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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Eigenwerte » Anwendung einer Matrix auf ihren charakteristischen Vektor
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Beruf Anwendung einer Matrix auf ihren charakteristischen Vektor
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-12


Hallo Zusammen

Die Umformung $e^{Bt}w_\lambda=e^{\lambda t}(w_\lambda+tv_\lambda)$ verstehe ich nicht. Dabei ist $B\in  \mathbb{C}_{n\times n}$ und $\lambda$ ein Eigenwert von B. $v_\lambda$ ist ein Eigenvektor von $B$ und $w_\lambda$ ist ein charakteristischer Vektor.


Aus der Rekursivformel zur Bestimmung von Charakteristischen Vektoren ist bekannt: $Bw=\lambda w+v$

Weiter vermute ich dass wenn $v$ ein Eigenvektor von $B$ ist, dann ist $v$ automatisch auch ein Eigenvektor von $e^B$ und $e^{Bt}$


Ob der charakteristische Vektor $w$ von $B$ auch ein Charakteristischer Vektor von $e^B$ ist weiss ich hingegen nicht.


jedenfalls verstehe ich nicht weshalb $e^{Bt}w_\lambda=e^{\lambda t}(w_\lambda+tv_\lambda)$  und benötige hier Hilfe.











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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-12


Hallo,

für einen Eigenvektor hast Du: \(Bw=\lambda w \Rightarrow e^B w=e^\lambda w\). Das folgt aus der Potenzreihe von exp. Zu dem französischen Text kann ich leider nichts sagen.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12


Hallo TomTom,

ja $e^B v$ ergibt einen interessanten Ausdruck, nämlich $e^\lambda v$.

Stellt sich nun die Frage ob $e^B w$ auch irgend etwas spezielles gibt.

Hat ja mit dem französischen text nichts zu tun, weshalb $e^{Bt} w= e^{\lambda t}(w+tv)$



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-12


Aus $Bw=\lambda w+v$ erhält man $B^n w=\lambda^n w+n \lambda^{n-1} v$. Der zweite Summand in v liefert dann die abgeleitete Potenzreihe von exp und somit wieder exp. Hierbei habe ich $Bw=\lambda w+v$ und $Bv=\lambda v$ verwendet. Als Reihe ergibt es $e^{B} w= e^{\lambda}(w+v)$. Zusammen mit dem t sollte es auch funktionieren.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-12


Aus $Bw=\lambda w+v$ erhält man $B^n w=\lambda^n w+n \lambda^{n-1} v$

Hast du beidseitig mit $B^{n-1}$ multipliziert? Oder hast du etwas anderes gemacht?


Dann wäre: $B^{n-1}Bw=B^{n-1}\lambda w+B^{n-1}v$
und weiter: $B^n w=B^{n-1}\lambda w+\lambda^{n-1}v$

Bei ersten Summanden auf der rechten Seite muss man daran denken dass w kein Eigenvektor ist. aber vor allem sehe ich nicht woher beim zweiten Summand das n kommt.



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-12


Das ist nur induktiv ausgerechnet. Setze für \(\lambda B^{n-1} v\) wieder die Formel für n-1 ein. Der Faktor n entsteht durch n-fache Addition in der Ausgangsgleichung.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13


Ja nun ist es aber so, dass dies zu beweisen nicht die Aufgabenstellung war.
Die Äquivalenz $e^{At}w=e^{\lambda t}(\lambda w + tv)$ wurde als bekannt vorausgesetzt und in einer komplexen Beweisführung verwendet.

Dies kann offensichtlich nicht als selbstverständlich vorausgesetzt werden.


Vielen dank Tomtom




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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-01-13


Dies kann offensichtlich nicht als selbstverständlich vorausgesetzt werden.
Naja... Das hängt stark von der Textquelle ab. In Forschungsartikel oder (sehr) fortgeschrittenen Büchern ist es durchaus üblich "einfache" Rechnungen auszulassen. Eine einfache Rechnung kann dann auch leicht über eine ganze Seite gehen, wenn Du es nachrechnest.



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sulky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sulky hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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