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Schulmathematik » Analytische Geometrie » Parabel berührt 3 Geraden
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Schule Parabel berührt 3 Geraden
dani0
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-04


Aufgabe:
Bestimmen Sie die Gleichung derjenigen Parabel, die die Geraden g1, g2, und g3 berührt;
g1: y = 6x + 5
g2: y = 3x + 6.5
g3: y = 2x + 5

Lösung:
Tipp; Wählen Sie als Ansatz f(x) = ax^2 + bx + c und g1(x) = 6x + 5, g2(x) = 3x + 6.5, g3(x) = 2x + 5. Nun wird jeweils die Diskriminante von f(x) = g1/g2/g3(x) berechnet und gleich Null gesetzt. Man erhält drei Gleichungen für drei Unbekannte.
Resultat: y = 0.5x^2 + 4x + 7


Meine drei Gleichungen wären
ax^2 + x(b - 6) + c - 5 = 0
ax^2 + x(b - 3) + c - 6.5 = 0
ax^2 + x(b - 2) + c - 5 = 0
aber dann weiss ich nicht weiter. Was genau wäre mein nächster Schritt?



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1524
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-04


Huhu dani0,

weiter geht es so:

2019-01-04 14:50 - dani0 im Themenstart schreibt:
Nun wird jeweils die Diskriminante von f(x) = g1/g2/g3(x) berechnet und gleich Null gesetzt.

Weißt du denn, was die Diskriminante ist?

Gruß,

Küstenkind






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dani0
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-04




Weißt du denn, was die Diskriminante ist?

Eigentlich schon.. ich habe es geschafft, diese Stelle in den Lösungen immer zu ‚überspringen‘. Es hat nun funktioniert, danke!



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1524
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-04


Huhu,

konntest du die Aufgabe also erfolgreich lösen? Dann darfst du den Thread gerne abhaken. Ansonsten frage einfach noch mal nach. Auch, wenn dir nicht klar ist, wieso dieser Ansatz überhaupt zielführend bei dieser Aufgabe ist. Ich hoffe dir ist klar, wieso man diesen Weg geht.

Gruß,

Küstenkind

PS: Nachträglich noch ein herzliches Willkommen auf dem Planeten!




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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-01-04


Ich denke er meint die Determinate einer hoffentlich regulären  Matrix, da wir wissen welche Steigungen und welchen (x,y) Wert die Parabel an 3 ziemlich beliebig wählbaren verschiedenen Stellen hat. Das GLS müsste dann mind. eine eindeutige Lösung haben.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
dietmar0609
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.06.2007
Mitteilungen: 2926
Aus: Oldenburg , Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-04


Ich finde es immer wieder schade, dass nicht kurz die Lösung skizziert wird.
besonders bei einer an sich sehr hübschen Aufgabe.

Vielleicht kann dani0 das ja noch nachholen. Das wäre nett für die Nachwelt.


Gruss Dietmar



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1524
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-01-04


Die steht doch im Themenstart?! Aber wenn es dich glücklich macht:

Berechnen wir dreimal die Diskriminante und setzen diese = 0 erhalten wir folgendes System:

\(\displaystyle (1)\quad b^2-12b+36-4ac+20a=0\)

\(\displaystyle (2)\quad b^2-6b+9-4ac+26a=0\)

\(\displaystyle (3)\quad b^2-4b+4-4ac+20a=0\)

Daraus folgt z.B.:

\(\displaystyle (1)-(2)\quad -6b+27-6a=0\)

\(\displaystyle (2)-(3)\quad -2b+5+6a=0\)

Addition liefert \(-8b+32=0\iff b=4\)

Den Rest spare ich mir mal. Die Nachwelt soll ja auch noch was zu tun haben...

Gruß,

Küstenkind




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dietmar0609
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.06.2007
Mitteilungen: 2926
Aus: Oldenburg , Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-01-04


@Kuestenkind: Vielen Dank. Perfekt, das hätte eigentlich der Themensteller tun sollen.

Für die Lösungsidee bleibt hinzuzufügen:

Im Ansatz schneidet man die Parabel mit den Geraden und fordert, dass es nur jeweils einen Schnitt bzw. Berührungspunkt gibt. Deshalb muss die Diskriminante beim Lösen der quadratischen Gleichungen null werden.

Gruss Dietmar  



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viertel
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Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26943
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-01-04


2019-01-04 15:55 - juergen007 in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich denke er meint die Determinate einer hoffentlich regulären  Matrix, da wir wissen welche Steigungen und welchen (x,y) Wert die Parabel an 3 ziemlich beliebig wählbaren verschiedenen Stellen hat. Das GLS müsste dann mind. eine eindeutige Lösung haben.
Da denkst du leider völlig falsch
Es geht um die Diskriminante von quadratischen Gleichungen.


