_1),\cdots,(p_n)\) und positive ganze Zahlen \(r_{ij}\) und ein Isomorphismus von \(R\)-Moduln
\(M\cong R^{rk(M)}\oplus \underset{i,j}{\bigoplus}\frac{R}{(p_i^{r_{i,j}})} \)
Die \(p_i^{r_{ij}}\) heissen Elementarteiler.

Hat man nun eine lineare Transformation \(\alpha\) auf einem endlich dimensionalen \(k\)-Vektorraum, dann entspricht das einer \(k[t]\)-Modulstruktur auf \(V\), wo \(k[t]\) ein Hauptidealbereich ist.
Man kann also Tatsache 3 anwenden un bekommt)

Tatsache 4
Sei \(k\) ein Koerper und \(V\) ein endlich dimensionaler \(k\)-Vektorraum. Sei \(\alpha\) eine lineare Transformation auf \(V\).
Betrachte \(V\) mit der zu \(\alpha\) entsprechenden \(k[t]\)-Modulstruktur.
Dann gilt:

Teil 1
Es gibt normierte nicht-konstante Polynome \(f_1(t),\cdots f_m(t)\in k[t]\), sodass gilt \(f_1(t)|f_2(t)|\cdots |f_m(t)\), und einen \(k[t]\)-Modul Isomorphismus:
\(V\cong \frac{k[t]}{(f_1(t))}\oplus\cdots\oplus \frac{k[t]}{(f_m(t))}\).
Die Polynome \(f_i\) heissen Invariante Faktoren.

Teil 2
Es gibt verschiedene normierte irreduzible Polynome
\(p_1(t),\cdots p_s(t)\in k[t]\) und positive ganze Zahlen \(r_{ij}\) und einen Isomorphismus von \(k[t]\)-Moduln.
\(V\cong \underset{i,j}{\bigoplus}\frac{k[t]}{(p_i(t)^{r_{ij}})}\).
Die \(p_i(t)^{r_{ij}}\) heissen Elementarteiler.
 
Beachte: Es gilt \(min_\alpha(t)=f_m(t)\) und \(char_\alpha(t)=f_1(t)\cdots f_m(t)\).

Hierraus folgt:
Die rationale kanonische Form einer linearen Transformation \(\alpha\)  eines endlich dimensionalen \(k\)-Vektorraums existiert immer und hat Eintraege in \(k\).
Sie entspricht dem Isomorphismus in Teil 1.
 
Zwei lineare Transformationen sind aehnlich, genau dann wenn sie die gleiche rationale kanonische Form haben.

Die Jordansche Normalform existiert, wenn das Charakteristische Polynom vollstaendig zerfaellt.
Das ist zum Beispiel ueber einem Algebraischen Abschluss (z.B.\(\mathbb{C}\)) immer der Fall.

Sie entspricht dem Isomorphismus in Teil 2.
Wenn das Charakteristische Polynom zerfaellt hast du in der Direkten Summe
Summanden der Form \(\frac{k[t]}{(t-\lambda)^r}\) stehen welche den Jordanbloecken entsprechen.

Zu deiner Aufgabe:
Die rationale kanonische Form kannst du wie gewohnt bestimmen.
Fuer die Jordansche Normalform solltest du das Charakteristische Polynom ueber \(mathbb{C}\) betrachten, wo es in lineare Faktoren zerfaellt.
Dann kannst du die Jordansche Normalform direkt hinschreiben.

Melde dich, falls es noch Fragen gibt.

PS:
Falls du dich mehr fuer die Hintergruende interessierst finde ich diesen Artikel lesenswert.


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Schueler321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-15


Hallo xiao_shi_tou,
danke für Deine Ausführung. Zum Teil habe ich sie verstanden.
 Ich hatte in der Aufgabenstellung nicht beachtet, dass die zu erstellende Matrix A reelle Einträge haben soll. Entschuldige, ich hab das oben korrigiert.


Dass ich JNF nutze, wenn das chpol komplett zerfällt, ist mir bewusst. Das sind die Fälle a) und b) in der Aufgabe. Sind diese richtig?
Die rationale kanonische Form muss ich bei c) und d) nutzen, wobei bei c) ja auch ein zerfallenes Polynom drin ist, ergo für den Wert x=-2 entsteht eine JNF.

Doch wie baue ich nun mache ich das nun mit der rat. kanonischen Form?
Zur Zeit muss ich immer diese Form aus einer Martix bilden, wobei ich auch da meine Schwierigkeiten habe.
Kannst Du mir das bitte erklären und einen Ansatz geben?



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Schueler321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-18 16:18

\(\begingroup\)
Hallo,

ich habe ein bisschen was versucht. Meine Idee waren Begleitmartizen.


c)

fed-Code einblenden


Ich habe zwei mal die Begleitmatrix von \(x^2+x+1\) stehen und dann den Eigenwert x=-1.


d) Dabei bin ich mir etwas unsicher, wieso verschwindet \(x^2+1\) im minpol?
Meine Lösung soweit:
fed-Code einblenden


Ist meine Aufgabe so richtig bearbeitet?
Danke für Eure Hilfe!
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Schueler321 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Schueler321 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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