Die Mathe-Redaktion - 16.06.2019 17:31 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Sept.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 580 Gäste und 24 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Holomorphie » Funktionen durch ihr Bild bestimmen im Komplexen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Funktionen durch ihr Bild bestimmen im Komplexen
Sabrina94
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.06.2015
Mitteilungen: 29
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-12


Hallo Leute,
für mein Übungsblatt habe ich folgende Aufgabe:

Für eine Funktion\( f: D \rightarrow \mathbb{C}\) setzen wir wie gewohnt Bild(f)={\({f(z) \vert z \in D}\)}. Untersuchen sie, ob es eine ganze Funktion \(f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\) gibt mit:

a) Bild(f) = \(B_1(0)\) (= Kreisscheibe um 0 mit Radius 1 )
b) Bild(f) = {\(z \in \mathbb{C} \vert Re(z), Im(z) \in \mathbb{Q}\)}
c) Bild(f) = \(\mathbb{C}\setminus\){0}

Zu der a habe ich mir schon Gedanken gemacht und bin darauf gekommen, dass ich eine Funktion suche, welche das Bild {\(z \in \mathbb{C}\vert \vert z\vert > 1\)} hat. Aber eine solche Funktion gibt es nicht oder?

Könntet ihr mir bitte bei der Aufgabe weiterhelfen?

Ich danke euch schonmal für eure Antworten



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Bai
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1233
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-12


Hi,

Tipp:

a) Satz von Liouville
b) Satz von Picard
c) Exponentialfunktion



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sabrina94
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.06.2015
Mitteilungen: 29
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12


Hallo Bai,

a) der Satz von Liouville besagt ja, dass jede ganze beschränkte Funktion in \(\mathbb{C}\) konstant ist. Das Bild ist ja beschränkt. Aber inwiefern hilft mir das hier weiter?

b) Leider sagt der Satz von Picard mir nichts... im INternet habe ich den kleinen und den großen gefunden, welchen meinst du jetzt und inwiefern hilft der mir?

c) Leider verstehe ich diesen Tipp nicht... zwar erreicht exp(x) die null nicht jedoch wird sie auch nicht negativ... ich habe auch schon einige Versionen versucht, jedoch komme ich nicht drauf

Gruß



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Bai
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1233
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-12


2019-01-12 18:44 - Sabrina94 in Beitrag No. 2 schreibt:
a) der Satz von Liouville besagt ja, dass jede ganze beschränkte Funktion in \(\mathbb{C}\) konstant ist. Das Bild ist ja beschränkt. Aber inwiefern hilft mir das hier weiter?

Das findest du mit ein wenig Grübeln bestimmt selbst heraus.

2019-01-12 18:44 - Sabrina94 in Beitrag No. 2 schreibt:
b) Leider sagt der Satz von Picard mir nichts... im INternet habe ich den kleinen und den großen gefunden, welchen meinst du jetzt und inwiefern hilft der mir?

Wenn du den Satz nicht kennst, habt ihr ihn in der Vorlesung wahrscheinlich nicht behandelt. Problematisch ist das aber nicht, denn es gibt hier viele Möglichkeiten, so eine Funktion auszuschließen. Welche Sätze kennst du denn stattdessen?

2019-01-12 18:44 - Sabrina94 in Beitrag No. 2 schreibt:
c) Leider verstehe ich diesen Tipp nicht... zwar erreicht exp(x) die null nicht jedoch wird sie auch nicht negativ... ich habe auch schon einige Versionen versucht, jedoch komme ich nicht drauf

Achtung: Wir reden hier von komplexwertigen Funktionen. Beispielsweise ist $\exp(\pi i)=-1$. Abgesehen davon gibt es so ein Konzept wie "negativ" auf $\mathbb C$ nicht.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2224
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-01-12


2019-01-12 18:44 - Sabrina94 in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo Bai,

a) der Satz von Liouville besagt ja, dass jede ganze beschränkte Funktion in <math>\mathbb{C}</math> konstant ist. Das Bild ist ja beschränkt. Aber inwiefern hilft mir das hier weiter?

Die gesuchte Funktion ist also ganz und beschränkt. Somit folgt nach dem Satz von Liouville ...


b) Leider sagt der Satz von Picard mir nichts... im Internet habe ich den kleinen und den großen gefunden, welchen meinst du jetzt und inwiefern hilft der mir?

Hast du die Aussagen beider Sätze gelesen? Der kleine Satz sagt genau das aus, was du brauchst. Du darfst ihn aber sicherlich nicht benutzen. Aber du weißt wenigstens jetzt, was du zeigen musst.


c) Leider verstehe ich diesen Tipp nicht... zwar erreicht exp(x) die null nicht jedoch wird sie auch nicht negativ... ich habe auch schon einige Versionen versucht, jedoch komme ich nicht drauf

Gruß

Es ist <math>\exp(i\pi)<0</math>. Kennst du die Polardarstellung einer komplexen Zahl?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sabrina94
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.06.2015
Mitteilungen: 29
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13


Hallo ihr 2,
Danke für eure Antworten. Dann würde ja gellten:

a) Durch Liouville ist die Funktion konstant. Aber es gibt doch keine Funktion welche konstant ist und zeitgleich auf einen Kreis abbildet. Oder?

b) Der kleine Satz besagt, dass jede nicht-konstante Funktion die gesamte komplexe Zahlenebene abdecken muss, wobei nur ein Punkt herausgenommen werden darf. So da bei diesem Bild mehrere Werte im Bild fehlen, muss diese Funktion ja auch konstant sein.

c) wäre dann nicht exp(ix) eine geeignete Funktion? Nein leider sagt mir das nichts...