-----------------
Bild



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dietmar0609
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.06.2007
Mitteilungen: 2926
Aus: Oldenburg , Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-01-05


Die Aufgabe ist gelöst. Mir schwirrt noch folgender Lösungsgedanke durch den Kopf: Ein Ansatz über die Steigungen. Ich bringe den Ansatz leider nicht zu Ende. Hat einer da eine Idee?



fed-Code einblenden

Gruss Dietmar



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Caban
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Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 799
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-01-05


Hallo

Dietmar, die anderen Gleichungen erhälst du über Funktionen gleichsetzen.

Gruß Caban



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dietmar0609
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.06.2007
Mitteilungen: 2926
Aus: Oldenburg , Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-01-05


was mit wem gleichsetzen ?
Mach mal ein Beispiel. Die Lösung sollte einfacher sein als die Bisherige.

Gruss Dietmar



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1524
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-01-05


Huhu Dietmar,

2019-01-04 14:50 - dani0 im Themenstart schreibt:
Meine drei Gleichungen wären
ax^2 + x(b - 6) + c - 5 = 0
ax^2 + x(b - 3) + c - 6.5 = 0
ax^2 + x(b - 2) + c - 5 = 0
aber dann weiss ich nicht weiter. Was genau wäre mein nächster Schritt?

deine erste Gleichung nach \(x_1\) aufgelöst lautet ja \(x_1=\frac{6-b}{2a}\). Setzen wir das in die erste Gleichung ein:

\(a\left(\frac{6-b}{2a}\right)^2 + \frac{6-b}{2a}(b - 6) + c - 5 = 0\)

\(a\left(\frac{6-b}{2a}\right)^2 + \frac{6-b}{2a}(b - 6) + c - 5 = 0\)

\(\frac{36-12b+b^2-2b^2+24b-72+4ac-20a}{4a}= 0\)

\(\frac{-b^2+12b-36+4ac-20a}{4a}= 0\)

Naja, dann landet man wieder bei (1) aus #6.

Gruß,

Küstenkind

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]



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dietmar0609
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.06.2007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-01-05


@Kuestenkind: Hallo und danke..... d.h. wir haben uns lediglich um die Berechnung der Diskriminante gedrückt. d.h. der 2. Lösungsweg ist mehr Aufwand als der erste.

Einfacher als Dein Vorschlag geht es wohl nicht.

Gruss Dietmar



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sulky
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.12.2009
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-01-05


Ich habe die 13 Beiträge nur kurz überflogen. Aber ich glaube es hat noch niemand bemerkt dass es zwei solche Parabeln gibt.

Dies würde man auf einer Zeichnung wirklich besser sehen



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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-01-06


2019-01-05 23:53 - sulky in Beitrag No. 14 schreibt:
Ich habe die 13 Beiträge nur kurz überflogen. Aber ich glaube es hat noch niemand bemerkt dass es zwei solche Parabeln gibt.

Dies würde man auf einer Zeichnung wirklich besser sehen

Wo wäre da dann der Fehler in Kuestenkind's Rechnung in #6? Diese liefert ja als einzige(!) Lösung die Parabel
\[y=\frac12 x^2+4x+7\]



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-01-06


Habe Zeichnung gemacht. Ich sehe da keine zweite Parabel.

Gruss Dietmar



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-01-06


Also doch eine zweite eindeutige Lösung?! Würde mich auch interessieren, wo diese sich versteckt hat...

Gruß,

Küstenkind



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viertel
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Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-01-06


Ich dachte auch mal kurz, es gäbe eine weitere Lösung, die irgendwie/irgendwo zwischen die 3 Geraden paßt. Oder die 3 Tangenten würden keine eindeutige Parabel erzwingen.
Denkste confused



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2019-01-07


Habe es nochmals genauer angeschaut. Es gibt keine zweite Parabel.
Ich möchte mich für meine Falschaussage entschuldigen



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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2019-01-07


@sulky

Du brauchst dich nicht entschuldigen, deine Aussage

2019-01-05 23:53 - sulky in Beitrag No. 14 schreibt:
Aber ich glaube es hat noch niemand bemerkt dass es zwei solche Parabeln gibt.

war ja in dieser Form auch richtig, da dies tatsächlich noch niemand bemerkt hatte.   biggrin



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sulky
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1353
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2019-01-09


@weird

Vielen Dank für den Trost. Aber vielleicht hast du tatsachlich Recht.
Bei aufgaben mit Parablen gibt es oft zwei Lösungen. Da ist es sicherlich nicht falsch sich dies zu überlgen.



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