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Teilbarkeit » Kongruenzen » Chinesischer Restsatz mit Subtraktion in Kongruenz
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Universität/Hochschule J Chinesischer Restsatz mit Subtraktion in Kongruenz
bambusbieber
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-10


Hallo,

ich möchte gerne

mittels Chinesischer Restsatz lösen. Allerdings habe ich keine Ahnung wie ich mit dem Minus in der zweiten Kongruenz umgehen soll..

Über Hilfe wäre ich sehr glücklich



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-10


2019-01-10 18:52 - bambusbieber im Themenstart schreibt:
Allerdings habe ich keine Ahnung wie ich mit dem Minus in der zweiten Kongruenz umgehen soll..

Du kannst mit Kongruenzen weitgehend so rechnen wie mit Gleichungen. Was würdest du denn da machen, um -4 links in der zweiten Kongruenz wegzukriegen? Selbiges gilt übrigens auch für den Faktor 23 in der ersten Kongruenz.



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bambusbieber
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-11


x =  8/23 mod 91
x =  7 mod 5

Man beachte das das = hier eine Kongruenz darstellen soll.

Da 91 und 5 Teilerfremd würde ich den nun den chin. Restsatz anwenden



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edelholz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-11


dann rechne doch mal und poste was rauskommt. confused
denke an bambus, das hilft eek



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bambusbieber
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-11


mit einem abstecher zu LinkKongruenzrechnung denke ich das die erste kongruenz

X = 5 mod 91 da (91 + 3 x 8) / 23  = 5 rest 0 ist.

Allerdings habe ich weiterhin keine Ahnung wie ich Das mit Euklid nachrechnen könnte oder die zweite Kongruenz finde

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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bambusbieber
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-11


push um den haken weg zu machen?



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-01-11


2019-01-11 10:11 - bambusbieber in Beitrag No. 2 schreibt:
x =  8/23 mod 91
x =  7 mod 5

Man beachte das das = hier eine Kongruenz darstellen soll.

Da 91 und 5 Teilerfremd würde ich den nun den chin. Restsatz anwenden

Das ist im Prinzip richtig. Allerdings musst da dafür noch 8/23 mod 91 ausrechnen, das kann man so nicht einfach stehen lassen.



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bambusbieber
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-11


2019-01-11 10:33 - bambusbieber in Beitrag No. 4 schreibt:
mit einem abstecher zu LinkKongruenzrechnung denke ich das die erste kongruenz

X = 5 mod 91 da (91 + 3 x 8) / 23  = 5 rest 0 ist.

Allerdings habe ich weiterhin keine Ahnung wie ich Das mit Euklid nachrechnen könnte oder die zweite Kongruenz finde

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

welche herangehensweise ist denn richtig?



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-01-11


Hallo zusammen,

aus Interesse, wäre eine solche Schreibweise korrekt (erlaubt, üblich)
oder falsch ?

\[(23x \;\equiv 8\; mod \;91) \equiv (x\; \equiv \;736 \;mod \;91)\]
Dank & Gruß
Olga








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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-01-11


2019-01-11 12:20 - bambusbieber in Beitrag No. 7 schreibt:
2019-01-11 10:33 - bambusbieber in Beitrag No. 4 schreibt:
mit einem abstecher zu LinkKongruenzrechnung denke ich das die erste kongruenz

X = 5 mod 91 da (91 + 3 x 8) / 23  = 5 rest 0 ist.

Allerdings habe ich weiterhin keine Ahnung wie ich Das mit Euklid nachrechnen könnte oder die zweite Kongruenz finde

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

welche herangehensweise ist denn richtig?

Keine Ahnung, was du da eigentlich machst. Ich würde hier den Bruch einfach mit 4 erweitern und wegen $4\cdot 23=92\equiv 1\mod91$ erhält man so

$\frac 8{23}=\frac{32}{92}\equiv 32 \mod 91$

2019-01-11 13:23 - OlgaBarati in Beitrag No. 8 schreibt:
Hallo zusammen,

aus Interesse, wäre eine solche Schreibweise korrekt (erlaubt, üblich)
oder falsch ?

\[(23x \;\equiv 8\; mod \;91) \equiv (x\; \equiv \;736 \;mod \;91)\]
Ich denke, dass man hier das mittlere $\equiv$ besser durch ein $\Leftrightarrow$ ersetzen sollte. Außerdem sehe ich nicht, wie du hier auf die Zahl 736 kommst, denn sie müsste ja nach Obigem zu 32 mod 91 kongruent sein, was aber nicht zutrifft.



