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Analysis » Folgen und Reihen » Gecko auf Luftballon - rekursive Formel
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Universität/Hochschule Gecko auf Luftballon - rekursive Formel
trini2311
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-12-05 14:55


Hallo,
ich sitze mal wieder an einer Übungsaufgabe und komme nicht weiter.

Aufgabe:
Auf einem kugelförmigen Luftballon vom Radius 1m beginnt ein punktförmiger Gecko längs eines vorgezeichneten Meridians mit konstanter Geschwindigkeit von 5cm/h zu laufen. Nach jeder Stunde wird der Ballon um 1m aufgeblasen. Erreicht der Gecko theoretisch in endlicher Zeit seinen Ausgangspunkt auf dem Ballon?

Hinweise: Sei sn die Länge des vom Gecko zurückgelegten Weges nach n Stunden. Welcher Zusammenhang besteht zwischen s(n+1) und sn? Leiten sie aus diesem Zusammnehang induktiv eine expilizite Formel ab.


Meine Überlegen waren zuerst mal den Zusammenhang zwischen sn+1 und sn zu finden und das müsste so sein:

sn+1=sn+0,05 da der Gecko ja immer 0,05m pro Stunde weit läuft.
Jedoch weiß ich nicht wie man aus einer rekursiven Formel eine explizite Formel aufstellt??

Vielen Dank schonmal,
trini2311



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-12-05 15:24


Schon die Rekursion stimmt mMn. nicht.

Wie lang sind denn die Streckenstücke hinter ihm und vor ihm bspw. zu Beginn und nach der 1. Stunde?


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-12-05 20:07

\(\begingroup\)
Hallo trini2311,

2018-12-05 14:55 - trini2311 im Themenstart schreibt:
sn+1=sn+0,05

Wenn das so wäre, wäre ja \(s_n=n\cdot5\)cm.

Aber der Ballon wird ja jede Stunde größer. Der Gecko entfernt sich jedes Mal durch das Aufblasen um ein weiteres Stückchen.
\(\endgroup\)


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trini2311
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-05 20:34


Achso stimmt...ich hab den Ballon völlig außen vor gelassen...

s0 müsste ja dann 0 sein, weil der Gecko sich ja noch nicht bewegt hat.
Dann bewegt er sich um 0,05m und dann wird der Ballon aufgeblasen.

Ich hab mal etwas rumprobiert und hätte rausgefunden, dass das Ganze dann mal den Faktor 1,5 genommen werden müsste?

also s1=(s0+0,05)*1,5=0,075; s2=(s1+0,05)*1,5=0,1875 und so weiter..

Dann wäre die rekursive Formel: sn+1=(sn+0,05)*1,5??



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-12-05 20:40

\(\begingroup\)
Falls du meinst, es stimme, rechne mal $s_2$ aus und vergleiche mit dem Ergebnis, das du von Hand erhälst.


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trini2311
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-05 22:44


Okay das haut nicht hin...

also wenn ich das per Hand ausrechne komme ich auf rund 0,0993...also wäre das dann der Faktor 1,98..

Aber theoretisch müsste es doch 1,8333 sein oder? Da wir gerade das Thema Reihen haben, hab ich bei den ersten Faktoren an die harmonische Reihe gedacht, aber das scheint ja nicht zu passen...



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-12-06 09:31

\(\begingroup\)
In jedem Schritt läuft der Gecko 5cm weiter, außerdem wird der Meridian gestreckt.

Der Streckfaktor ist im 1. Schritt $\frac{3}{2}$, im 2. Schritt $\frac{4}{3}$, im dritten Schritt $\frac{5}{4}$ und im $n$-ten Schritt $\dots$ (hier könnte ihre Werbung - ähhh - Antwort stehen)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-06 13:52


Im n-ten Schritt ist die Streckung dann n+2/n+1...oder?

Also wäre meine rekursive Formel dann:

sn+1=sn+0.05×(n+2)/(n+1)?



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-12-06 15:03

\(\begingroup\)
So stimmt der Term immer noch nicht.

Es muss gelten $s_{n+1} = \frac{n+3}{n+2}(s_n+0.05), s_0=0$


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trini2311
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-06 15:21


Achso ja es muss ja bei 0 beginnen!

Und wie formt man eine rekursive Formel in eine explizite Formel um?



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-12-06 15:31


Schreibe ein paar Reihenglieder aus und dann sollte/könnte dir etwas auffallen.


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trini2311
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-06 17:36


Also ich habe mal die ersten 5 ausgerechnet:

fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
 
...aber ich sehe keine Zusammenhang zwischen den einzelnen Ergebnissen...



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-12-06 18:00


Es wird vielleicht einfacher zu sehen sein, wenn du statt 0.05 erst einmal a schreibst und die Brüche nicht ausrechnest, sondern nur kürzt.



