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Mathematik » Stochastik und Statistik » Verteilung eines Funktionals mit Brownscher Bewegung
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Universität/Hochschule Verteilung eines Funktionals mit Brownscher Bewegung
Discipulus
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 7
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-16

\(\begingroup\)
Hallo Liebes Matroids Forum.

Im Rahmen eines Seminares befasse ich mich gerade mit dem Skorkhod Einbettungsproblem. Dabei bin ich in einem meiner Texte auf eine scheinbar simple Aussage gestoßen, die ich aber nicht vollends nachvollziehen kann. Die Idee dahinter ist durch die Kombination mit einer reellwertigen Funktion einer Brownschen Bewegung die gleiche Verteilung wie die eines beliebigen unbekannten Wahrscheinlichkeitsmaßes zu kostruieren.

Die Aussage:

Sei \(F(x)= \mu(-\infty,x]\) die Verteilungsfunktion eines zentrierten Wahrscheinlichkeitsmaßes \(\mu\) und \(F^{-1}(y)= \inf \{x:F(x)\geq y\}\). Sei weiterhin \(\Phi(x) = 1/\sqrt{2 \pi} \int_{-\infty}^x e^{1/2 * y^2}dy\) die Verteilungsfunktion von \(\mathcal{N}(0,1)\).
Ist \(g(x)=F^{-1}(\Phi(x))\) und \(X_t\) eine Brownsche Bewegung. Dann ist \(g(X_1) \sim \mu\) und \(E[g(X_1)]= 0\).

Knackpunkt hierbei ist die Aussage \(g(X_1) \sim \mu\). Ich habe diese Aussage in einigen Texten gefunden, aber immer ohne irgendeine Begründung. Warum gilt das (scheinbar) offensichtlich?

Ich habe ein wenig herumprobiert diese Aussage zu beweisen, komme aber insbesondere wegen \(F^{-1}(\Phi(x))\) nicht weiter.
Es ist ja \(F^{-1}(\Phi(x))=\inf \{x:F(x)\geq \Phi(x)\}\). Da die Aussage allerdings für \(X_1\) getroffen wurde, müsste man dann ja \(F^{-1}(\Phi(X_1))=\inf \{x:F(x)\geq \Phi(X_1)\}\) betrachten. Und bei \(\Phi(X_1)\) kapituliert mein Verständnis bei der Materie leider ein wenig...

Meine Idee war, dass \(g(X_1) \sim \mu\) bedeutet, dass \(F^{-1}(\Phi(X_1)) = \inf \{x: \mu (-\infty,x] \geq \Phi(X_1)\}   = \mu(-\infty, x] = F(x) \)
Aber wirklich begründen kann ich die Gleichung nicht wirklich... Wäre ich mit dieser Idee denn schonmal auf dem richtigen Pfad?

Falls nicht, wäre jemand so lieb mir zumindest rein vom Verständnis her zu erklären, warum \(g(X_1) \sim \mu\) überhaupt gelten soll?

LG Discipulus Desperadus
\(\endgroup\)


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MeWi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.03.2011
Mitteilungen: 610
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-17

\(\begingroup\)
Du brauchst zwei Zutaten: Erstens ist $F(F^{-1}(y))=1$ (warum?) und zweitens ist $\Phi$ die Verteilungsfunktion von $X_1$ (warum?).

Um nun $g(X_1)\sim \mu$ zu beweisen, reicht es zu zeigen, dass $\mathbb{P}(\{g(X_1)\leq x\})=F(x)$ ist. Das bekommst du hin, indem du die Ungleichung $g(X_1)\leq x$ mit den beiden Zutaten von oben umformst.
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Discipulus
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 7
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-17


Vielen Dank für die Hilfestellung, damit kann ich sehr viel anfangen!

Ich werde es heute Nachmittag mit diesem Ansatz noch einmal versuchen, bin aber mit diesen Ratschlägen positiver Dinge, dass das dann auch klappen wird :)



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Discipulus
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.11.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-17

\(\begingroup\)
Okay, ich stoße mit meinem Verständnis leider doch noch auf ein paar Grenzen.

