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Strukturen und Algebra » Ringe » Multioperatorringe und Platonische Körper
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Kein bestimmter Bereich Multioperatorringe und Platonische Körper
stpolster
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Dabei seit: 27.03.2014
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Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-12-26


Hallo,
nach fast 38 Jahren habe ich mir einmal wieder meine Diplomarbeit zum Thema "Direkte Summen von Multioperatorringen" vorgenommen.
Deprimierend war, dass ich beim Lesen so gut wie nichts mehr verstand. Allerdings ist es wohl doch irgendwo im Gehirn abgespeichert. Von Seite zu Seite wurde es besser und jetzt weiß ich es wieder. razz

Da ich immer noch auf meiner "Latex-Schreibübung" bin, habe ich die Arbeit mal "kurzerhand" abgetippt. Sieht ganz gut aus; auf jeden Fall besser als das mit Schreibmaschine erstellte Original.
Für Interessenden: mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=19711
Es ist mir klar, dass die Nachwelt nicht auf meinen geistigen Erguss wartet; aber ich finde es trotzdem schön, zumal (nach meinen Informationen) die TU Chemnitz diese alten Arbeiten nicht mehr hat.

1980/81 gab es nur 5 (verfügbare) Veröffentlichungen zum Thema, alle von sowjetischen Mathematikern.
Meine Diplomarbeitsbetreuerin (sie war hervorragend und ich verdanke ihr viel) versicherte, dass das Thema von Interesse wäre.
Mit 38 Jahren Abstand habe ich nun Stunden im Netz gesucht und nichts gefunden als Zitierungen der Artikel, die ich zur Verfügung hatte.
D.h. wohl, dass sich nie wieder einer für Multioperatorringe interessiert hat.  frown
Meine Frage nun: Ist irgendeinem von euch der Begriff mal über den Weg gelaufen?
Ich befürchte nicht.

Kurze Erklärung:
Eine abelsche Gruppe (G,+), auf der ein System <math>\Omega</math> n-ärer algebraischer Operationen <math>\omega_n</math>, <math>n \geq 2</math>, gegeben ist, heißt genau dann Multioperatorring oder <math>\Omega</math>-Ring, wenn für alle <math>\omega_n</math>, alle Elemente <math>a_i, b, c</math> aus G, <math>i=1,...,n</math>, und alle <math>i</math> gilt:
<math>a_1...a_{i-1}(b+c)a_{i+1}...a_n\omega_n = a_1...a_{i-1}ba_{i+1}...a_n\omega_n + a_1...a_{i-1}ca_{i+1}...a_n\omega_n</math>

In der Arbeit sollten diese Strukturen allgemein untersucht werden. In einem 2.Teil ging es dann um die Existenz von direkten Zerlegungen.

Ach so, sollte ein Profi den Text lesen, so habe er bitte Nachsicht mit mir.

Danke für evtl. Hinweise
Steffen  



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-12-26


Ui! Über 300 Seiten wären wohl bei uns für eine Diplomarbeit nicht zugelassen worden.

Schade, dass dein Thema anscheinend versandet ist.

Grüße
StrgAltEntf



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-27


2018-12-26 22:48 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1 schreibt:
Ui! Über 300 Seiten wären wohl bei uns für eine Diplomarbeit nicht zugelassen worden.
Nach 38 Jahren ist die Erinnerung zwar etwas getrübt, aber soweit ich mich erinnere, war meine Betreuerin auch überrascht, wie sich die Arbeit entwickelte.
Damit die "Direkten Summen" diskutiert werden konnten, musste der 1.Teil so ausführlich werden, da leider nur wenig Quellen verfügbar waren.
Spaß gemacht hat es, dass weiß ich noch sicher.

Bei meiner weiteren Netzsuche habe ich noch eine Arbeit über "nilpotente Multioperatorringe" gefunden. Mehr aber nicht.
Es war wohl doch ein absolutes Randthema, dass nicht interessiert.  frown

LG Steffen



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-02


Hallo,
Danke für die Hinweise zum Text über PN.
Ich habe ein paar Rechtschreibfehler geändert und vor allem weitere Änderungen an die "moderne" mathematische Symbolik durchgeführt.
Der korrigierte Text steht nun zur Verfügung.

LG Steffen



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stpolster
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Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-09


Nach mehreren Wochen habe ich endlich auch die Diplomarbeit meiner Frau mit Latex abgeschrieben.
Das Thema waren Platonische Körper, insbesondere die Ermittlung der Anzahl inkongruenter Netze. Wenn es interessiert:

mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20236

Ich erinnere mich noch gut, dass es vor 38 Jahren eine "Mammutaufgabe" war, alle Zeichnungen mit Zirkel, Lineal und Tusche zu erstellen.
Über 200 Zeichnungen mit tikz waren aber auch kein Spaß.