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trini2311
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-06 21:22


Meinst du dass so:

Beispielweise: s2=4/3×a+1/10 s3=5/4*a+5/24?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-12-06 22:27

\(\begingroup\)
Ich meinte es so:
\(s_0=0\)
\(s_1=\frac32a\)
\(s_2=\frac43(\frac32a+a)=4a(\frac12+\frac13)\)
\(s_3=\frac54(4a(\frac12+\frac13)+a)=5a(\frac12+\frac13+\frac14)\)
...
Erkennst du das Bildungsgesetz?
\(\endgroup\)


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trini2311
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-08 22:50


Ja das kenne ich!

Die Summe aus den Brüchen ist die harmonische Reihe für k=2, da sie ja bei 1/2 beginnt!
Der Faktor davor mit dem a wäre ja dann immer k+1 oder?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-12-09 14:56


2018-12-08 22:50 - trini2311 in Beitrag No. 15 schreibt:
Der Faktor davor mit dem a wäre ja dann immer k+1 oder?

Was meinst du damit? a ist doch 5 cm.

Kannst du das Bildungsgesetz mithilfe der Rekursionsgleichung beweisen?

Welche Auswirkung hat die Tatsache, dass es sich um die harmonische Reihe handelt, auf die ursprüngliche Aufgabenstellung?



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trini2311
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09 19:05


Ja aber durch das Ausklammern, damit die gekürzten Brüche in der Klammer entstehen, muss ich doch auch für die allgemeine Formel berücksichtigen oder?

Das soll ich ja mit Induktion beweisen..mach ich das einfach in dem ich das so wie bei den ersten Reihengliedern für n+1 Glieder beweise?

Naja da die harmonische Reihe ja divergiert,müsste der Gecko seinen Ausgangspunkt nicht erreichen können oder?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-12-09 19:25

\(\begingroup\)
2018-12-09 19:05 - trini2311 in Beitrag No. 17 schreibt:
1) Das soll ich ja mit Induktion beweisen..mach ich das einfach in dem ich das so wie bei den ersten Reihengliedern für n+1 Glieder beweise?

2) Naja da die harmonische Reihe ja divergiert,müsste der Gecko seinen Ausgangspunkt nicht erreichen können oder?

1) Die Behauptung ist \(s_n=(n+2)a(\frac12+\frac13+...+\frac1{n+1})\). Das kannst du mit vollständiger Induktion beweisen. Im Induktionsschritt  musst du die Rekursionsgleichung \(s_{n+1}=\frac{n+3}{n+2}(s_n+a)\) verwenden.

2) Im Gegenteil: der Gecko wandert unendlich weit. Allerdings musst du bedenken, dass sich der Ausgangspunkt durch das Aufblasen auch immer weiter entfernt. Gewinnt der Gecko das rennen?
\(\endgroup\)


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trini2311
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09 20:12


Zu 2.)
Naja theoretisch gewinnt der Gecko nur das Rennen wenn er schneller um den Ballon wandert, als der Ballon größer wird.
Da der Ballon immer 1m pro Stunde wächst aber der Gecko nur 5cm pro Stunde läuft, schaff er es doch nicht an seinen Ausgangspunkt...



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-12-09 21:00

\(\begingroup\)
2018-12-09 20:12 - trini2311 in Beitrag No. 19 schreibt:
Da der Ballon immer 1m pro Stunde wächst aber der Gecko nur 5cm pro Stunde läuft, schaff er es doch nicht an seinen Ausgangspunkt...

Das sagt einem erst einmal die Intuition. Aber das lässt sich doch bestimmt auch aurechnen! Zu Beginn ist das Ziel ja \(2\pi\) Meter entfernt. Wie weit ist es vom Gecko zum Ziel nach n Stunden?
\(\endgroup\)


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trini2311
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09 22:32


Naja nach einer Stunde wären es ja 2*pi*1,5 Minus das was der Gecko gelaufen ist...

Also wäre es ja 2*pi*(n+2)/2 und dann wieder das abgezogen, was der Gecko in diesen 11 Stunden gelaufen ist oder?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2018-12-09 22:49


2018-12-09 22:32 - trini2311 in Beitrag No. 21 schreibt:
Naja nach einer Stunde wären es ja 2*pi*1,5 Minus das was der Gecko gelaufen ist...

Also wäre es ja 2*pi*(n+2)/2 und dann wieder das abgezogen, was der Gecko in diesen 11 Stunden gelaufen ist oder?

Du redest wirr  eek

Wieso 2*pi*1,5 nach einer Stunde und wieso 11?



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trini2311
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09 23:28


Na weil nach einer Stunde der Ballon um 1m aufgeblasen wurde also vergrößert sich ja der Umfang den der Gecko als Weg zurücklegen muss...

