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Strukturen und Algebra » Gruppen » Fixpunkte der Operation von O(n) auf R^n
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Universität/Hochschule Fixpunkte der Operation von O(n) auf R^n
DickerFisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-12-07


Hallo zusammen,

Die Gruppe der orthogonalen Matrizen <math>O(n)</math> operiere auf <math>\mathbb{R}^n</math> durch Matrixmultiplikation via <math>(A,x) \mapsto Ax</math>.

Ich soll nun herausfinden, welche Fixpunkte diese Operation hat.
Die Fixpunkte für alle <math>A \in O(n)</math> sind die Vektoren <math>(x_1,...,x_n)^T</math> mit <math>Ax=x</math>. Die Frage ist also insgesamt: Welche Vektoren bleiben von einer orthogonalen Matrix unter Matrixmultiplikation unberührt?

Rein geometrisch muss man sich doch folgendes überlegen: Wenn ich die orthogonale Matrix auf Vektoren anwende, werden die um den Ursprung gedreht. Welche Vektoren können nun nicht gedreht werden? Naja. Eigentlich nur die <math>(0,0,...,0)^T</math>, oder nicht?

Wie zeige ich das nun formal? Ich habe mir folgendes überlegt:
Wenn ich eine Matrix mit Einträgen abcd mit einem Vektor <math>(e,f)^T</math> multipliziere, und das ganze wieder <math>(e,f)^T)</math> ergeben soll (Also die Definition des Fixpunktes <math>Ax=x</math>), dann erhalte ich das GLS
i) <math>ae+bf=e</math>
ii) <math>ce+df=f</math>
Dies geht für <math>e=0</math> und <math>f=0</math> natürlich auf. Wie zeige ich jetzt, dass es NUR mit <math>(0,0)^T</math> geht? Hier muss ich vermutlich noch die Definition von <math>A \in O(n)</math> einarbeiten, also <math>A^TA=I_n</math>, woraus sich mit Matrix A mit Einträgen abcd und seiner Transponierten acbd das Gleichungssystem
i) <math>aa+bb=1</math>
ii) <math>ac+bd=0</math>
iii) <math>ca+db=0</math>
iv) <math>cc+ad=1</math>
ergibt.
D.h. insgesamt habe ich 6 Zeilen an Gleichungen und daraus ergibt sich jetzt irgendwie, dass e,f Null sein müssen... Aber wie genau zeige ich das bei den Gleichungen? Bin da echt scheiße schlecht drin sowas aufzulösen.
Und ist das so überhaupt richtig?

Nun zu ii) Beschreiben Sie die Bahnen dieser Operation mit Hilfe der Norm auf <math>\mathbb{R}^n</math>.
Geometrisch:
Die Bahn von einem <math>x \in \mathbb{R}^n</math> ist gerade die Drehung um den Ursprung. Das heißt für ein Element <math>x</math> ist die Bahn gerade jedes Element <math>x"</math> für die die Norm <math>||x"||</math> gleich der Norm <math>||x||</math> ist. Also alle Elemente für die der Abstand gleich ist, so ergibt sich in <math>\mathbb{R}^3</math> eine Sphäre um den Ursprung - daher vermutlich auch der Name Orbit? Ist die Aufgabe damit schon gelöst? Hab ja die Elemente der Bahn eindeutig beschrieben... Oder muss ich das noch formal zeigen?

Jetzt zur Anwendung meines "Wissens" in iii)
Sei <math>n \geq 2</math>. Zeigen Sie, dass für alle <math>x \in \mathbb{R}^n</math> (ohne Null) ein <math>A \in O(n)</math> existiert, sodass <math>St_{O(n)}(x)=AO(n-1)A^{-1}</math>. Hier fassen wir <math>O(n-1)</math> via <math>A \mapsto Matrix(100A)</math> als Untergruppe von <math>O(n)</math> auf. Hinweis: Betrachten Sie zunächst den Fall <math>x=e_1:=(1,0,...,0)^T</math> und überlegen Sie sich, dass <math>St_{O(n)}(\lambda x)=St_{O(n)}(x)</math> für <math>\lambda \neq 0</math>. Hier hab ich keine Ahnung...



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-12-07


Hallo DickerFisch,

Spiegelungen sind auch orthogonal.

Wally



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-12-07


2018-12-07 12:16 - DickerFisch im Themenstart schreibt:

Rein geometrisch muss man sich doch folgendes überlegen: Wenn ich die orthogonale Matrix auf Vektoren anwende, werden die um den Ursprung gedreht. Welche Vektoren können nun nicht gedreht werden? Naja. Eigentlich nur die <math>(0,0,...,0)^T</math>, oder nicht?


... oder nicht.

Wink mit dem Zaunpfahl:
Was soll eigentlich "um den Ursprung" gedreht bedeuten?
Eine Drehung findet für gewöhnlich um eine Achse statt.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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DickerFisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-07


Ach Sch*** - die orthogonalen Matrizen spiegeln oder drehen, sodass der Winkel des Vektors gleich bleibt. Jaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, dann alles noch mal neu durchdenken.

Hatte gedacht die drehen einen Punkt beliebig im Kreis...



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DickerFisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-08


Ich glaube der Zaunpfahl war zu klein.
Also ich hab mir jetzt in Geogebra das Wikipedia-Beispiel <math>Q = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}</math> mit dem Punkt <math>(1,1)^T</math> angeschaut. Die orthogonale Matrix dreht hierbei den Punkt mit selben Abstand zu Null und mit selben Winkel wie im Bild. Die roten Winkel sind gleich.


Ich bin doch tatsächlich auf der Suche nach den <math>x \in R^n</math>. Nicht nach <math>A</math> für die <math>Ax=x</math> gilt.
Ich brauche also ein <math>x</math> bei dem für alle $A$ aus $(O(n)$ gilt <math>Ax=x</math> - oder hab ich die Definition schon nicht richtig verstanden?

Das ist, nachdem ich jetzt in Geogebra/Matrixcalc rumgespielt habe nur möglich, wenn <math>x=0</math> ist oder ich muss mein orthogonale Gruppe auf alles einschränken, was zwei mal spiegelt, aber das stünde ja im Widerspruch zur Definition...




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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-12-08


Eine echte Rotation in $R^2$ hat als Fixpunkt nur den Ursprung.
Da hast du schon recht.
Allgemein ist das jedoch nicht der Fall.


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DickerFisch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-08


Ich komm nicht drauf.
Welcher Punkt bleibt denn FÜR ALLE orthogonalen Matrizen IMMER fix, der nicht Null ist?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-09


Wenn du (mit einem gewissen Winkel $\alpha$) um die x-Achse rotierst, entspricht das einer orthogonalen Matrix, und alle Punkte auf der x-Achse bleiben fix. :)

Rechnerisch ist das die Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha)\end{pmatrix}$ und dem Fixpunkt $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$



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