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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-12-30


Hallo Community,

ich habe da wieder mal ein Beispiel, das mich schon allein wegen der Definitionen verwirrt und wo ich leider keine Ahnung habe, wie man es löst.
 
Die dafür benötigte Definition ist die der $\Sigma_1$-Menge.
Eine Teilmenge $A\subseteq \mathbb{N}^k$ heißt (k-stellige) $\Sigma_1$-Relation (und ist als solche eine $\Sigma_1$-Menge),
wenn es eine $\Sigma_1$-Formel $\exists y \phi(x_1, \cdots, x_k, y)$ mit den freien Variablen $x_1, \cdots, x_k$ gibt, sodass
$A = \{(n_1, \cdots, n_k): \mathbb{N} \vDash \exists y \phi(n_1, \cdots, n_k, y)\}$ gilt.
Eine $\Sigma_1$-Formel wiederum ist eine Formel der Form $\exists x \psi$, wobei $\psi$ eine beschränkte Formel ist.
Und die beschränkten Formeln sind induktiv definiert:
Allte Atomformeln sind beschränkt.
Die beschränkten Formeln sind unter Konjunktion, Disjunktion, Negation, Implikation und Äquivalenz abgeschlossen.
Die beschränkten Formeln sind unter beschränkter Quantifizierung abgeschlossen, d.h.: Wenn $\psi$ beschränkt ist, dann sind auch $\forall x < t \psi$
und $\exists x < t \phi$ beschränkt, wobei $\forall x < t \psi:= (\forall x)(x < t \rightarrow \psi)$ und $\exists x < t \phi:= (\exists x)(x < t \wedge \phi)$.
Das sind alle.

Die Aufgabe dazu lautet wie folgt:
Seien $A \subseteq \mathbb{N}^k$ und $B \subseteq \mathbb{N}$, und sei $f: \mathbb{N}^k \rightarrow \mathbb{N}$ eine (totale oder partielle) Funktion, deren Graph
eine $\Sigma_1$-Menge ist. Zeige (am besten durch Angabe expliziter $\Sigma_1$-Formeln):
Wenn A und B jeweils $\Sigma_1$-Mengen sind, dann auch $f[A]:=\{f(\vec{x}): \vec{x} \in A\}$ und $f^{-1}[B]:=\{\vec{x}:f(\vec{x}) \in B\}$.

Wäre super, wenn jemand eine Idee zum Lösungsweg hätte!



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