Und die 11 Stunden sollten "n" Stunden sein, sorry!!



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2018-12-09 23:38

\(\begingroup\)
Nach einer Stunde hat der Ballon einen Radius von zwei Metern, also einen Umfang von \(4\pi\). Nach n Stunden dann \(2n\pi\).

Der Abstand ist also \(2n\pi-s_n\). Kann das 0 werden?
\(\endgroup\)


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trini2311
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-10 09:02


Aber ich hab die oberen Sachen immer mit einer Änderung von 0,5m im Radius berechnet. Der Ballon wird ja dabei auch 1m größer..das verwirrt mich jetzt



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2018-12-10 09:37

\(\begingroup\)
2018-12-05 15:24 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 1 schreibt:
Schon die Rekursion stimmt mMn. nicht.

Wie lang sind denn die Streckenstücke hinter ihm und vor ihm bspw. zu Beginn und nach der 1. Stunde?

Warum stimmt das nicht?
Das punktförmige Geko läuft mit konstanter Geschwindigkeit von \(0,05m/h\).
Also gilt \(s_{n+1}=s_n+0.05m\).

Für die Winkelentfernung oder die Entfernung im Raum gilt natürlich etwas anderes.

Fassen wir die Aufgabe verschieden auf?



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"Der Unterschied zwischen Meister und Amateur ist der, dass der Meister öfter gescheitert ist, als der Amateur es versucht hat."

"Umso mehr ich lerne, umso klarer wird mir wie wenig ich eigentlich weiss."
\(\endgroup\)


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trini2311
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-10 09:45


Na das stimmt nicht, weil sich ja zusätzlich zur Geschwindigkeit vom Gecko auch noch der Ballon immer um 1m aufgeblasen wird...das verändert ja den Abstand nochmal zusätzlich.



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2018-12-10 09:48

\(\begingroup\)
2018-12-10 09:37 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 26 schreibt:
2018-12-05 15:24 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 1 schreibt:
Schon die Rekursion stimmt mMn. nicht.

Wie lang sind denn die Streckenstücke hinter ihm und vor ihm bspw. zu Beginn und nach der 1. Stunde?

Warum stimmt das nicht?
Das punktförmige Geko läuft mit konstanter Geschwindigkeit von \(0,05m/h\).
Also gilt \(s_{n+1}=s_n+0.05m\).

Fassen wir die Aufgabe verschieden auf?


Du berechnest die gelaufene Strecke, wir berechnen den Abstand (auf der Kugeloberfläche) zwischen Startpunkt und aktueller Position.
Letzterer erscheint im Sinne der Aufgabenstellung interessanter zu sein, oder übersehen wir einen Trick?



2018-12-10 09:02 - trini2311 in Beitrag No. 25 schreibt:
Aber ich hab die oberen Sachen immer mit einer Änderung von 0,5m im Radius berechnet. Der Ballon wird ja dabei auch 1m größer..das verwirrt mich jetzt

Ich wäre auch von 0.5m Radiusänderung ausgegangen. Das ändert jedoch nichts grundlegendes.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2018-12-10 10:00

\(\begingroup\)
2018-12-09 23:38 - StrgAltEntf in Beitrag No. 24 schreibt:
Nach einer Stunde hat der Ballon einen Radius von zwei Metern, also einen Umfang von \(4\pi\). Nach n Stunden dann \(2n\pi\).

Der Abstand ist also \(2n\pi-s_n\). Kann das 0 werden?

Hi.
Wieso gilt das?
Der Weg \(s_n\) verteilt sich auf die \(n\) verschiedenen Kreise und nicht nur auf den \(n-\)ten Kreis.

Wieso bestimmt Ihr nicht einfach die Winkelentfernung und vergleicht sie mit \(2\pi\)?

Gruß

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2018-12-10 10:05

\(\begingroup\)
2018-12-10 09:48 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 28 schreibt:
2018-12-10 09:37 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 26 schreibt:
2018-12-05 15:24 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 1 schreibt:
Schon die Rekursion stimmt mMn. nicht.

Wie lang sind denn die Streckenstücke hinter ihm und vor ihm bspw. zu Beginn und nach der 1. Stunde?

Warum stimmt das nicht?
Das punktförmige Geko läuft mit konstanter Geschwindigkeit von \(0,05m/h\).
Also gilt \(s_{n+1}=s_n+0.05m\).

Fassen wir die Aufgabe verschieden auf?


Du berechnest die gelaufene Strecke, wir berechnen den Abstand (auf der Kugeloberfläche) zwischen Startpunkt und aktueller Position.
Letzterer erscheint im Sinne der Aufgabenstellung interessanter zu sein, oder übersehen wir einen Trick?



