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Mathematik » Kombinatorik & Graphentheorie » Wie viele n-Tupel mit p Zweierpaaren?
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Universität/Hochschule Wie viele n-Tupel mit p Zweierpaaren?
mhipp
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.08.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-19 18:23


Hi alle zusammen.

Wenn man viermal mit einem dreiseitigen Würfel (gibt's nicht, aber egal) würfelt, gibt es 3^4 = 81 Möglichkeiten, was man gewürfelt haben kann.
Einige dieser Möglichkeiten bestehen aus zwei Zweierpaaren mit je zwei gleichen Zahlen, also z.B. (1122), (3322), (1221), (2323) usw..


Frage 1: Wie viele solcher speziellen Kombinationen/4-Tupel gibt es (zwei Zweierpaare mit je zwei gleichen Zahlen, nicht zwei Zweierpaare mit zweimal derselben Zahl, also nicht (4444) etc.)?

Ich habe es berechnet mit ((4 über 2) × (2 über 2) × 3 × 2), meine Gedanken dabei waren die folgenden:
Aus den vier Zahlen erst zwei raussuchen und dann nochmal zwei, um zwei Zweierpaare zu bilden. Das erste Zweierpaar kann sich drei Zahlen ,,raussuchen", für das zweite bleiben nur noch zwei Zahlen übrig, da sonst vier gleiche Zahlen dastehen würden.
Wenn man es abzählt, kommt man jedoch auf nur 18 Paare (was stimmt, beim Abzählen kann man wenig falsch machen). Aber wie komme ich per Rechnung auf 18? Und was ist falsch an meiner Rechnung?


Frage 2: Allgemein: Wie viele n-Tupel gibt es beim n-fachen Wurf eines k-seitigen Würfels, sodass p Zweierpaare vorkommen, die je die selbe Zahl haben, untereinander aber verschiedene Zahlen (und wenn eine Zahl bereits von einem Zweierpaar ,,genutzt" wird, darf sie natürlich nicht mehr an anderer Stelle auftreten, sonst gibt es sie ja drei- (oder mehr) -mal und das ehemalige Zweierpaar ist jetzt ein Dreier- (oder mehr) -paar)(und es sollen nur einzelne Zahlen oder Zweierpaare vorkommen)?

Bsp.: Ein 7-Tupel mit 4 seitigem Würfel (der Einfachheit halber mit Zahlen 1 bis 4) und p=3 Zweierpaaren wäre z.B. (1324314), die drei Zweierpaare bestehen aus zwei Einsen und zwei Vieren und zwei Dreien.
Bei weiteren Verständnisfragen bezüglich meiner Ausdrucksweise bitte melden;-)

Danke schonmal
mhipp :-)



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Kitaktus
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Dabei seit: 11.09.2008
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Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-19 18:44


Bei der angegebenen Formel werden alle Tupel doppelt gezählt.
Für das Tupel 1122 kann man nämlich im ersten Schritt die Positionen 1 und 2 auswählen, im dritten Schritt die 1 und im vierten die 2, oder man wählt im ersten Schritt die Positionen 3 und 4 aus und am Ende erst die Zahl 2 und dann die Zahl 1.

Wenn man will, kann man sagen, der letzte Faktor ist nicht 3x2 sondern (3 über 2)

Die zweite Frage ist deutlich komplexer. Hier tauchen Zahlen auf, die zu keinem Zweier-Paar gehören. Sie können einzeln auftreten, aber auch in Drei-, Vierer-, ... Gruppen...
Knifflig.



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mhipp
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 55
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-19 19:20


Ok, damit ist meine Frage 1 beantwortet, meinen Fehler sehe ich ein, danke dafür :-)

@Kitaktus Aber warum kann man aus 3×2 (3 über 2) machen und dann stimmt's?

(Nach wie vor steht natürlich außerdem noch Frage 2 aus :-))

LG



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mhipp
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Dabei seit: 30.08.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-19 19:24


Und falls das Frage 2 einfacher macht:
Ich brauche die Formel eigentlich nur für den Spezialfall k=365, da das für meine Zwecke vollkommen ausreicht, daher überlasse ich es euch, ob ihr nach einer allgemeinen Formel sucht oder nach einer mit nur n,p variabel und k=365 ;-)



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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-19 22:09


Hallo mhipp,

2018-11-19 19:24 - mhipp in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich brauche die Formel eigentlich nur für den Spezialfall k=365, da das für meine Zwecke vollkommen ausreicht

Geht es dir lediglich darum, diese Anzahl auszurechnen, z. B. mithilfe einer Excel-Tabelle, oder suchst du tatsächlich nach einer Formel?



