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Elementare Zahlentheorie » Diophantische Gleichungen » x² - 114 y² = 1
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Autor
Universität/Hochschule J x² - 114 y² = 1
stpolster
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 590
Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-12-06 23:13

\(\begingroup\)
Hallo,
bei der 5.Aufgabe des EE-Adventskalenders tritt für die Pellsche Gleichung
\(
x^2=114\cdot y^2+1
\)
die kleinste Lösung ( \(y > 0\) ) auf. Es ist klar, dass man dies exakt über den Kettenbruch von \(\sqrt{114}\) und die Näherungsbrüche löst (x=1025, y=96). Durch einen Mitspieler wurde aber folgendes angemerkt:

"Da 2, 3, 19 Teiler von \(114y^2\) sind, können sie keine Teiler von \(114y^2+1\) sein. Damit sind sie dann auch nicht Teiler von x.
Da x weder durch 2 noch durch 3 teilbar ist, ist x von der Form \(6n \pm 1\).
Zahlen von dieser Form haben eine interessante Eigenschaft: Ihr Quadrat ist immer 1 mehr als ein Vielfaches von 24.
Damit ist \(x^2=24k+1=114y^2+1\), oder anders ausgedrückt ist \(19y^2=4k\), also ist y gerade."

Ich finde dies sehr interessant, sehe aber nicht, ob man damit zu einer Lösung kommt.
Hat jemand von euch eine Idee.

Danke
Steffen
 
\(\endgroup\)


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Kornkreis
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Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-12-07 00:17

\(\begingroup\)
Ich glaube diese Überlegungen sind noch zu wenig - es gilt nämlich generell, dass eine ungerade Quadratzahl von der Form $8m+1$ ist: $(2n+1)^2=4n(n+1)+1=8m+1$.

Da 114 durch 2, aber nicht durch 4 teilbar ist, folgt hier also direkt, dass $y$ gerade sein muss.
\(\endgroup\)


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pzktupel
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Aus: Thüringen,Erfurter Raum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-12-07 14:00


...



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DerEinfaeltige
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Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1949
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-12-07 14:16

\(\begingroup\)
2018-12-07 14:00 - pzktupel in Beitrag No. 2 schreibt:


GROSSER GOTT, für die 114 klappt es auch,was mach ich nun ? Die Pell Gleichungen sind lösbar per Hand !!!

Gebt mal ne Spontangleichung an, aber nicht so hoch.

$x^2-661y^2=1$


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
\(\endgroup\)


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pzktupel
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Aus: Thüringen,Erfurter Raum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-12-07 14:17


....



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DerEinfaeltige
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-12-07 14:27

\(\begingroup\)
Periode des Kettenbruchs hat eine Länge von 1624.

Minimallösung:
$(x,y)=(16421658242965910275055840472270471049, 638728478116949861246791167518480580)$

Worst-Case unter 1000.


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\(\endgroup\)


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pzktupel
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Aus: Thüringen,Erfurter Raum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-12-07 14:39


...



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