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Analysis » Topologie » Durchschnitt einer monoton fallenden Folge kompakter Mengen
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Universität/Hochschule Durchschnitt einer monoton fallenden Folge kompakter Mengen
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-12-09

\(\begingroup\)
Hallo zusammen!
Folgender Zusammenhang soll bewiesen werden:
Für jedes $n \in \IN$ sei $A_{n} \subset \IR$ eine kompakte Menge mit $A_{n} \neq \emptyset$. Weiter gelte $A_{n+1} \subset A_{n}$ für alle
$n \in \IN$. Zu zeigen $\bigcap \limits_{n \in \IN} A_{n} \neq \emptyset$.

Wie könnte ich dies beweisen?
Ich weiß, dass eine Menge $K \subset \IR$ kompakt heißt genau dann, wenn jede Folge aus K eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert wieder zu K gehört bzw. genau dann, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.


Ich wäre euch für jede Hilfe wie immer sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-12-09

\(\begingroup\)
2018-12-09 15:19 - X3nion im Themenstart schreibt:
Ich weiß, dass eine Menge $K \subset \IR$ kompakt heißt genau dann, wenn jede Folge aus K eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert wieder zu K gehört

Ja, damit kannst du es beweisen. Wie kann man die zu betrachtende Folge schlauerweise konstruieren?
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09

\(\begingroup\)
Hallo StrgAltEntf und vielen Dank für deinen Tipp!

Hm also wir wissen, dass jede Folge in $A_{n}$ eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert wieder zu $A_{n}$ gehört, jede Folge in $A_{n+1} \subset A_{n}$ eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert wieder zu $A_{n+1}$ gehört.

Hm wählen wir evtl. die Folge bestehend aus den Grenzwerten der jeweiligen Teilfolgen?
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-12-09


2018-12-09 16:52 - X3nion in Beitrag No. 2 schreibt:
Hm wählen wir evtl. die Folge bestehend aus den Grenzwerten der jeweiligen Teilfolgen?

Du hast ja noch gar keine Folge, von der du die Teilfolgen bestimmen kannst.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09

\(\begingroup\)
Betrachtet man die Folge $a_{n} := max(A_{n})$, und das Maximum der Menge $A_{n}$ existiert, da die abgeschlossen und beschränkt ist?
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-12-09

\(\begingroup\)
Ja, kann man machen. Du kannst sogar irgenein Element \(a_n\in A_n\) auswählen. Das geht, da die Mengen nicht leer sind.

Was kannst du nun über die Folge \((a_n)\) aussagen?
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09

\(\begingroup\)
Gehen wir nun von irgendeinem Element $a_{n} \in A_{n}$ aus oder von $a_{n}:= max(A_{n})$?
Von Letzterem wüsste ich, dass die folge $(max(A_{n}))$ monoton fallend ist, aber über die Folge bestehend aus irgendwelchen Elementen $a_{n} \in A_{n}, a_{n+1} \in A_{n+1}, ...$ könnte ich das ja nicht sagen oder?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-12-09


Hi X3nion,
Die Folge (an) ist wegen der Monotonie in A1 enthalten, und msn kann eine konvergente Teilfolge (an1) auswählen. Diese ist in A2 enthalten, und man wählt wieder eine konvergente Teilfolge (an2) usw. Schließlich betrachtet man die Diagonalfolge (ann). Sie ist in allen Ak enthalten, für alle k = 1,2,3,... und konvergiert gegen eine Element a.
Nun benutze die Abgeschlossenheit der Mengen Ak, um a ∈ ∩Ak zu beweisen.
Gruß Buri



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09

\(\begingroup\)
Hallo Buri und Dankeschön für deine Erklärung!


Man betrachtet also die Folge $(a_{n})$ bestehend aus einem einzigen Element $a_{n} \in A_{1}$. Diese Folge besitzt aufgrund der Kompaktheit von $A_{1}$ eine konvergente Teilfolge $(a_{n{1}})$, deren Grenzwert zu $A_{1}$ gehört.

Wieso ist nun die konvergente Teilfolge $(a_{n{1}})$ komplett in $A_{2} \subset A_{1}$ enthalten?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-12-09


Hi X3nion,
oh, das stimmt ja gar nicht. Von einem Index ab aber gilt es. Das genügt hoffentlich.
Gruß Buri



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09

\(\begingroup\)
Hallo Buri,

hmm ich verstehe das leider immer noch nicht.
Betrachte ich zB die Menge $A_{1} = \{x \in \IR: 2 \le x \le 4\}$ und $A_{2} = \{x \in \IR: 2.5 \le x \le 3.5\} \subset A_{1}$.

Betrachte ich nun die Folge $a_{n} = 3.75$, so ist die konvergente Teilfolge ja doch dieselbe, also $a_{n_{1}} = 3.75$ und das ist ja nicht in $A_{2}$ enthalten?
Man fängt ja mit einer konstanten Folge $\in A_{1}$ an, aber diese ist doch automatisch konvergent?

Könntest du das Prinzip bitte noch einmal erklären?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-12-09


Hi X3nion,
mit (an) meinte ich eine Folge, die so gebildet ist, dass an ∈ An ist. Bei dir scheint an nur eine einzige Zahl zu sein, bei mir ist es eine Folge.
Gruß Buri



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09

\(\begingroup\)
Hallo Buri,

ahh okay, darin besteht also der Unterschied.
Wieso ist nun aber $(a_{n_{1}})$ ab einem gewissen Index in $A_{2}$ enthalten?
Man weiß ja nur, dass $(a_{n_{1}})$ gegen einen Wert in $A_{1}$ konvergiert, aber dieser Grenzwert muss ja nicht zwingend in $A_{2}$ enthalten sein?
Hierin liegt noch meine Verständnisproblematik.