2018-12-10 09:02 - trini2311 in Beitrag No. 25 schreibt:
Aber ich hab die oberen Sachen immer mit einer Änderung von 0,5m im Radius berechnet. Der Ballon wird ja dabei auch 1m größer..das verwirrt mich jetzt

Ich wäre auch von 0.5m Radiusänderung ausgegangen. Das ändert jedoch nichts grundlegendes.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]

Ich bezweifle nicht, dass Ihr falsch liegt, aber scheinbar fassen wir die Aufgabe vershieden auf bzw. gehen sie verschieden an.
Auf welcher Kugeloberfläche meinst du? Startpunkt und Endpunkt liegen immerhin auf verschiedenen Kugeloberflächen.
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, eingetragen 2018-12-10 10:08

\(\begingroup\)
Mein Ansatz wäre:
Sei \(\omega_n\) der in der \(n-\)ten Stunde zurueckgelegte Winkel.
Dann ist die Frage, ob es ein \(n\) gibt mit \(\omega_1+\omega_2+\cdots+\omega_n\geq 2\pi\) zu beantworten.

Das ist recht einfach zu sagen...
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, eingetragen 2018-12-10 10:14


2018-12-10 10:05 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 30 schreibt:

Ich bezweifle nicht, dass Ihr falsch liegt, aber scheinbar fassen wir die Aufgabe vershieden auf bzw. gehen sie verschieden an.
Auf welcher Kugeloberfläche meinst du? Startpunkt und Endpunkt liegen immerhin auf verschiedenen Kugeloberflächen.

Ich praktiziere mal ein wenig Tierquälerei und klebe dem Gecko einen Filzstift an den Schwanz.
Der Startpunkt ist der Anfang der Linie entlang des Meridians der aktuellen Kugeloberfläche.

Dein Ansatz über den Winkel funktioniert natürlich auch.
Ich sehe nur nicht, warum das einen Unterschied machen sollte?
Außer dass du den Radius früher herauskürzt, ändert sich doch nichts.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.30 begonnen.]


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.33, eingetragen 2018-12-10 10:35

\(\begingroup\)
2018-12-10 10:14 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 32 schreibt:
2018-12-10 10:05 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 30 schreibt:

Ich bezweifle nicht, dass Ihr falsch liegt, aber scheinbar fassen wir die Aufgabe vershieden auf bzw. gehen sie verschieden an.
Auf welcher Kugeloberfläche meinst du? Startpunkt und Endpunkt liegen immerhin auf verschiedenen Kugeloberflächen.

Ich praktiziere mal ein wenig Tierquälerei und klebe dem Gecko einen Filzstift an den Schwanz.
Der Startpunkt ist der Anfang der Linie entlang des Meridians der aktuellen Kugeloberfläche.

Dein Ansatz über den Winkel funktioniert natürlich auch.
Ich sehe nur nicht, warum das einen Unterschied machen sollte?
Außer dass du den Radius früher herauskürzt, ändert sich doch nichts.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.30 begonnen.]

Das punktförmige Gekotier beginnt seinen Weg auf der 1. Kugel. Nach einer Stunde wird es auf die 2. Kugel geliftet und so weiter. Du meintest Ihr betrachtet den Abstand zwischen dem Startpunkt und der aktuellen Position auf der Kugeloberfläche. Auf welcher der \(n\) Kugeloberflächen? Der gesamtweg der Länge \(s_n\) liegt immerhin nicht auf einer einzelnen Kugeloberfläche (es sei den \(n=1\)), sondern verteilt sich auf verschiedene Kugeloberflächen.

Kannst du bitte genau definieren, was du unter "Abstand des Startpunktes und der aktuellen Position auf der Kugeloberfläche" verstehst?
Ich verstehe deinen Ansatz noch nicht.

Liebe Grüße
PS:
Armes Geko xD
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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.34, eingetragen 2018-12-10 10:49

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Wir befinden uns immer auf der Oberfläche des Ballons und ich beziehe mich immer auf die aktuelle Kugeloberfläche.

Hinter dem Gecko ist der Meridian markiert, vor ihm nicht.
Die Gesamtlänge des Meridians beträgt $U_n=\frac{2\pi(n+2)}{2}$.
Die Länge der Markierung beträgt $s_n=\frac{1}{20}(n+2)(H_n - 1)$.
(Herleitung siehe bspw. StrgAltEntf; alle Längen in Metern)
Ist die Markierung länger/gleich der Gesamtlänge, hat er die Umrundung geschafft.

Betrachtet man wie du die Winkel (das ist natürlich eleganter), fällt jeweils der Faktor $(n+2)$ weg. Am Verhältnis ändert das jedoch nichts, da nur gekürzt wird.


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