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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Äquivalenzklassen
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Universität/Hochschule Äquivalenzklassen
juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-16

\(\begingroup\)
Alle Aufgabgen aus:

Abstract Algebra von R. Ash
faculty.math.illinois.edu/~r-ash/Algebra.html

Äquivalenzklassen:

Reflexivität: $\displaystyle a\sim a$
Jedes Objekt ist zu sich selbst äquivalent.
Symmetrie: $\displaystyle a\sim b\ \Rightarrow \ b\sim a $
Wenn  a zu b  äquivalent ist, dann ist auch b äquivalent zu a.
Transitivität: a ∼ b  und  b ∼ c   ⇒   a ∼ c.

2. Show that “a ∼ b iff ab−1 ∈ H” defines an equivalence relation.

Also Prosa: Zeige dass a ∼ b nur dann eine Äquivalenzklasse definieren mit den o.a. Eigenschaften, wann a und b in einer Gruppe H liegen. Das sind dann die Nebenklassen zu H in G.  Dann kann man dann 3 Mengen Z/3Z bilden die Z in 3 Äquivalenzklassen $\{0,1,2\}$ aufteilen.
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-16


2018-11-16 20:03 - juergen007 im Themenstart schreibt:
Also Prosa: Zeige dass a ∼ b nur dann eine Äquivalenzklasse definieren mit den o.a. Eigenschaften, wann a und b in einer Gruppe H liegen.

Das hast du sicherlich nicht korrekt übersetzt. In welcher Struktur bewegen wir uns hier eigentlich und was ist H?



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-19 15:28

\(\begingroup\)
2018-11-16 20:03 - juergen007 im Themenstart schreibt:
Alle Aufgabgen aus:

Abstract Algebra von R. Ash
faculty.math.illinois.edu/~r-ash/Algebra.html

die folgenden Definitionen sind aus wiki.

Äquivalenzklassen:

Reflexivität: $\displaystyle a\sim a$
Jedes Objekt ist zu sich selbst äquivalent.
Symmetrie: $\displaystyle a\sim b\ \Rightarrow \ b\sim a $
Wenn  a zu b  äquivalent ist, dann ist auch b äquivalent zu a.
Transitivität: a ∼ b  und  b ∼ c   ⇒   a ∼ c.

In Problems 1–6, H is a subgroup of the group G, and a and b are elements of G.

2. show that $
a \sim b \Leftrightarrow ab^{−1} \in H$ defines an equivalence relation.

Also Prosa: Seien $a,b\in (Z6,+), H=\{0,2,4\}, a,b\in (H,+)$. zeige dass $a \sim b$ nur dann eine Äquivalenzklasse definieren, wann a und b in der  H der Untergruppe von G liegen.
Beispiel:

$a=2,b=4,G=(Z6,+),H\subset G, ab^{−1}=4, 4 \in H$, dann definieren $2 \sim 4$  eine Äquivalenzklasse.

Jetzt versteh ich selber nicht ganz, inwiefern $2 \sim 4$ eine Äquivalenzklasse definiert...und was da alles drin ist..$\{0,2,4\}$?
Eine andere waere dann $\{1,3,5\}$?
weil ich unter Äquivalenzklasse eine Menge mit gewissen gleichen Eigenschaften verstahe.
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-19 20:35

\(\begingroup\)
Hallo juergen007,

2018-11-19 15:28 - juergen007 in Beitrag No. 2 schreibt:

2. show that $
a \sim b \Leftrightarrow ab^{−1} \in H$ defines an equivalence relation.

Also Prosa: Seien $a,b\in (Z6,+), H=\{0,2,4\}, a,b\in (H,+)$. zeige dass $a \sim b$ nur dann eine Äquivalenzklasse definieren, wann a und b in der  H der Untergruppe von G liegen.
Beispiel:

$a=2,b=4,G=(Z6,+),H\subset G, ab^{−1}=4, 4 \in H$, dann definieren $2 \sim 4$  eine Äquivalenzklasse.

Jetzt versteh ich selber nicht ganz, inwiefern $2 \sim 4$ eine Äquivalenzklasse definiert...und was da alles drin ist..$\{0,2,4\}$?
Eine andere waere dann $\{1,3,5\}$?
weil ich unter Äquivalenzklasse eine Menge mit gewissen gleichen Eigenschaften verstahe.

Sorry, aber das ist leider alles kompletter Unsinn, was du da schreibst!

Es fängt mit deiner bizarren Übersetzung der englischsprachigen Aufgabe an, die nicht beser ist, als dein erster Versuch.
- da steht nichts von Z6
- es werden keine Äquivalenzklassen, sondern eine Äquivalenzrelation definiert. Das soll gezeigt werden.
- nicht a und b liegen in H, sondern \(ab^{−1}\)
- "$a \sim b$ definiert eine Äquivalenzklasse" ist (insbesondere, wenn a und b fixierte Elemente sind) eine völlig sinnleere Aussage

Außerdem: Wenn du über (Z6,+) redest, darfst du nicht \(ab^{−1}\) schreiben.