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-12-09


Hi X3nion,
ich befürchte, dass mein Ansatz nicht klappt. Man muss es anders machen.
Gruß Buri



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09


Hallo Buri,
wie könnte es sonst anders gehen?
Bzw. was war deine Idee, StgAltEntf?

Viele Grüße,
X3nion



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-12-09

\(\begingroup\)
2018-12-09 19:03 - X3nion in Beitrag No. 14 schreibt:
Bzw. was war deine Idee, StgAltEntf?

Ich meine, dass man irgendwelche Diagonalfolgen gar nicht benötigt, sondern es viel einfacher geht. Die Folge \((a_n)\) ist komplett in \(A_1\) enthalten, also besitzt sie eine konvergente Teilfolge, da \(A_1\) kompakt ist. Sei \(a\) der Grenzwert dieser Teilfolge. \(a\) liegt im Durchschnitt, denn ...
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09

\(\begingroup\)
Hallo StrgAltEntf,

hm aber du hast ja bisher noch keinen Bezug zu $A_{2}, A_{3}, ...$ gemacht, was kann man denn nun über den Durchschnitt aussagen?
Wir wissen ja bisher nur, dass der Grenzwert a aufgrund der Kompaktheit in $A_{1}$ liegt, aber wieso soll dieser auch in $A_{2}$ etc. drin liegen?

Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-12-09

\(\begingroup\)
2018-12-09 19:54 - X3nion in Beitrag No. 16 schreibt:
wieso soll dieser auch in $A_{2}$ etc. drin liegen?

Ab n=2 liegen alle Folgeglieder von \((a_n)\) in \(A_2\). Also liegen auch fast alle Folgeglieder der Teilfolge in \(A_2\). Da \(A_2\) abgeschlossen ist, folgt also ...
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-09

\(\begingroup\)
Ahh okay alles klar, also gehen wir her und schnappen uns aus jedem $A_{n}$ jeweils ein Element $a_{n}$ raus!

Okay mit der Abgeschlossenheit folgt ja, dass der Grenzwert der Teilfolge wieder in $A_{2}$ liegt.
Und diese Argumentation kann man für alle n fortführen, somit ist der Schnitt nichtleer?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-12-09


2018-12-09 23:25 - X3nion in Beitrag No. 18 schreibt:
Und diese Argumentation kann man für alle n fortführen, somit ist der Schnitt nichtleer?

Kannst du jetzt dein letztes Fragezeichen in ein Ausrufezeichen umwandeln?  smile



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-10

\(\begingroup\)
Guten Abend StrgAltEntf,

ja okay alles klar, habe es gedanklich geändert! biggrin

Noch einmal zum Résumé und zum formalen Aufschrieb:

Konstruiere eine Folge $(x_{n})$ wie folgt: $x_{1} \in A_{1}, x_{2} \in A_{2}, .., x_{n} \in A_{n}$ für alle $n \in \IN$.

Es gilt nun für alle $k \in \IN \cup \{0\}: (x_{n+k})$ liegt komplett in $A_{k+1}$ und besitzt aufgrund der Kompaktheit von $A_{k+1}$ demnach eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $A_{k+1}$. Folglich ist der Grenzwert in jedem $A_{k+1}$ enthalten und somit im Durchschnitt.

Würde dies so stimmen?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2018-12-10

\(\begingroup\)
Hallo X3nion,

2018-12-10 18:49 - X3nion in Beitrag No. 20 schreibt:
Würde dies so stimmen?

Ich fürchte, das stimmt noch nicht.

Du definierst also für jedes k eine Folge \((x_{k+n})_{n\in\IN}\) in \(A_{k+1}\). Dann sagst du, dass jede dieser Folgen eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in \(A_{k+1}\) besitzt. So weit, so richtig.

Dummerweise müssen diese Grenzwerte aber nicht übereinstimmen. Du hast also noch keinen Wert gefunden, der in allen \(A_k\) liegt.

In #15 und #17 hatte ich etwas anderes geschrieben.
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-10

\(\begingroup\)
Hallo StrgAltEntf,

okay ja stimmt, da hattest du wirklich etwas anderes geschrieben.

Sei also $(a_{n})$ definiert so wie du es geschrieben hast, also dass $a_{n} \in A_{n} \forall n \in \IN$.
Diese Folge liegt komplett in $A_{1}$ und besitzt eine konvergente Teilfolge, da $A_{1}$ kompakt ist. Sei a der Grenzwert dieser Teilfolge. Dieser liegt auf jeden Fall in $A_{1}$ aufgrund der Abgeschlossenheit.
Für $n \ge 2$ sind nun alle Folgenglieder $a_{n}$ in $A_{2}$ enthalten, folglich fast alle Folgenglieder der ursprünglichen Teilfolge. Es folgt $a \in A_{2}$.

Allgemein sind für $n \ge k, k \in \IN, k \ge 2$ alle Folgenglieder $a_{n}$ in $A_{k}$ enthalten, folglich fast alle Folgenglieder der ursprünglichen Teilfolge. a liegt folglich in allen $A_{k}$

Wäre das so besser?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Jupp, so ist es besser smile



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