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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Absolute Galois-Gruppe des Körpers der formalen Laurent Reihen in Charakteristik 0
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Universität/Hochschule Absolute Galois-Gruppe des Körpers der formalen Laurent Reihen in Charakteristik 0
xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-27 12:42

\(\begingroup\)
Hallo.

Ich bin auf der Suche nach der Absoluten Galoisgruppe von \(k((t))\), wobei \(k\) algebraisch abgeschlossen von der Charakteristik \(0\) ist.

Der Algebraische Abschluss von \(k((t))\) ist \(\underset{n\geq 1}{\bigcup k((t^{1/n}))}\).

Folglich ist die Absolute Galoisgruppe gegeben durch:
\(Gal(\underset{n\geq 1}{\bigcup k((t^{1/n}))}/{k((t))})\cong \underset{n\geq 1}{\varprojlim Gal(k((t^{1/n})))/{k((t))}}\).

Frage:
Was ist \(Gal(k((t^{1/n}))/{k((t))}\)?
Ich vermute, dass \(k((t^{1/n}))\cong k((t))(t^{1/n})\) gilt, konnte das aber noch nicht bestaetigen.

Hat jemand eine Idee?

Gruesse


-----------------
"Der Unterschied zwischen Meister und Amateur ist der, dass der Meister öfter gescheitert ist, als der Amateur es versucht hat."

"Umso mehr ich lerne, umso klarer wird mir wie wenig ich eigentlich weiss."
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-27 13:16

\(\begingroup\)
Die Frage hat sich erledigt:
Die Erweiterung ist zyklisch vom Grad \(n\).
Folglich gilt \(Gal(\overline{k((t))}/{k((t))})\cong \underset{n\geq 1}{\varprojlim \mathbb{Z}/n}\cong \widehat{\mathbb{Z}}\).
\(\endgroup\)


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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-12-07 00:55

\(\begingroup\)
Hi. Bin hier etwas zufällig auf deine Frage gestoßen. Könntest du vielleicht etwas ausführen, wie es sich begründet, dass $Gal(k((t^{1/n}))/{k((t))}$  einer zyklischen Gruppe entspricht? Insbesondere wieso für formale Potenzen dies derselben Galois-Gruppe wie für $k(t^{1/n})/k(t)$ entspricht?

Nebenbei bemerkt: Zu $Gal(\underset{n\geq 1}{\bigcup k((t^{1/n}))}/{k((t))})\cong \underset{n\geq 1}{\varprojlim Gal(k((t^{1/n})))/{k((t))}}$:

Ist dieser Iso nur für Kolimiten von algebraischer oder Galois Erweiterungen erklärt, oder gilt die Aussage wie folgt allgemeiner:

Sei $\varinjlim K_n $ Limes (dh direkter) von irgendwelchen Körpererweiterungen von $k$, dann gelte

$$Aut_k(\varinjlim K_n/k) \cong \varprojlim_n Aut(K_n/k)$$?

Unter welchen Voraussetzungen darfst du hier Limiten mit Kolimiten im obigen Sinne vertrauschen?

Gruß

Karl

\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-08 18:01

\(\begingroup\)
Hallo Karl.

Es freut mich, dass du dich dafür interessierst und die Frage ansprichst.

Der Isomorphismus wird explizit in S.Bosch Algebra bewiesen, siehe

4.2 Proendliche Galois-Gruppen Satz 7 Seite 153

und

die Aufgabe 6 auf Seite 156.

Der Isomorphismus gilt für normale Erweiterungen, denn \(L/K\) ist normal, genau dann wenn sich jeder \(K\)-Morphismus \(L\hookrightarrow \overline{K}\) zu einem \(K\)-Automorphismus von \(L\) einschraenkt.