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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-20 06:42


@StrgAltEntf ich suche tatsächlich nach einer Formel, denn für meine Zwecke muss ich in die Formel für k=365 nacheinander alle möglichen ob's einsetzen und wenn ich mit allen p's durchbin ein neues n einsetzen und die ganzen p's wiederholen. Das kann ohne Weiteres mal ein Summe mit 20 Summenden und im Zähler der Summanden ein Produkt mit 20 Faktoren werden, wofür Excel glaub ein bisschen zu umständlich wäre.
Außerdem sind Formeln einfach schöner;-)

Mir ist gestern noch eine Idee gekommen, da muss ich heute dran arbeiten, vielleicht stimmt sie ja, dann hat sich das Thema sowieso erledigt - ich melde mich heute Abend nochmal.

LG mhipp



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-20 19:13

\(\begingroup\)
Es ist doch nicht so komplizert, wie ich zunächst dachte.

ZUnächst kann man sich leicht klar machen, dass \(2p\leq n\leq k+p\) und \(p\leq k\) gelten muss, dass es überhaupt solch ein n-Tupel geben kann. Dann:

- Für die p doppelten Zahlen gibt es \(\binom kp\) Möglichkeiten.

- Um für die p doppelten Zahlen 2p Positionen im n-Tupel auszuwählen, gibt es \(\binom n{2p}\) Möglichkeiten.

- Um die p doppelten Zahlen auf die ausgewählten 2p Positionen zu verteilen, gibt es \(\frac{(2p)!}{2^p}\) Möglichkeiten.

- Für die verbleibenden n-2p Positionen müssen die einzeln vorkommenden Zahlen aus den verbleibenden k-p Zahlen ausgewählt werden; dafür gibt es \(\binom {k-p}{n-2p}\) Möglichkeiten.

- Um die verbleibenden n-2p einzelnen Zahlen auf die n-2p Positionen zu verteilen, gibt es \((n-2p)!\) Möglichkeiten.

Die Gesamtanzahl ist also
\[\binom kp\cdot \binom n{2p}\cdot \frac{(2p)!}{2^p}\cdot \binom {k-p}{n-2p}\cdot (n-2p)!\]
Wenn man die Binomialkoeffizienten auflöst, lässt sich noch einiges kürzen.

Ich denke, das stimmt so. Du kannst ja mal ein kleines Beispiel rechnen und alle möglichen n-Tupel auflisten, um die Formel zu überprüfen.

Grüße
StrgAltEntf
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-20 19:19


Das Problem ist, die restlichen Plätze können nicht nur Einzelne, sondern auch Tripel, Quadrupel etc. enthalten.
Verboten sind nur weitere (exakte) Paare, falls ich es recht verstanden habe.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-20 19:31


Hi alle zusammen,
Wie versprochen nun ein Update:
Ich habe (ziemlich sicher) die Formel gefunden (für k=365) und schreibe sie euch, sobald ich das nächste Mal an einen Computer komme, am Handy ist das etwas blöd.

Auf jeden Fall Danke für eure Hilfe!
LG :-)



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-11-20 19:32


2018-11-20 19:19 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 7 schreibt:
Das Problem ist, die restlichen Plätze können nicht nur Einzelne, sondern auch Tripel, Quadrupel etc. enthalten.

Hm, ich hatte das anders verstanden: "wenn eine Zahl bereits von einem Zweierpaar "genutzt" wird, darf sie natürlich nicht mehr an anderer Stelle auftreten"

Aber das anschließende Beispiel des TS mit dem 7-Tupel gibt dir vielleicht recht.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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mhipp
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-21 06:35


Ich habe mich da glaube ich etwas blöd ausgedrückt. Das Beispiel war falsch, tut mit sehr leid, mein Fehler. Es sollen tatsächlich nur beliebig viele Zweierpaare und einzelne Zahlen vorkommem.

Aber macht euch bitte keine Mühe mehr, ich habe die Formel ja wahrscheinlich gefunden.
Ich melde mich nochmal.




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