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-01-12


Hallo weird,danke,
gucke mir gerade aus Interesse die mod-Arithmetik an, um zu lernen.
Ich halte diese Aussage für wahr. Ist das richtig ?

\[\exists x\in \mathbb{N}:(23x \;\equiv 8\; mod \;91) \Leftrightarrow (x\; \equiv \;32 \;mod \;91)\Leftrightarrow(x\; \equiv \;736 \;mod \;91)  \]



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-01-12


2019-01-12 01:48 - OlgaBarati in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo weird,danke,
gucke mir gerade aus Interesse die mod-Arithmetik an, um zu lernen.
Ich halte diese Aussage für wahr. Ist das richtig ?
\[\exists x\in \mathbb{N}:(23x \;\equiv 8\; mod \;91) \Leftrightarrow (x\; \equiv \;32 \;mod \;91)\Leftrightarrow(x\; \equiv \;736 \;mod \;91)  \]

Zunächst ein paar grundsätzliche Bemerkungen dazu: Die "Grundmenge" für die Variable $x$ ist hier $\mathbb Z$ und nicht $\mathbb N$ und statt dem Existenzquantor $\exists$ wäre hier der Allquantor $\forall$ sinnvoller gewesen. Des weiteren sind für ein beliebiges $m\in \mathbb N$ und beliebige $a,b\in \mathbb Z$ die zwei Kongruenzen $x\equiv a \mod m$ und $x\equiv b\mod m$ genau dann äquivalent, wenn $a\equiv b\mod m$ gilt, was wiederum genau für $m|a-b$ der Fall ist. Diese letzte Bedingung kann man für $m>0$ auch so aussprechen, dass $a$ und $b$ bei Division durch $m$ den gleichen Rest ergeben müssen oder dass etwa $b$ von der Form $b=a+km$ für ein $k\in\mathbb Z$ sein muss.

Für unser Beispiel $a=32,\ b=736,\ m=91$ oben ist das aber nicht der Fall. Ich vermute, dass du auf $736$ durch die Rechnung $8+8\cdot91=736$ kommst, tatsächlich richtig wäre aber $32+8\cdot91=760$ gewesen.



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-01-12


Wie es scheint, bin ich noch Lichtjahre von tieferem mathematischen Verständnis entfernt.
Bezogen auf die gemachte alleinstehende  Aussage (ohne Kontext) ist mir vieles nicht klar:
Warum  x ein Element der Menge Z sein muss und eine Aussage für x in N nicht zutreffend ist.
Dass es der Allquantor sein muss, obwohl damit die Aussage (aus meiner Sicht) falsch ist.  
Dass, um  auszudrücken, " es existiert mindestens ein " besser zu schreiben ist "für alle gilt"
Oder liegt hier ein Missverständnis vor und es bezieht sich deine Antwort auf den vorstehenden mathematischen Kontext ?
LG Olga



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-01-12


2019-01-12 17:51 - OlgaBarati in Beitrag No. 12 schreibt:
Bezogen auf die gemachte alleinstehende  Aussage (ohne Kontext) ist mir vieles nicht klar:
Warum  x ein Element der Menge Z sein muss und eine Aussage für x in N nicht zutreffend ist.

Es gilt selbstverständlich für $x \in \mathbb N$, aber eben auch auch für negative ganze Zahlen, welche du hier sozusagen "ohne Not" ausgeschlossen hast. Mathematiker versuchen eben immer alles möglichst allgemein zu formulieren, selbst wenn in einer konkreten Anwendung dann tatsächlich negative ganze Zahlen keinen Sinn machen. Die Einschränkung auf $\mathbb N$ kann man dann immer noch vornehmen, wenn man will, falsch ist sie jedenfalls keineswegs.


Dass es der Allquantor sein muss, obwohl damit die Aussage (aus meiner Sicht) falsch ist.  
Dass, um  auszudrücken, " es existiert mindestens ein " besser zu schreiben ist "für alle gilt"
Oder liegt hier ein Missverständnis vor und es bezieht sich deine Antwort auf den vorstehenden mathematischen Kontext ?

Natürlich kann man i.Allg. einen Existenzquantor nicht einfach durch einen Allquantor ersetzen und erwarten, dass die Gesamtaussage dabei richtig bleibt. Insofern war dies also klar auf unser Beispiel hier bezogen.

Ich glaube aber, dein Problem liegt jetzt eher darin, dass du eine Aussage wie z.B.

$\forall x\in \mathbb Z: (23x\equiv 8\mod 91\Leftrightarrow x\equiv 32 \mod 91)$

nicht richtig interpretierst. Du sollest sie so lesen: Welche ganze Zahl $x$ du da auch immer in obige Aussageform einsetzt, entweder sind sind beiden Teilaussagen $23x\equiv 8\mod 91$ und $x\equiv 32\mod 91$ beide wahr oder beide falsch, die Gesamtaussage, dass nämlich die beiden Teilaussagen den gleichen Wahrheitswert haben ist somit stets richtig. Insofern geht dann auch der Allquantor hier vollkommen in Ordnung.

