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Mathematik » Numerik & Optimierung » einfaches (?) Optimierungsproblem bei Auktionen
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Universität/Hochschule einfaches (?) Optimierungsproblem bei Auktionen
twinna
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 23.05.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-12-09


Hallo Zusammen,

ich habe grade ein großes Brett vor dem Kopf und die Erinnerungen aus der Schule sind auch wie verflogen.

Ich habe folgendes Problem mit einer Budgetbeschränkung:
Ich kann an 4 gleichzeitig stattfindenden Auktionen teilnehmen.

Den Auktionen bzw. den Gütern die versteigert werden messe ich folgende Werte zu:

v1 = 100
v2 = 100
v3 = 70
v4 = 40

Es nehmen eine verschiedene Anzahl von Mitstreitern an den Auktionen teil:
A1 = 2 Bieter
A2 = 4 Bieter
A3 = 2 Bieter
A4 = 3 Bieter


Das Budget welches mir zur Verfügung steht beträgt B = 250.

Nun könnte man sagen, ich nehme an Auktion 1,2 und 4 Teil um im Erfolgsfall insgesamt Güter im Wert von 240 zu besitzen.(100+100+40)
Durch die Anzahl der Bieter ist es aber nicht gleich wahrscheinlich eine Auktion zu gewinnen.

Ich habe angenommen, dass die Wertschätzungen aller Bieter gleichverteilt sind.

Daraus ergeben sich die folgenden Erfolgswahrscheinlichkeiten pro Auktion:
A1 = 0,5
A2 = 0,25
A3 = 0,5
A4 = 0,33

Daraus habe ich eine Funktion zusammengestellt:

Ertrag = 100*0,5*x1 + 100*0,25*x2 + 70*0,5*x3 + 40*0,33*x4

x = 1 für alle x. (Jeweils eine Auktion mit einem Gut)

Da die kumulierte Wertschätzung der Güter mein Budget übersteigt muss ich überlegen, aus welcher Auktion ich aussteige um bei anderen Auktionen mein Gebot erhöhen zu können.

Mit dieser Überlegung habe ich jeweils den Termin einer Auktion weggelassen und komme auf folgende Erträge:

A1,A2 und A4 = 88,33
A2,A3 und A4 = 73,33
A1,A3 und A4 = 98,33

98,33 ist am höchsten und, somit würde ich aus Auktion 2 aussteigen wenn es notwendig wäre.

Wie löse ich dieses Problem nun "sauber" mathematisch?

Ich hoffe es ist einigermaßen verständlich dargestellt.

Vielen lieben Dank für Eure Ideen/Antworten/Anmerkungen


 



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-12-09


Hallo twinna,

ich denke nicht, dass man den Zuschlag bei einer Auktion mit einem Zufallsexperiment vergleichen kann. Jedenfalls nicht, wie du es tust.

Wenn drei Bieter alle der Ansicht sind, dass ein Artikel für sie genau einen Wert von 40 Euro (und keinen Cent mehr) hat, dann ist es ja kein Zufall, wer von ihnen den Zuschlag erhält. Sondern es erhält der den Zuschlag, der zuerst 40 Euro sagt.



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twinna
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09


Hallo strgaltentf,

es ist ja nicht gesagt, dass die anderen Bieter auch eine Wertschätzung von 40 haben. Wie gesagt gleichverteilt.


LG






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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-12-09


2018-12-09 17:30 - twinna in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie gesagt gleichverteilt.

Ach so ... ich hatte "gleich" gelesen. Gleichverteilt auf welcher Menge?



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twinna
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09


Wenn die Menge unbekannt ist, kann man dann davon ausgehen, dass wenn es zwei Bieter gibt, jeder Bieter zu 50% gewinnt?

Das habe ich jedenfalls angenommen.

Falls das Problem wirklich nicht so zu lösen ist, wie würdest du es denn dann lösen?

LG



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-12-09


2018-12-09 20:14 - twinna in Beitrag No. 4 schreibt:
Falls das Problem wirklich nicht so zu lösen ist, wie würdest du es denn dann lösen?

Kniffelig  eek

Handelt es sich um eine Aufgabe oder um ein "echtes" Problem? Falls es eine Aufgabe ist, wie lautet der genaue Wortlaut?



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twinna
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09


Ich habe leider keine Aufgabenstellung,

das ist ein tatsächliches Problem.

Schönen Abend



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-12-09


Nehmen wir an, die Blaue Mauritius ist dir persönlich 40 Euro wert und es gibt drei Bieter. Meinst du wirklich, dass dann die Wahrscheinlichleit, die Auktion für dich zu entscheiden 1/3 ist?

