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Moderiert von Fabi Dune ligning
Mathematik » Lineare Algebra » Distanztreue Abbildung + Bedingung => lineare Abbildung?
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Autor
Universität/Hochschule J Distanztreue Abbildung + Bedingung => lineare Abbildung?
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 497
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-10


Hey,
ich habe mal eine Frage:
Sei \((V, \parallel \, .\parallel )\) ein normierter Vektorraum (über \(\mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\), dürft ihr entscheiden) und \(f:V\to V\) eine distanztreue Abbildung, d.h. \(||f(x)-f(y)|| = || x-y|| \) \(\forall x,y\in V\) und es sei \(f(0)=0\). Folgt aus diesen Bedingungen schon, dass \(f\) linear ist?
Falls nein:
Ihr könnt die Bedingungen umändern, um stärkere Bedingungen zu haben, wie z.B. \(V\) endlich dimensional oder dass es ein euklidischer/unitärer Vektorraum ist oder Banachraum oder \(V=\mathbb{R}^n\), irgendwas halt. Etwas was eventuell hilft.

Ich konnte z.B. für \(V=\mathbb{R^n}\) mit dem Standardskalarprodukt zeigen, dass sich bei \(f\) auf jeden Fall skalare raus ziehen lassen.
Hier musste ich unter anderem verwenden, dass die Gleichheit bei der Dreiecksungleichung der Norm nur auftritt, wenn die Vektoren kollinear sind (Cauchy-Schwarz wurde verwendet, d.h. Skalarprodukt war nötig).

Die Frage kam mir auf, als der Physik Prof meinte: Eine Abbildung im \(\mathbb{R}^3\) auf sich selbst), wo die Abstände beibehalten werden (=distanztreu) ist eine Drehung oder so ähnlich.


Liebe Grüße
Red




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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2242
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-11


Hi,
guck mal hier
en.m.wikipedia.org/wiki/Mazur–Ulam_theorem



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 497
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-11


Genau danach habe ich gesucht, danke ochen!



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45922
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-11


HI Red_,
beim Mazur-Ulam-Theorem wird zusätzlich die Surjektivität der Abbildung vorausgesetzt, bei einem euklidischen Raum ist diese Voraussetzung entbehrlich, aber im allgemeinen nicht.
Gegenbeispiele (mit nicht surjektiven Abbildungen und der Maximumnorm) findet man hier, zusammen mit einem Beweis des Satzes.
Gruß Buri



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 497
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-11


Hi Buri,
und genau das ist die Antwort auf meine Frage, die ich eigentlich nachher stellen wollte, danke!  biggrin




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Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Red_ hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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