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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Bijektivität von Funktion zeigen und Wert von zweiter Ableitung der Umkehrfunktion bestimmen
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Universität/Hochschule Bijektivität von Funktion zeigen und Wert von zweiter Ableitung der Umkehrfunktion bestimmen
X3nion
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-11 16:55

\(\begingroup\)
Hallo zusammen!

Folgende Funktion f soll auf Bijektivität untersucht werden und es soll zudem $(f^{-1})''(1)$ berechnet werden:

$f: \IR \to \IR, x \mapsto \frac{1 + x + x^{2} + 2x^{3}}{1 + x^{2}}$.

Wie soll ich hier die Bijektivität zeigen, was wäre ein zielführender Ansatz?
Ich habe versucht, eine Polynomdivision durchzuführen und erhalte f(x) = $2x + 1 - \frac{x}{x^{2} + 1}$.

Zur Injektivität ginge man von $f(x_{1}) = f(x_{2})$ aus, also
$2x_{1} + 1 - \frac{x_{1}}{x_{1}^{2} + 1} = 2x_{2} + 1 - \frac{x_{2}}{x_{2}^{2} + 1}$.

Formt man dies um, so ergibt sich $2x_{1} - 2x_{2} = \frac{x_{1}}{x_{1}^{2}} - \frac{x_{2}}{x_{2}^{2} + 1} \iff x_{1} - x_{2} = x_{1}x_{2}^{2} - x_{2}x_{1}^{2} \iff -x_{2}x_{1}(x_{2} - x_{1}) = x_{2} - x_{1}$.

Daraus folgt nun $-x_{2}x_{1} = 1 \vee x_{1} = x_{2}$.
Dann würde ich aber daran scheitern, aus $-x_{2}x_{1} = 1$ zu folgern, dass $x_{1} = x_{2}$ ist.


Würde man die Injektivität so irgendwie folgern können, oder gibt es einen anderen Ansatz?
Und wie schaut es mit der Surjektivität aus?


Ich wäre euch wie immer für jede Hilfe sehr dankbar!


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-11 20:44


Huhu X3nion,

2019-01-11 16:55 - X3nion im Themenstart schreibt:
[...], oder gibt es einen anderen Ansatz?

ich würde einfach mal die Monotonie betrachten.

Gruß,

Küstenkind



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-01-11 20:56

\(\begingroup\)

Und wie schaut es mit der Surjektivität aus?

Für die Surjektivität kannst du die Grenzwerte:

$\lim_{x\to\infty} f(x)$

und

$\lim_{x\to -\infty} f(x)$

betrachten.
Hier hilft dir deine Polynomdivision weiter.
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13 01:08

\(\begingroup\)
Hallo zusammen und vielen Dank für eure Antworten!

Nun denn zur Monotonie: Die Behauptung ist, dass die Funktion f streng monoton wachsend ist.
Dazu ist zu zeigen, dass $\forall x_{1}, x_{2} \in \IR: x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})$.

In obiger Darstellung von f nach Polynomdivision wäre ja zu zeigen, dass $2x_{1} + 1 - \frac{x_{1}}{x_{1}^{2} + 1} < 2x_{1} + 1 - \frac{x_{2}}{x_{2}^{2} + 1}$.

Aus $x_{1} < x_{2}$ folgt $2x_{1} + 1 < 2x_{2} + 1$.

Damit nun aber $f(x_{1}) < f(x_{2})$ gilt, müsste ja $\frac{x_{1}}{x_{1}^{2} + 1} > \frac{x_{2}}{x_{2}^{2} + 1}$.

Hierbei scheitere ich. Ist der Ansatz, den durch Polynomdivision erhaltenen Term zu betrachten, überhaupt zielführend?


Und zur Surjektivität: Es gilt $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ und $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, aber inwieweit hilft dies zum Beweis der Surjektivität weiter?
Intuitiv ist mir dies klar, denn die Funktion ist stetig und geht von $-\infty$ bis $\infty$, folglich werden alle reellen Zahlen von der Funktion getroffen.
Aber wie könnte man dies formal beweisen?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-01-13 01:44

\(\begingroup\)
Die Surjektivität passt so, wenn du vielleicht die Grenzwertbetrachtung noch etwas ausführst.

Das ist nämlich dann der Zwischenwertsatz.