Du musst wohl, wie auch immer, eine Schätzung für das Bietverhalten deiner Kontrahenten machen. (Z. B. aus Beobachtungen von vergangenen Auktionen, wo ähnliche Artikel versteigert wurden.)



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gonz
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Aus: Oberharz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-12-10


Guten Morgen :)

Grundsätzlich solltest du auch noch an der Zielfunktion arbeiten. Wenn etwas dir zB 40 Euro Wert ist, und du es für 40 Euro ersteigerst, dann hast du aus dieser Sichtweise keinen Gewinn, denn du hast 40 Euro in Geld gegen 40 Euro in der Anlage in dieses Ding getauscht. Das heisst dein Gewinn ist die Summe der ersteigerten Dinge abzüglich dessen, was du dafür ausgegeben hast.

Grüsse aus dem Harz
Gerhard/Gonz



-----------------
to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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Kitaktus
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Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-12-10


Der Knackpunkt an praktischen Problemen ist oft die Frage: Gelingt es, die Aufgabenstellung (Nebenbedingung, Zielfunktion) so zu formulieren, dass der Mathematiker sie korrekt versteht?

Ich habe folgendes verstanden:
Man kann in mehreren Auktionen mitbieten. Das Gesamtkapital, dass man bieten kann beträgt 250(*).
Der erwartete Gewinn(**) berechnet sich aus dem Wert eines Gegenstands multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit ihn zu erhalten, die hier als umgekehrt proportional zur Bieterzahl angesehen wird.

Wenn die Aufgabe darin besteht, die Gegenstände auszuwählen, deren Kosten das Budget nicht überschreiten und deren erwarteter Gewinn maximal ist, dann hast Du alles richtig gemacht.
Allgemein hätte man es hier mit einem "Rucksack-Problem" (engl.: knapsack problem) zu tun. Diese Probleme sind nicht ganz trivial, in vielen Fällen aber algorithmisch noch ganz gut lösbar. Wenn es nur 4 Gegenstände gibt, sowieso, da kann man ja alle Fälle durchprobieren.

(*) Denkbar sind natürlich auch Problemstellungen, bei denen man durch Erhöhung des Gebots seine Chancen steigern kann. Bislang deutet aber nichts darauf hin.
(**) Das die Zielfunktion aus der Summe der Werte multipliziert mit der Erfolgswahrscheinlichkeit besteht, kann man nur vermuten. Ob hier nicht auch irgendwie die gebotenen Summen eingehen sollten (insbesondere im Fall (*)), kann nur der Fragesteller bewerten.

Ich finde es hilfreich, wenn man bei solchen praktischen Problemen den Hintergrund der Frage möglichst umfangreich beschreibt. Der Optimierungsexperte kann sich daraus das formalisierte Optimierungsproblem herleiten, oder gezielt nachfragen.
Der Versuch als Laie ein Problem abstrakt zu beschreiben, geht erfahrungsgemäß oft schief. Der Optimierer optimiert das, was er verstanden hat und merkt gar nicht, dass das nicht das ist, was eigentlich gemeint war.



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twinna
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-10


Vielen lieben Dank für die ganzen Antworten.

Ich hatte oben alle Gedanken zusammengefasst die ich im Bezug auf mein Problem hatte.

Fangen wir lieber ganz vorne an.

Was gegeben ist:
- Es gibt eine bestimmte Anzahl Auktionen(mit je einem Auktionsgut) = 4
- Ich interessiere mich für alle 4 Güter und habe dementsprechend meine Reservationspreise.
- Ich kenne die Anzahl der Bieter in jeder Auktion
- Ich kenne weder die Reservationspreise der anderen Bieter noch ihr Bietverhalten.
- Die Auktionen finden gleichzeitig statt
- Mein Budget ist limitiert und reicht nicht aus um alle Reservationspreise zu bedienen.


Jetzt folgen meine Gedanken aus dem Eröffnungspost. Wenn ich da auf dem Holzweg war, korrigiert mich bitte.
Wie würdet ihr das Problem ansonsten lösen?

Viele Grüße



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5611
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-12-11


Nach dem ich nachgeschlagen habe, was der Reservationspreis ist (der Preis, den man maximal zu zahlen bereit ist), sind mir die Nebenbedingungen so ungefähr klar.
Man muss sich entscheiden, auf welchen Auktionen man mitbietet und wie viel man maximal bieten möchte. Die Summe der Maximalgebote darf das Budget nicht überschreiten.

So formuliert, fällt auf, dass es noch andere Möglichketen zu bieten gibt. Man könnte 100 auf A1, 70 auf A3, 40 auf A4 _und_ zusätzlich 40 auf A2 bieten. Vielleicht hat man ja Glück und ist mit dem Gebot auf A2 erfolgreich, ob wohl man deutlich unter dem eigenen Maximalpreis bleibt!?!