Das bedeutet aber, dass \(Gal(-/K)\cong hom_K(-,\overline{K})\) gilt und es ist allgemein bekannt, dass kontravariante hom-Funktoren Kolimes auf Limes schicken, das heisst wir haben:

\(Gal(L/K)\cong hom_K(L,\overline{K})\cong hom_K(\varinjlim L_i,\overline{K})\cong \varprojlim hom_K(L_i,\overline{K})\cong \varprojlim Gal(L_i/K)\).

Warum die Erweiterung zyklisch ist ist mir jedoch nicht klar.
Meine urspruengliche Idee funktioniert nicht.
Vielleicht hast du eine Idee?

Da du dich aber fuer die Aufgabe interessierst koennen wir sie ja hier zusammen besprechen:

In der Besprechung dieser Uebung wurde die Aufgabe wie folgt geloest:

Aufgabe
Sei \(k\) algebraisch abgeschlossen und \(char(k)=0\).
Bestimme einen algebraischen Abschluss von \(k((t))\) und bestimme die Absolute Galois-Gruppe von \(k((t))\).

Loesung:
"Im original Wortlaut"
Claim:
\(k((t^{1/\infty})):=\bigcup k((t^{1/n}))\) is an algebraic closure of \(F:=k((t))\).

Assume that \(L/k\) with \([L:k]=n\), then \(k((t^{1/n}))\).
Let \(M:=L((t^{1/n}))\).
Will show that \(M=L\).
\(M/F\) is totally ramified, because \(\kappa_F=k\) is algebraically closed.
\(M/F\) is tamely ramified, because \(char(k)=0\).
\(F\) contains all roots of unity \(\overset{Exercise 2.b.) Sheet 5}{\Rightarrow} M/F\) is a cyclic extension.

Observe that \(Gal(M/L)\) and \(Gal(M/{k((t^{1/n}))})\) are subgroups of \(Gal(M/F)\) of index \(n\).

\(Gal(M/F)\) is cyclic \(\Rightarrow Gal(M/L)=Gal(M/{k((t^{1/n}))})\). \(\Rightarrow L=k((t^{1/n}))\).

Actually we have proven \(k((t^{1/n}))/F\) is the unique field extension of degree \(n\).

\(\Rightarrow Gal(\overline{F}/F)=\underset{n}{\varprojlim}Gal(k((t^{1/n}))/{k((t))})\cong \underset{n}{\varprojlim}\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}=\widehat{\mathbb{Z}}\).


Ende Loesung.
Exercise 2.b.) sheet 5:


Mir ist hier aber ein Problem aufgefallen:
\(k\) ist algebraisch abgeschlossen und folglich nicht endlich.
In Aufgabe 2.b. wird aber die Endlichkeit von \(k\) vorausgesetzt:
Es bezeichnet \(|\kappa_F|=|k|\) dort die Kardinalitaet von \(k\), welche aber in unserer Aufgabe nicht endlich ist.
Ein anderes Problem sehe ich in der Charakteristik.
Mir ist noch nicht klar, inwiefern die Aufgabe 2. fuer die Charakteristik \(0\) gilt.

Der Uebungsleiter meinte jedoch, dass sich dieses Problem beheben liesse indem man folgendes zeigt:

Prop'n
Sei \(K\) ein Lokaler Koerper mit perfektem Restklassenkoerper. (d.h. vollstaendiger diskret nicht-archimedisch bewerteter Koerper mit perfektem Restklassenkoerper.)
Sei \(L/K\) eine endliche Erweiterung vom Grad \(n\) welche alle \(n\)-ten Einheitswurzeln enthaelt und "tamely ramified" (wie heisst das auf Deutsch?) ist.
Dann ist \(L/K\) zyklisch.

Der Beweis soll aus der Kummer Theorie (Galois Theorie) folgen.
Ich versuche es jetzt zu beweisen.

Desweiteren ist mir noch nicht klar, inwiefern mit obiger Loesung die algebraische Abgeschlossenheit von \(k((t^{1/\infty}))\) gezeigt ist.
Hast du eine Idee?