LG Steffen



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xiao_shi_tou_
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Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-09

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2018-12-26 15:36 - stpolster im Themenstart schreibt:
Hallo,
nach fast 38 Jahren habe ich mir einmal wieder meine Diplomarbeit zum Thema "Direkte Summen von Multioperatorringen" vorgenommen.
Deprimierend war, dass ich beim Lesen so gut wie nichts mehr verstand. Allerdings ist es wohl doch irgendwo im Gehirn abgespeichert. Von Seite zu Seite wurde es besser und jetzt weiß ich es wieder. razz

Da ich immer noch auf meiner "Latex-Schreibübung" bin, habe ich die Arbeit mal "kurzerhand" abgetippt. Sieht ganz gut aus; auf jeden Fall besser als das mit Schreibmaschine erstellte Original.
Für Interessenden: mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=19711
Es ist mir klar, dass die Nachwelt nicht auf meinen geistigen Erguss wartet; aber ich finde es trotzdem schön, zumal (nach meinen Informationen) die TU Chemnitz diese alten Arbeiten nicht mehr hat.

1980/81 gab es nur 5 (verfügbare) Veröffentlichungen zum Thema, alle von sowjetischen Mathematikern.
Meine Diplomarbeitsbetreuerin (sie war hervorragend und ich verdanke ihr viel) versicherte, dass das Thema von Interesse wäre.
Mit 38 Jahren Abstand habe ich nun Stunden im Netz gesucht und nichts gefunden als Zitierungen der Artikel, die ich zur Verfügung hatte.
D.h. wohl, dass sich nie wieder einer für Multioperatorringe interessiert hat.  frown
Meine Frage nun: Ist irgendeinem von euch der Begriff mal über den Weg gelaufen?
Ich befürchte nicht.

Kurze Erklärung:
Eine abelsche Gruppe (G,+), auf der ein System <math>\Omega</math> n-ärer algebraischer Operationen <math>\omega_n</math>, <math>n \geq 2</math>, gegeben ist, heißt genau dann Multioperatorring oder <math>\Omega</math>-Ring, wenn für alle <math>\omega_n</math>, alle Elemente <math>a_i, b, c</math> aus G, <math>i=1,...,n</math>, und alle <math>i</math> gilt:
<math>a_1...a_{i-1}(b+c)a_{i+1}...a_n\omega_n = a_1...a_{i-1}ba_{i+1}...a_n\omega_n + a_1...a_{i-1}ca_{i+1}...a_n\omega_n</math>

In der Arbeit sollten diese Strukturen allgemein untersucht werden. In einem 2.Teil ging es dann um die Existenz von direkten Zerlegungen.

Ach so, sollte ein Profi den Text lesen, so habe er bitte Nachsicht mit mir.

Danke für evtl. Hinweise
Steffen  

Hallo Steffen.
Mich interessiert das Thema. Könntest du erläutern, was eine "algebraische Operation" ist? Ist das eine beliebige Abbildung \(\omega\colon G^n\to G\)? oder muss diese noch weitere Eigenschaften erfüllen?


-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-09

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2019-03-09 22:06 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 5 schreibt:
Könntest du erläutern, was eine "algebraische Operation" ist?
Genau \(\omega\colon G^n\to G\) ist gemeint. Jedem n-Tupel von Elementen aus G wird durch \(\omega_n \) genau ein Element aus G zugeordnet.

LG Steffen
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-09


Eine üblichere Bezeichnung für eine Operation $\omega_n$ mit der genannten Eigenschaft ist eine (n-stellige) multilineare Abbildung $G^n \to G$. Abelsche Gruppen sind ja $\IZ$-Moduln. Multilineare Abbildungen werden allgemeiner für $R$-Moduln $M$ untersucht, wobei $R$ irgendein kommutativer Ring ist. Ich erwähne das nur, weil man unter dem Namen natürlich viel mehr in der Literatur findet. Man kann multilineare Abbildungen $M^n \to M$ auch umdeuten als lineare Abbildungen $T_n(M) \to M$, wobei $T_n(M) = M \otimes \cdots \otimes M$ das $n$-fache Tensorprodukt von $M$ mit sich selbst ist. Das ist also schon einfacher zu versehen, weil lineare Abbildungen oftmals klassifizierbar sind (Stichwort: Smith-Normalform usw.) Mir ist aber bisher auch noch nirgendwo allgemein die Struktur über den Weg gelaufen, wo man einen $R$-Modul $M$ mit einer Familie von $n$-stelligen multilinearen Abbildungen für alle $n$ gleichzeitig gegeben hat (sprich, eine $R$-lineare Abbildung $T(M) = \bigoplus_{n \geq 0} T_n(M) \to M$). Ein kanonisches Beispiel ist natürlich $R$ selbst bzw. jede $R$-Algebra $A$ mit dem Produkt $(a_1,\dotsc,a_n) \mapsto a_1 \cdot \dotsc \cdot a_n$. Hier sind diese multilinearen Abbildungen in einem gewissen Sinne sehr "kohärent" miteinander.



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-09


Hallo Triceratops,
Danke für deinen Kommentar.

Ich gestehe, dass ich mich da erst einmal "durcharbeiten" muss. Es ist immerhin 38 Jahre her, dass ich mich mit dem Thema (etwas) auskannte.

LG Steffen



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