Grüße
StrgAltEntf
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-20 20:37

\(\begingroup\)
2018-11-16 20:03 - juergen007 im Themenstart schreibt:
Alle Aufgabgen aus:

Abstract Algebra von R. Ash
faculty.math.illinois.edu/~r-ash/Algebra.html

Vorraussetzung aus
1-6.:  If H is a subgroup of the integers Z and $H \neq \{0\}$, what does H look like?

hatte ich das übersprungen?

das versteh ich schon nicht: es gibt 100e endliche und unendliche Untergruppen in Z oder? nicht auch Z6?

Was folgt denn aus $h=ab^{−1}\in H$? dass $a,b,h \in H$ liegen oder?
allein wenn a b in derselben Gruppe sind ist $h=ab^{−1}\in H$

Was ist $h=ab^{−1}$? $h \in H$ wenn $a,b \in H$.

1.Show that $Ha=Hb \leftrightarrow ab^{−1} \in H$. Das sollte klar noch obigem oder?

Ha und Hb sind Nebengruppen von H und dann gleich wenn $h=ab^{−1} /in H$, oder? (das ist ne Frage)

2. Show that “a ∼ b \leftrightarrow ab^{−1} \in H” defines an equivalence relation.
Und da endet mein verstehen: pardon..

WAS definiert denn eine equivalence relation?
welche objekte sind hier äquivalent?
Der Äquivalenzbegriff ist etwas unklar..





\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-20 21:30

\(\begingroup\) \(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Sehr seltsam. Ich lese:

\(H\) sei eine Untergruppe der Gruppe \(G\).

Für \(a,b\in G\) definiere: \(a\sim b:\Leftrightarrow ab^{-1}\in H\).

Zeige, dass \(\sim\) eine Äquivalenzrelation definiert.

Wally
\(\endgroup\)


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Fornax
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-20 23:59

\(\begingroup\)
Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation, die symmetrisch, transitiv und reflexiv ist. Das bedeutet

1. Für alle $x$, $y$ gilt $x\sim y\Leftrightarrow y\sim x$ (Symmetrie)

2. Für alle $x,y,z$ gilt $x\sim y\wedge y\sim z\Longrightarrow x\sim z$ (Transitivität)

3. Für alle $x$ gilt $x\sim x$ (Reflexivität)

Ein Beispiel hierfür ist die Gleichheit. Eine anderes Beispiel ist die Modulo-Arithmetik auf $\mathbb{N}$, wenn man etwa definiert
\[
x\sim y:\Leftrightarrow x\text{ und }y\text{ haben bei Division durch }3\text{ den gleichen Rest.}
\] Statt $3$ tut es jede beliebige andere Zahl.

Wenn man so eine Relation hat, nennt man die Menge
\[
\left[a\right]:=\left\{ x\mid x\sim a\right\}
\] die Äquivalenzklasse von $a$. Die Menge, auf der diese Äquivalenzrelation definiert ist, wird überlappungsfrei von solchen Äquivalenzklassen überdeckt. Die Äquivalenzklassen Modulo 3 sind
\[
\left[0\right]=\left\{ 0,3,6,9\dots\right\}
\] \[
\left[1\right]=\left\{ 1,4,7,10,\dots\right\}
\] \[
\left[2\right]=\left\{ 2,5,8,11,\dots\right\}
\] und es ist
\[
\mathbb{N}=\left[0\right]\uplus\left[1\right]\uplus\left[2\right]
\] eine disjunkte Vereinigung.

Das Konzept der Äquivalenzklassen gehört zum wichtigsten Rüstzeug der Mathematik. Wenn dir das nicht vertraut ist, unterbreche, was auch immer du gerade lernst und mache dich damit zuerst vertraut. Du findest es in vielen einführenden Lehrbüchern zu verschiedenen Teilgebieten, etwa in Harro Heusers Lehrbuch zur Analysis.

Zu deiner Relation $x\sim y:\Leftrightarrow xy^{-1}\in H$: Ich habe mal rausgefunden, dass diese Eigenschaft nicht nur jede Untergruppe $H$ erfüllt, sondern auch hinreichend für die Untergruppeneigenschaft von $H$ ist. Wenn du also eine Teilmenge $H$ hast, für die $x\sim y:\Leftrightarrow xy^{-1}\in H$ eine Äquivalenzrelation ist, muss $H$ eine Untergruppe sein.

