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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Topologie » Lokalkonstant => konstant
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Universität/Hochschule J Lokalkonstant => konstant
Sabrina94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-12


Hallo Leute,
ich soll folgende Aufgabe beweisen:

Sei D \(\subseteq \mathbb{C}\) ein Gebiet und f: \(D \rightarrow \mathbb{C}\) lokalkonstant, d.h. f ist konstant auf jeder offenen Kreisscheibe, die in D liegt. Zeigen Sie, dass dann bereits f konstant ist.

Leider bin ich mit dieser Aufgabe vollkommen überfordert und hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.

Danke



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-12


Hi,

jeder Punkt aus $D$ hat also eine offene Umgebung $O$, auf der $f$ konstant ist. Demnach ist $f^{-1}({z})$ offen für alle $z\in\mathbb C$. Außerdem ist die Menge $\mathbb C\backslash\{z\}$ als Komplement einer abgeschlossenen Menge ebenfalls offen. Was folgt aus der Stetigkeit nun für die Urbilder von $\{z\}$ und $\mathbb C\backslash\{z\}$? (Beachte, dass Gebiete zusammenhängend sind)



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Sabrina94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12


Hallo Bai,
danke für deine Antwort.

Durch die Stetigkeit kann man nun folgern, dass auch die Urbilder von {z} und \(\mathbb{C}\)\ {z} ebenfalls offen sind. Auch folgt aufgrund des zusammenhängend, dass die beiden Urbilder auch zusammenhängend und somit auch Gebiete sind.

Meinst du das?

Gruß



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-12


2019-01-12 17:59 - Sabrina94 in Beitrag No. 2 schreibt:
Meinst du das?

Ja. Was kannst du nun über die offenen Urbilder sagen, wenn $D$ zusammenhängend ist?



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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-01-12


Hallo ihr Beiden,

ist $f$ denn als stetig vorausgesetzt? Im Ausgangsposting wird dies nicht erwähnt.

Viele Grüße

doglover



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Wally
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-12


Ein guter Einwand, doglover.

Vielleicht muss man doch über "wegzusammenhängend längs eines kompakten Wegs" argumentieren.

Wally



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Cdr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-01-12


Hallo,

da Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist, ist $f$ als lokalkonstante Funktion schon stetig.

Gruß,
Cdr



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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-01-13


Hallo,

@Cdr ah ja natürlich, da hatte ich nicht weit genug gedacht.

@Wally genau die gleiche Idee hatte ich auch!

Viele Grüße

doglover



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Sabrina94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13


Hallo Bai,
Die definition von zusammenhängend bedeutet ja, dass ich die Menge D nicht in 2 disjunkte offene Mengen zerlegen kann. Da die Urbilder ja bereits offen sind und jeweils Teilmengen von D sind, dürfen sie nicht disjunkt sein.

Also gilt bis jetzt:

\(f^{-1}(\{z\}) \cap f^{-1}(\mathbb{C}\setminus \{z\})\neq \emptyset\)

Dies bedeutet ja, dass es für die verschiedenen Werte von f gemeinsame Urbilder gibt. Sehe ich das richtig?



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-01-14


2019-01-13 10:57 - Sabrina94 in Beitrag No. 8 schreibt:
Also gilt bis jetzt:

\(f^{-1}(\{z\}) \cap f^{-1}(\mathbb{C}\setminus \{z\})\neq \emptyset\)

Es bedeutet sogar noch mehr: Eine der beiden Mengen muss leer sein. Folgere daraus, dass die Funktion konstant ist.



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Sabrina94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15


Hallo Bai,
Das bedeutet ja, dass

\(f^-1\)(\(\mathbb{C}\) \{z}) \(=\emptyset\)

sein muss, damit meine Funktion konstant ist. Doch wie kann ich das folgern?

Gruß
Sabrina



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