Da man komplexe Funktionen schwer darstellen kann, habe ich damit leider Probleme, da ich es mir nicht vorstellen kann.

Gruß



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2224
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-01-13


Zu a) Was ist das Bild einer konstanten Funktion?

Zu b) Den Satz darfst du nicht verwenden. Welche Sätze kennst du denn noch?

Zu c) Was hast du denn gegen <math>f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C},\, t\mapsto\exp(t)</math>?
Dann ist <math>f(i\pi)=-1</math>.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sabrina94
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.06.2015
Mitteilungen: 29
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-14


Hallo Ochen,
a) Das Bild einer konstanten Funktion besitzt nur ein Element. Die Kreisscheibe jedoch hat ja mehrere... Also kann ich sagen, dass nach Liouville keine Funktion existiert, welche die Kreisscheibe als Bild hat.

c)stimmt... die exp(x) erfüllt dies ja auch...

b)Leider sind wir in der Vorlesung bis jetzt nur auf den Satz von Liouville gekommen...

Danke für die Hilfe



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Bai
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1233
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-01-14


2019-01-14 08:59 - Sabrina94 in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo Ochen,
a) Das Bild einer konstanten Funktion besitzt nur ein Element. Die Kreisscheibe jedoch hat ja mehrere... Also kann ich sagen, dass nach Liouville keine Funktion existiert, welche die Kreisscheibe als Bild hat.

c)stimmt... die exp(x) erfüllt dies ja auch...

b)Leider sind wir in der Vorlesung bis jetzt nur auf den Satz von Liouville gekommen...

Danke für die Hilfe

a) Richtig.
c) Ja, aber das muss natürlich auch bewiesen werden. Es ist keineswegs selbstverständlich, dass die komplexe Exponentialfunktion surjektiv auf $\mathbb C^\times$ ist.

b) Kennst du z.B. den Satz von der Gebietstreue? Irgendwelche topologischen Aussagen werdet ihr über Bilder holomorpher Funktionen bestimmt gemacht haben und das Bild in dieser Teilaufgabe ist abzählbar. Da geht immer was schief (außer natürlich für konstante Funktionen).



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sabrina94
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.06.2015
Mitteilungen: 29
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15


Hallo Bai,
dann sind a und c erledigt. dafür vielen Dank

zu b) Der Satz der Gebietstreue sagt aus: Für ein Gebiet D\(\in \mathbb{C}\) und eine nicht-konstante, holomorphe Funktion f: \(D \rightarrow \mathbb{C}\) gilt, dass f(D) \(\in \mathbb{C}\) ebenfalls ein Gebiet, also offen und wegzsmhängend, ist.

Ich vermute, dass die gesuchte Fkt in ihrem Bild kein Gebiet bildet und somit müsste die Funktion konstant sein. Dann kann ich wieder wie bei a) argumentieren. Also existiert eine solche Funktion ebenfalls nicht.
kann ich das so argumentieren?

Gruß,
Sabrina



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2224
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-01-15


Es muss <math>D\subseteq \mathbb{C}</math> und <math>f(D)\subseteq \mathbb{C}</math>  heißen.

Ist denn die Bildmenge nicht offen oder nicht wegzusammenhängend? Kannst du eines von beidem nachweisen?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sabrina94
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.06.2015
Mitteilungen: 29
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15


ohja stimmt. Da hab ich das falsche Symbol genutzt du hast natürlich recht.

die Menge ist ja offen, was meiner Ansicht nach klar ist. Oder
Also muss ich zeigen, dass die Bildmenge nicht wegzsmhängend ist. Da jedoch habe ich keine Ahnung wie ich das zeigen kann..


Gruß
Sabrina



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2224
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-01-15


Wieso sollte die Menge offen sein? Was bedeutet offen?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sabrina94
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.06.2015
Mitteilungen: 29
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15


Laut Definition ist eine offene Menge eine Menge, die genau definierte Eigenschaften hat. Die Elemente liegen in der Umgebung zu anderen Elementen der Menge. Der Rand ist somit leer.

Jetzt wo du es erwähnst bin ich mir da nicht mehr so sicher ob die Menge offen ist. Ich kann mir nämlich nicht vorstellen dass die Elemente alle in der Umgebung zu den anderen liegen... Daher würde ich nun vermuten sie ist nicht offen...




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2224
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-01-15


Ja, das stimmt schon so irgendwie :/

Wäre das Bild offen, so gibt es für alle <math>z\in f(\mathbb{C})</math> ein <math>\varepsilon>0</math>, sodass <math>x\in f(\mathbb{C})</math> für alle <math>x\in \mathbb{C}</math> mit <math>|x-z|<\varepsilon</math> gilt.

Was musst du also zeigen?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sabrina94
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.06.2015
Mitteilungen: 29
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15


naja mittels eines Gegenbeispieles könnte ich vlt zeigen, dass die Menge nicht offen ist. Ich müsste dafür 2 Elemente a und b aus der Menge nehmen und zeigen, dass nicht gilt:

\[\vert a-b \vert < \epsilon \]
kann ich dafür mir einfach 2 bel. Zahlen aus der Menge nehmen?

Um ehrlich zu sein: Ich habe nie wirklich verstanden, wie man die Offenheit zeigt oder eben nicht zeigt... es gehört zu meinen Hassthemen...

Danke für die Hilfe



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Gestath
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 22.07.2013
Mitteilungen: 186
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-02-06


Vielleicht sollte man noch anmerken, dass die Behauptung b) sogar für stetige Funktionen f gilt, sofern der Definitionsbereich zusammenhängend ist.


fed-Code einblenden



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sabrina94 wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]