Liebe Grüße
Fornax
\(\endgroup\)


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Fornax
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-21 00:21

\(\begingroup\)
Mir ist noch eine andere Äquivalenzrelation eingefallen: Wenn du eine Bijektive Selbstabbildung $f$ auf einer Menge hast, dann ist \[
x\sim y:\Leftrightarrow\left(\exists n\in\mathbb{Z}\right)\left(f^{n}x=y\right)
\] eine Äquivalenzrelation und $f$ ist invariant auf jeder Äquivalenzklasse. Bei einer endlichen Menge kann man sich eine Permutation vorstellen. Die Permutationen lassen sich in zahlenfremde Zyklen zerlegen. Die Zahlen, die in einem solchen Zykel vorkommen, bilden eine Äquivalenzklasse.
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-21 20:25

\(\begingroup\)
2018-11-20 21:30 - Wally in Beitrag No. 5 schreibt:
Sehr seltsam. Ich lese:

\(H\) sei eine Untergruppe der Gruppe \(G\).

Für \(a,b\in G\) definiere: \(a\sim b:\Leftrightarrow ab^{-1}\in H\).

Zeige, dass \(\sim\) eine Äquivalenzrelation definiert.

Wally

O je,
Ja ich merke grade, dass ich da eine oder mehrere Lücken bez. Äquivalenzrelationen, Äquivalenzklassen habe...
Ich schreibs trotzdem mal so runter..

Wir haben das mal an Hand von Vektoren veranschaulicht. Ein Vektor ist eine Klasse von unendlich vielen Pfeilen, die alle gleiche Richtung und Länge haben.
Jeder dieser Pfeile kann als Representant dieser Klasse genommen werden, definiert durch diese beiden Eigenschaften.

Im Falle Vektor seien 3 Elemente - Pfeile x,y,z in einer Klasse $v_1$. Alle moeglichen $v_x$ kann man zu einem Vektorraum zusammenfassen usw.

Es gelten folgende 3 Relationen:

1. Für alle $x$, $y$ gilt $x\sim y\Leftrightarrow y\sim x$ (Symmetrie)

Wenn x und y in der selben Klasse sind also äquivalent sind,  dann auch y und x was irgendwie trvial ist oder.

2. Für alle $x,y,z$ gilt $x\sim y\wedge y\sim z\Longrightarrow x\sim z$ (Transitivität).
Wenn x und y in der selben Klasse sind also äquivalent sind,  und wenn y und z in der selben Klasse sind also äquivalent sind, dann auch x und z.

3. Für alle $x$ gilt $x\sim x$ (Reflexivität), wann ist das denn nicht der Fall?

Rechtsbnebenklassen Ha und Hb sind in der Regel verschieden,
ausser $ab^{-1}\in H$, weil dann $Ha=H$ und $Hb^{-1}=H$ bzw. $Hb=H$ ist oder.
Wenn $ab^{-1} \not\in H$ so bilden Ha und Hb verschiedene Klassen.
Was genau ist aber jetzt die Äquivalenzrelation? Alle Elemente aus Ha, sei a in H oder nicht, sind äquivalent sagt man das so? und in der selben Äquivalenzklasse. Hier ist Ha Rechts-Nebenklasse von H.

Wenn $H \subset G$ ist, und a, b in H oder $ab^{-1} \in H$, Dann und nur dann Ha=Hb.

Die Vereinigung aller disjunkten Ha und Hb  bildet G.

Ich glaube, ich kram mal obiges Buch raus..:)
Danke @Formax, das muss ich mal in Ruhe bearbeiten..

Beispiel alle durch 3 teilbaren Zahlen und deren Nebenklassen ist klar und

$G=Z, H_3=3H$ ist auch noch Normalteiler in Z und $G/H$ bezeichnet z.B. als $\{[0],[1],[2]\}$ oder mit Dach drueber, ist die Quotienten- oder Faktorgruppe. Alle diese [n] sind jeweils in der selben Äquivalenzklasse. In der Art dass sie den selben Rest bei division durch 3 bilden.

Trotzdem hab ich da einen gewissen Knoten...bez. dem Zusammenhang Untergruppen /Äquivalenzklasse.
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-24 22:12

\(\begingroup\)
2018-11-21 00:21 - Fornax in Beitrag No. 7 schreibt:
Mir ist noch eine andere Äquivalenzrelation eingefallen: Wenn du eine Bijektive Selbstabbildung $f$ auf einer Menge hast, dann ist \[
x\sim y:\Leftrightarrow\left(\exists n\in\mathbb{Z}\right)\left(f^{n}x=y\right)
\] eine Äquivalenzrelation und $f$ ist invariant auf jeder Äquivalenzklasse. Bei einer endlichen Menge kann man sich eine Permutation vorstellen. Die Permutationen lassen sich in zahlenfremde Zyklen zerlegen. Die Zahlen, die in einem solchen Zykel vorkommen, bilden eine Äquivalenzklasse.

