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Universität/Hochschule Zwei Konklusionen unter dem Strich?
gummibaerchenkeks
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.11.2018
Mitteilungen: 3
  Themenstart: 2018-11-26

Hallo alle zusammen! Ich bin beim Lesen von einem Logikbuch auf die folgende Aufgabe gestoßen. "Der Kalkül \(\mathfrak{K}_v\) bestehe aus folgenden Regeln: \( \frac{}{x~~x} \); \( \frac{y~~t_i}{y~~ft_1...t_n},\) falls \(f\in S\) \(n\)-stellig und \(i\in \{1,...,n\}\). Man zeige, dass für alle Variablen \(x\) und alle \(S\)-Terme \(t\) gilt: \(xt\) ist in \(\mathfrak{K}_v\) ableitbar gdw \(x\in var(t)\)." Ich frage mich was \(\frac{}{x~~x}\) und \( \frac{y~~t_i}{y~~ft_1...t_n}\) bedeuten. Sind es unter dem Strich zwei Schlussfolgerungen die aus zwei Prämissen folgen? Und was bedeutet \(xt\)? Wenn \(t\) ein Term ist und \(x\) eine Variable, was ist dann \(xt\)? Muss man da einen Operator zwischen ihnen annehmen? Ich schätze mal, dass \(y\) eine Variable ist, aber das wird in der Aufgabe nicht explizit definiert. Vielen Lieben Dank schon mal an alle die diese (wahrscheinlich doofe) Frage überhaupt lesen. :-P Liebe Grüße


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tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2440
  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-26

Ich würde sagen, es geht hier um Urteile der Form $x\ t$, wobei $x$ eine Variable und $t$ ein Term ist. In beiden Regeln steht *ein* solches Urteil in der Konklusion, und über'm Strich haben wir in dem konkreten Regelsystem 0 oder 1 solcher Urteile. Wenn's hilft, kannst du dir stattdessen $x \ \epsilon\ t$ oder ähnliches denken. Damit lauten die Regeln: $$\begin{array}{c}~\\\hline x\ \epsilon\ x\end{array}; \qquad \begin{array}{c}y\ \epsilon\ t_i \\\hline y\ \epsilon\ ft_1\dots t_n \end{array}, \text{ falls }f\in S\ n\text{-stellig und } i\in\{1,\dotsc,n\}.$$ Und die Aufgabe lautet dann: zeige, dass $x\ \epsilon\ t$ ableitbar gdw. $x \in var(t)$.


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gummibaerchenkeks
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.11.2018
Mitteilungen: 3
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-26

Erst mal vielen Dank für die super schnelle Antwort! Mir ist das allerdings noch nicht so ganz klar geworden (bin neu in der Welt der Logik). Würde das gedachte \(x\in t\) bedeuten, - dass \(x\) eine Variable ist, die im Term \(t\) vorkommt (was aber dann eigentlich \(x\in var(t)\) heißen würde), oder - dass \(t\) eine Menge an Termen ist und \(x\) (die ja auch ein Term ist, weil sie eine Variable ist) aus dieser Menge ist? Liebe Grüße


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tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2440
  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-26

$x\ \epsilon\ t$ soll für $x \in var(t)$ stehen, ist aber nicht exakt dasselbe. Das eine ist ein syntaktisches Ding, das andere eine Aussage. Die Aufgabe besteht darin, nachzuweisen, dass der Kalkül vollständig und korrekt bezüglich dieser Semantik ist.


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gummibaerchenkeks
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Dabei seit: 26.11.2018
Mitteilungen: 3
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-26

Alles klar! Damit habe ich es glaube ich verstanden und mache mich nochmal an die Aufgabe. Nochmals vielen Dank! Ich werde dieses Forum weiter empfehlen! Liebe Grüße


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