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Analysis » Folgen und Reihen » Explizite Formel
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Universität/Hochschule Explizite Formel
faruk105
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-12 23:39


fed-Code einblenden
Die explizite Darstellung lautet: an=(2-Wurzelvon 3))^n+(2+wurzel von(3))^n


Mit a0=2
Und a1=4



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-12 23:53

\(\begingroup\)
Hallo,

bitte benutz den Formeleditor.
Was ist Index und was nicht?

Deine rekursive Formel lautet also:

$a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$

?

Und was ist deine Frage?

Edit: Formel korrigiert.
\(\endgroup\)


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faruk105
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13 00:03


a_(n+2)=4*a_(n+1)-a_n

Wie kommt man auf die explizite Formel also auf
a_n=(2-sqrt(3))^n+(2+sqrt(3))^n



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faruk105
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13 00:07


Die Formel die du geschrieben hast ist also richtig



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-01-13 00:08


Wie man diese explizite Formel bestimmen kann, weiß ich gerade leider nicht.
Jedenfalls keinen effektiven Weg.
Bei einfacheren Folgen, kann man sowas manchmal 'raten'.

Da die Formel aber wohl gegeben ist, ist deine Frage vielleicht eigentlich, wie man sowas beweisen kann?

Das würde mit Induktion gehen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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faruk105
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13 00:11


Danke aber die explizite war nicht gegeben und sollte berechnet werden mit der rekursiven Darstellung



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-01-13 00:24

\(\begingroup\)
War denn gar nichts gegeben?

Mir wurde mal eine ähnliche Aufgabe gestellt:

Mittels der Vorschrift $a_0:=1, a_1:=1, a_n:=a_{n-1}+a_{n-2}$ für $n\geq 2$ wird rekursiv eine Folge definiert. Zeigen Sie, dass es Konstanten $c_1, c_2\in\mathbb{R}$ gibt so, dass

$a_{n}=c_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+c_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$

für alle $n\in\mathbb{N}$ gilt. Bestimme $c_1, c_2$.

Wenn es bei dir ähnlich ist, dann kann man das mit einem Gleichungssystem machen.

Ansonsten ist das Stichwort bei solchen Bestimmungen vermutlich 'erzeugende Funktion'.
Aber da bin ich dann leider erstmal überfragt.
\(\endgroup\)


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faruk105
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13 00:27


Die rekursive Formel war gegeben mir a0=2 und a1=4



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-01-13 00:27


Man benutzt, dass das eine  lineare Differenzengleichung ist und den Ansatz <math>a_n=q^n</math>.

Wally

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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faruk105
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13 00:30


q ist der Quotient wie berechnet man ihn aber?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-01-13 00:32


Der Wikipedia-Artikel zum Stichwort von Wally ist lesenswert:

de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Differenzengleichung




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