Was jetzt noch fehlt ist die Zielfunktion. Dein Ansatz ist "Maximalpreis geteilt durch Bieterzahl", wenn man bereit und in der Lage ist, den Maximalpreis auch tatsächlich zu zahlen, ansonsten 0.

Mit dieser Zielfunktion hast Du die Aufgabe richtig gelöst.

Es stellt sich aber die Frage, ob das die "beste" Zielfunktion ist.
Sollte man nicht den Fall berücksichtigen, dass man weniger bietet als den Reservationspreis?
Wie ändert sich die Erfolgswahrscheinlichkeit, wenn man einen geringeren Betrag bietet?
Wie viel ist nicht ausgegebenes Geld im Verhältnis zur Ware wert?
Offenbar wird eine Ware mit einem Reservationspreis von 100 als wertvoller erachtet, als 100 Geldeinheiten (sonst würde man weniger auf die Ware bieten), aber wie groß ist der Unterschied?

Außerdem: Gibt es die Möglichkeit aufgrund des Verlaufes einer Aktion, die Strategie in einer anderen Auktion zu ändern?
Man könnte z.B. in Auktion 4 bis 40 und in den anderen Auktionen bis 70 mitbieten. Je nachdem, ob man in der dritten und vierten Auktion erfolgreich war, steigt man aus der zweiten Auktion aus und bietet nur in der ersten weiter, oder man bietet in der zweiten Auktion nur bis 80 und in der ersten bis 100, oder man bietet in beiden bis 100 (wenn man in der dritten Auktion keinen Erfolg hatte.

Das sind alles Fragen, die die Mathematik als solche nicht beantworten kann. Die Antworten müssen von Dir kommen.



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Bernhard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-12-11


Hallo twinna & Kitaktus!

Der erwartete Gewinn(**) berechnet sich aus dem Wert eines Gegenstands multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit ihn zu erhalten, die hier als umgekehrt proportional zur Bieterzahl angesehen wird.

Genau darin sehe ich eine große Schwierigkeit. Der "Wert" eines zu versteigernden Gegenstandes ergibt sich ja erst bei der Auktion selber. Das ist ja auch der Sinn der Sache. Damit macht eigentlich keiner, der auf diese Weise etwas ersteht, einen "Verlust". Denn das Bild, der Schmuck etc. war ihm diesen Preis ja wert - sonst wäre er ausgestiegen.
So gibt es Zufriedenheit und Enttäuschung, aber keine Verluste seitens der Käufer.
Verluste können nur diejenigen machen, die etwas losgeworden sind, das sie vorher zu einem höheren Preis irgendwo anders erstanden hatten. Aber darum geht es hier ja nicht.

Wie also wollt Ihr "Wert" und "Verlust" in dieser Aufgabe überhaupt definieren?

Viele Grüße, Bernhard


-----------------
"Wichtig ist, daß man nie aufhört zu fragen"
"Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuches, sie zu erwerben"
Albert Einstein



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5611
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-12-12


@Bernhard:
Natürlich macht kein rationaler Teilnehmer einer Auktion einen (subjektiven) Verlust, da er nicht gezwungen ist, mehr zu bieten, als ihm der Gegenstand wert ist.

Ein wesentlicher Aspekt dieses Problems ist aber, dass man die erwarteten Gewinne verschiedener Auktionen miteinander vergleichen muss, da sich nicht alle gleichzeitig realisieren lassen. Der erzielte Gewinn bei einer Auktion geht also des Öfteren damit einher, dass man dafür bei einer anderen Auktion keinen Gewinn erzielen kann. Das sind keine Verluste im engeren Sinn.
Ein brauchbares Konzept dafür bilden die Opportunitätskosten.



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twinna
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-16


Hallo zusammen,

vielen Dank für die Antworten.

Kitaktus, deine Gedankengänge sind richtig. Ich kann von vorne rein an mehreren Auktionen teilnehmen. Muss mich aber im schlimmsten Fall aus einigen Auktionen zurückziehen wenn um bei anderen Auktionen "weiter" mitbieten zu können.

Um im vorhinein zu entscheiden aus welcher Auktion ich als erstes Aussteigen werde, habe ich mir dieses Problem konzipiert.

Wenn wir kurz bei meiner "Zielfunktion" bleiben: Diese habe ich ja aufgestellt, muss jedoch manuell alle möglichen Ausgänge durchrechnen. Gibt es hier keinen mathematischen Weg?

Einen schönen dritten Advent



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