Das \(\Phi\) die Verteilungsfunktion von \(X_1\) ist, ist klar. \(X_t\) ist eine Brownsche Bewegung und daher ist \(X_1 \sim N(0,1)\) und \(\Phi\) ist laut Definition die Verteilungsfunktion von \(N(0,1)\). Soweit so gut.

Aber warum \(F(F^{-1}(y))=1\) gilt, habe ich noch nicht so raus. Mir scheint ein gewisses Verständnis bezüglich Verteilungsfunktionen zu fehlen, um das richtig herauszubekommen. Derzeit habe ich einfach versucht durch Einsetzen der Definition zum richtigen Ergebnis zu kommen, demnach ist:

\(F(F^{-1}(y))=F(inf \{x: \mu(-\infty,x] \geq y\}) = \mu(- \infty, inf\{x: F(x) \geq y\}]\) und das müsste dann ja eigentlich \(= y\) sein (Identität und so) aber ich verstehe nicht ganz warum. Aber angenommen ich würde es verstehen bin ich zum nächsten Schritt rüber.

\(P(g(X_1) \leq x) = F(x)\). Hierbei habe ich dann \(g(X_1) \leq x\) betrachtet. Unter Annahme, dass \(F(F^{-1}(y))= Id\) kann man die Ungleichung umformen zu
\(F^{-1}(\Phi(X_1)) \leq x \Leftrightarrow \Phi(X_1) \leq F(x)\).
Ich verstehe, dass man dann praktisch aus dem Umstand, dass \(\Phi\) die Verteilungsfkt. von \(X_1\) ist, folgern kann, dass
\(P(\Phi(X_1) \leq F(x)) = F(x) \) aber auch hier verstehe ich nicht ganz das Wieso.

Praktisch gesehen müsste ich eigentlich alles haben, aber ich verstehe nicht warum:
1. \(F(F^{-1}(y)) = \mu(- \infty, inf\{x: F(x) \geq y\}] = y \)
2. \(P(\Phi(X_1) \leq F(x)) = F(x) \)

LG Discipulus Desperadus

Könnte mir hierzu nochmal jemand eine Erklärung geben? Ich scheitere hier wie gesagt wohl ein wenig an einem Unverständnis bezüglich Verteilungsfunktionen...
\(\endgroup\)


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MeWi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.03.2011
Mitteilungen: 610
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-18 00:34

\(\begingroup\)
Wie oft in der Mathematik besteht der Trick darin, alle überflüssigen Infos zu vergessen. Zugegebenermaßen ist es nicht immer leicht zu wissen, welche das sind.  wink

In diesem Fall musst du für die Identität $F(F^{-1}(y))=F(y)$ nur benutzen, dass $F$ monoton wachsend und rechtsstetig ist. Vielleicht hilft es aber für den Anfang sich klar zu machen, dass für streng monoton wachsendes stetiges $F$ die Funktion $F^{-1}$ die klassische Umkehrfunktion ist.

Das hilft dir dann auch bei deiner zweiten Frage. Die Funktion $\Phi$ ist eben streng monoton wachsend und stetig. Du kannst also noch einen zweiten Umformungsschritt machen, bei dem du auch $\Phi$ auf die rechte Seite bringst.
\(\endgroup\)


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Discipulus
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 7
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-18 01:41

\(\begingroup\)
Ahh, verstehe. Da hab ich wohl zu komplex darüber nachgedacht. Monotonie und Stetigkeit habe ich dabei ganz aus den Augen verloren, danke für den Hinweis!

Verstehe ich es dann richtig, dass wenn man dann \(\Phi\) auf die rechte Seite bringt, man das Argument benutzen kann dass \(\Phi\) die Verteilungsfunktion für \(X_1\) ist und dadurch dann \(=F(x)\) gilt? Oder ist das hier zu simpel gedacht?
\(\endgroup\)


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