Für die Injektivität kannst du auch zeigen, dass die Ableitung strikt positiv (oder negativ) ist, falls das Resultat bekannt ist.


Ist der Ansatz, den durch Polynomdivision erhaltenen Term zu betrachten, überhaupt zielführend?

Die Ungleichung die du zeigen möchtest, also

$\frac{x_1}{x_1^2+1}>\frac{x_2}{x_2^2+1}$

sollte im allgemeinen nicht gelten.
Mit ein paar Umformungen sollte man zu

$x_2-x_1<x_1x_2(x_2-x_1)$

kommen. Dazu multipliziert man einfach die Nenner (welche positiv sind) multipliziert aus, und sortiert etwas.

Wegen $x_2>x_1$ ist $x_2-x_1>0$. Vor allem von Null verschieden.
Wir können also durch $(x_2-x_1)$ teilen und erhalten:

$1<x_1x_2$ und das gilt im allgemeinen nicht.

Du kannst es dir also nicht so leicht machen und den linearen Teil einfach weglassen, weshalb die gemachte Polynomdivision keinen direkten Nutzen haben sollte.
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13 02:27

\(\begingroup\)
Hi PrinzessinEinhorn,

okay also es gilt nun $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ und $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$.

Wähle nun $[a,b]$ mit $a,b \in \IR, a < b$ beliebig. Es gilt $f(a) < f(b)$ aufgrund der strengen Monotonie von f. Der Zwischenwertsatz besagt, dass f alle Werte zwischen f(a) und f(b) annimmt.
Aufgrund der beliebigen Wahl von $a,b \in \IR$ nimmt f alle Werte in $\IR$ an.

Würde dies als Argumentation ausreichen?


Zur strengen Monotonie: Betrachte $f'(x) = \frac{(1 + 2x + 6x^{2})(1 + x^{2}) - 2x(1 + x + x^{2} + 2x^{3})}{(1 + x^{2})^{2}} > 0$
$\iff (1 + 2x + 6x^{2})(1 + x^{2}) - 2x(1 + x + x^{2} + 2x^{3}) > 0$ wegen $(1 + x^{2})^{2} > 0$.
Weiters ist $(1 + 2x + 6x^{2})(1 + x^{2}) - 2x(1 + x + x^{2} + 2x^{3}) > 0 \iff 1 + x^{2} + 2x + 2x^{3} + 6x^{2} + 6x^{4} - 2x - 2x^{2} - 2x^{3} - 4x^{4} > 0 \iff 2x^{4} + 5x^{2} + 1 > 0$, und die letzte Ungleichung ist klar wegen $2x^{4} + 5x^{2} > 0 \forall x \in \IR$.
Folglich gilt $f'(x) > 0 \forall x \in \IR$ und f ist damit streng monoton wachsend. Daraus folgt aber die Injektivität, denn jede streng monotone Funktion ist injektiv.

Würde das so passen?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-01-13 02:48

\(\begingroup\)
Zur strengen Monotonie:

Ich habe deine Rechenschritte nicht nachgerechnet. Wenn die korrekt sind, dann stimmt das.

Zur Surjektivität:

Du benutzt eine Version des Zwischenwertsatzes für abgeschlossene Intervalle.  Er gilt aber auch allgemein.
Ansonsten bin ich nicht der Meinung, dass du hier eine rigorose Begründung brauchst, wenn ihr nur die Version habt, die du zitiert hast.
Wenn du gezeigt hast, dass die jeweiligen Grenzwerte $\pm\infty$ sind, dann ist klar (zur Not mit ein bisschen 'hand-waving'), dass die Funktion surjektiv ist.

\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13 16:27

\(\begingroup\)
Hi PrinzessinEinhorn,

okay alles klar, dann weiß ich Bescheid!

Bleibt noch $(f^{-1})''(1)$ zu berechnen. Hierfür würde man zweimal ableiten und dann die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion benutzen?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15 14:07

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

wie würde man $(f^{-1})‘‘(1)$ berechnen?

Ich wäre euch sehr dankbar für eure Hilfe!

Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-01-15 16:50


Naja - so halt. Entweder hattet ihr die Formel, oder du solltest sie schnell herleiten (was nun auch kein Problem darstellen sollte).

Gruß,

Küstenkind



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