Liebe Gruesse
小石头

PS:
(Ein paar Nebeninformationen zu diesem Thema die dir vllt. schon bekannt sind:

Mit \(k((t^{1/n}))\)) ist hier der Koerper der Puiseux-Reihen gemeint. Ich kenne zwei weitere Beweise, dass obige Konstruktion ein algebraischer Abschluss von \(k((t))\) ist. 1. Mit Newton Polygonen.  Das geht auf Newton zurueck und heisst "Newton Puiseux Theorem". 2. In Eisenbud's Commutative Algebra wird es bewiesen mit Mitteln der Kommutativen Algebra: Cor.13.15. page 295.
Der Fall char \(p\) ist komplizierter, ist aber auch bekannt. Man kann hierzu einen Beweis hier finden.
Beachte auch die Terminologie quasi-finite field).


 



\(\endgroup\)


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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-12-08 21:26


Hi xiao_shi_tou,
tamely ramified heißt auf Deutsch zahm verzweigt.
Gruß Buri



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-12-09 06:11

\(\begingroup\)
Hi,

hab da doch noch ein Paar Fragen zu der Verallgemeinerung von dieser Limes-Formel im Falle von normalen Erweiterungen:
Du reduzierst das ja auf $Hom_K$-Mengen, allerdings frag ich wie allgemeingültig  $hom_K(\varinjlim L_i,\overline{K})\cong \varprojlim hom_K(L_i,\overline{K})$ gilt. Ist das für alle Kategorien mit definierten Limiten/Kolimiten gültig? Hättest du dazu eine Referenz?

Weiterhin, vermute ich, dass bei der Lösung der Aufgabe, Information fehlt. Es heißt:
"Assume that $K/k$ with $[L:k]=n$, then $k((t^{1/n}))$ ??? Was erschließt man dann über $k((t^{1/n}))$.

Ansonsonsten hält sich auf diesem Bereich meine Kompetenz in Grenzen.

Zumindest vermute ich im Hinblick auf deine Frage, wieso 2a)+b) die Lösung für alg. Abgeschlossenheit von $k((t^{1/\infty}))$:

Also klar ist, dass $k((t^{1/\infty}))$ sich durch Wurzel-Erweiterungen der Form $L$ aus 2(a) nicht echt erweitern lässt. Dann müsstens du wahrscheinlich zeigen, dass im obigen Setting alle alg. Erweiterungen von solcher Gestalt wären. Wie zu jedoch die Forderungen an den GK dazu verbraucht, wüsste ich leider nicht.




Deine Frage, wieso der Schluss aus Prop'n mit Kummer-Theorie folgt, ist in
der Tat seltsam: $K$ enthält ja nach Annahme alle $n$-te Wurzeln und Kummer sagt, dass falls $L:K$ zyklisch (dh Galois-Gruppe zyklisch), dann $L= K(\sqrt[n]{a})$. Aber genau das willst du ja zeigen. Ich weiß nicht wie sich Kummer für lokale Körper bzw die ganzen Ramifizierungsbedingungen erweitert.

Um nochmal auf die Anfangsfrage zurückzukommen warum $k(t^{1/n})/k(t)$ zyklisch ist:

Hab folgendes überlegt: $k$ alg abg. , also enthält insb. $n$-te Einheitswurzeln, ebenso $k(t)$. Weiterhin ist $k(t^{1/n}) = k(t)[X]/(X^n-t)$ oder? Dann macht doch Kummer genau die Aussage, dass $k(t)[X]/(X^n-t)$ zyklisch ist. Oder hab ichs mir zu einfach gemacht?


Aus reiner Neugier: Ist das eine Vorlesung zu algebraischer Zahlentheorie oder Klassenfeldtheorie? Haben Kummer-Theorie nur "überflogen", aber irgendwie scheint es mir, dass im Hinblick auf diesen Thread unter zusätzlichen Forderungen an den Basiskörper Kummer noch weitere interessante Aussagen liefert, als bloss die allgemeine Bijektion aus Bosch.
Gruß
Karl
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
xiao_shi_tou_ hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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