PS: Ich glaube, wir entfernen uns aber immer mehr vom eigentlichen Thema hier. Von daher wäre es viel besser, du wirst eventuelle Unklarheiten wie oben in einem eigenen Thread artikulieren.



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-01-13


Ja, ich weiche damit zu weit vom eigentlichen Thema ab.
Beende das somit besser jetzt und hier. Vielen Dank für die Hilfe.



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bambusbieber
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-14


Ich habe mal ein bisschen gelöst aber ich denke da fehlt noch was

\(23 x \equiv 8 mod 91\)
\(x - 4 \equiv 3 mod 5\)

durch umformen (siehe oben) entsteht

\( x \equiv 32 mod 91\)
\(x \equiv 7 mod 5\)

Schrittweite S = 91 * 5 = 455
So suchen wir:
\([5*x_1]_{91} = [1]_{91} \rightarrow x_1 = -18 ~~(Euklid)\)
\([91*x_2]_{5} = [1]_{5} \rightarrow x_2 = 1 ~~(trivial)\)
Nun ist eine Lösung \(L= \sum S*x_i*Rest_i~~~=~~~~455*(-18)*32+455*1*7=-258895\)

..und die minimale Lösung = L / S

Aller dings ist -258895 / 455 = 0  und eine online nachgerechnente Lösung 32
siehe www.dcode.fr/chinese-remainder
x=32
x≡32mod91
x≡7mod5

Ich zerbreche mir total den Kopf aber finde meinen Fehler nicht...



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bambusbieber
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-14


sorry nochmal push wegen dem haken, ich check überhaupt nicht wie man den weg bekommt außer mit Nachrichten... bzw. wann er da ist



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-01-14


Ok, unser Kongruenzensystem lautet

$x\equiv 32 \mod 91$
$x\equiv 7 \mod 5$

Du hast schon mal ausgerechnet, dass gilt

$5\cdot(-18)\equiv 1 \mod 91$ (zusammen mit $5\cdot(-18)\equiv 0\mod 5$)
$91\equiv 1 \mod 5$ (zusammen mit $91\equiv 0\mod 91$)

Mit anderen Worten, du hast zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ gefunden, nämlich

$a=5\cdot(-18)=-90$ bzw. $b=91$

mit folgenden bemerkenswerten Eigenschaften:

$a\equiv 1\mod 91,\ a\equiv 0 \mod 5$
$b\equiv 0\mod 91,\ b\equiv 1 \mod 5$

und das ist genau das, was du hier brauchst, denn damit gilt

$32a+7b\equiv 32\cdot 1+7\cdot 0\equiv 32 \mod 91$
$32a+7b\equiv 32\cdot 0+7\cdot 1\equiv 7\mod 5$

und

$x=32a+7b=32\cdot5\cdot(-18)+7\cdot 91=-2243\equiv 32 \mod 455$

ist somit die gesuchte Lösung hier. Wo genau hat es hier bei dir gehakt?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]



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bambusbieber
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-14


2019-01-14 13:48 - weird in Beitrag No. 17 schreibt:
Ok, unser Kongruenzensystem lautet

$x\equiv 32 \mod 91$
$x\equiv 7 \mod 5$

Du hast schon mal ausgerechnet, dass gilt

$5\cdot(-18)\equiv 1 \mod 91$ (zusammen mit $5\cdot(-18)\equiv 0\mod 5$)
$91\equiv 1 \mod 5$ (zusammen mit $91\equiv 0\mod 91$)

Mit anderen Worten, du hast zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ gefunden, nämlich

$a=5\cdot(-18)=-90$ bzw. $b=91$

mit folgenden bemerkenswerten Eigenschaften:

$a\equiv 1\mod 91,\ a\equiv 0 \mod 5$
$b\equiv 0\mod 91,\ b\equiv 1 \mod 5$

und das ist genau das, was du hier brauchst, denn damit gilt

$32a+7b\equiv 32\cdot 1+7\cdot 0\equiv 32 \mod 91$
$32a+7b\equiv 32\cdot 0+7\cdot 1\equiv 7\mod 5$

und

$x=32a+7b=32\cdot5\cdot(-18)+7\cdot 91=-2243\equiv 32 \mod 455$

ist somit die gesuchte Lösung hier. Wo genau hat es hier bei dir gehakt?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]


danke - es hat bei mir oeben gehakt da ich der letzen Formel die gesammte Schrittweite genommen habe. Was man aber nimmt ist \(SW/mod_i\) als die SChrittweite durch den eingenen Modulu wert. Hier Das korrekte Ende meines Chin. Rest. T.


Nun ist eine Lösung \(L= \sum S/mod_i*x_i*Rest_i~~~=~~~~5*(-18)*32+91*1*7=-2243\)

..und die minimale Lösung = L mod S = 32.... checked :)

DANKE WEIRD!



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bambusbieber hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
bambusbieber hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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