Liegen die Permutationen  (123)(45), (134)(25), (125)(34),...  in einer Äquivalenzklasse? die haette dass 10 elemente versteh ich das recht?

In  \[x\sim y:\Leftrightarrow\left(\exists n\in\mathbb{Z}\right)\left(f^{n}x=y\right)\] was ist da das f?
\(\endgroup\)


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Fornax
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 76
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-11-25 02:03

\(\begingroup\)
2018-11-24 22:12 - juergen007 in Beitrag No. 9 schreibt:
Liegen die Permutationen  (123)(45), (134)(25), (125)(34),...  in einer Äquivalenzklasse? die haette dass 10 elemente versteh ich das recht?

Nein, nicht die Permutationen, sondern die Elemente liegen in einer Äquivalenzklasse. Wenn du die Menge ${1,2,3,4,5}$ betrachtest und für $f$ die Permutation $(123)(45)$. Dann hast du zwei Äquivalenzklassen. Die eine Klasse ist \[[1]=[2]=[3]=\{1,2,3\}\] und die andere Klasse ist \[[4]=[5]=\{4,5\}.\]
2018-11-24 22:12 - juergen007 in Beitrag No. 9 schreibt:
In  \[x\sim y:\Leftrightarrow\left(\exists n\in\mathbb{Z}\right)\left(f^{n}x=y\right)\] was ist da das f?

Das $f$ ist in diesem Fall eine Permutation. Aber im Allgemeinen Fall ist es einfach eine Bijektive Selbstabbildung auf einer Menge. Man kann das ganze aber verallgemeinern. Wenn man \[x\sim y:\Leftrightarrow\left(\exists n,k\in\mathbb{N}\right)\left(f^{n}x=f^{k}y\right)\] betrachtet, hat man eine Äquivalenzrelation ohne dass $f$ bijektiv sein muss.

Man kann auf noch andere Weise sogar mit jeder beliebigen Abbildung in eine andere Menge eine Äquivalenzrelation erzeugen. Für $f:A\rightarrow B$ definiert
\[
x\sim y:\Leftrightarrow f\left(x\right)=f\left(y\right)
\] eine Äquivalenzrelation. Es kann ja vorkommen, dass mehrere Elemente das gleiche Bild unter $f$ haben. Im Bildbereich könnte man diese Elemente dann nicht mehr unterscheiden. Man kann sich vorstellen, dass man eine $f$-Brille trägt, durch die der Unterschied zwischen den Elementen verwischt. Eine Äquivalenzklassen bestehen aus denjenigen Elementen, die unter $f$ das gleiche Bild haben. In gewisser Weise verklumpen mehrere Elemente zu einem Einzigen Element, der Äquivalenzklasse. Die Strukturellen Informationen, die nach der Anwendung von $f$ übrig bleiben, sind in der Partition der Äquivalenzklassen enthalten. Man kann sich vorstellen, dass der Blick auf die Partition die Struktur von $A$ vergröbert. Hans Zassenhaus hat das mal mit einem Verkleinerungsglas verglichen.

Tatsächlich kann man jede Äquivalenzrelation auf diese Weise erzeugen. Man brauch als Menge $B$ nur die Menge der Äquivalenzklassen nehmen und als $f$ die kanonische Abbildung, die jedes Element auf seine Klasse abbildet. Ich finde diese Sichtweise auf Äquivalenzrelationen auch die bessere. Hast du dich mal gefragt, warum man in der Gruppentheorie überhaupt Nebenklassen betrachtet? Ich finde das in den meisten Lehrbüchern vollkommen unmotiviert. Das ist nämlich so:

Habe ich einen Gruppenhomomorphismus $\varphi:G\rightarrow H$. Dann ist $\ker\varphi=N$ ein Normalteiler und man kann die Faktorgruppe $G/N$ definieren, indem man auf $G$ die Äquivalenzrelation \[
x\sim y:\Leftrightarrow x^{-1}y\in N
\] betrachtet. Aber warum sollte man das tun? Tatsächlich handelt es sich dabei aber um die Relation
\[
x\sim y:\Leftrightarrow\varphi\left(x\right)=\varphi\left(y\right),
\] was dir bloß keiner sagt. Ich habe es bislang in keinem einzigen Lehrbuch gefunden.

Das selbe Spiel geht in der Ringhteorie nochmal von vorne los. Faktorringe entstehen nämlich auch dadurch, dass man die Partition der Äquivalenzklassen bezügliche der Relation
\[
x\sim y:\Leftrightarrow\varphi\left(x\right)=\varphi\left(y\right)
\] für eine Ringhomomorphismus $\varphi:R\rightarrow Q$ betrachtet. In beiden Fällen kann man sich die Faktorstruktur als Vergröberung der ursprünglichen Struktur vorstellen.

Liebe Grüße
Fornax
\(\endgroup\)


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