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 Minorantenkriterium Folgerung |
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idontknowhow10
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Hey, Ich weiß, dass die Reihe sum(1/k,k=1,n) divergiert. Wenn ich nun die Reihe sum(1/2(k+1),k=1,n) erhalte, wieso kann ich daraus folgern, nach dem Minorantenkriterium, dass 1/2(k+1) divergiert? Das Minorantenkriterium ist doch wie folgt definiert : Gegeben sei eine divergente reelle Reihe sum(d_k,k=1,n). Wenn es ein N \el\ \IN gibt, so dass abs(a_k) >= d_k >= 0 für alle k >= N, dann ist sum(abs(a_k),k=1,n) divergent. In unserem Falle wäre d_k ja die Reihe 1/k. Und die Reihe 1/2(k+1) ist ja kleiner. Wieso kann ich dann daraus folgern, dass die Reihe 1/2(k+1) divergiert?
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PrinzessinEinhorn
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-15
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Hallo,
du kannst die Reihe $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2(k+1)}$ auf die Reihe $\sum_{k=1}^\infty \frac1k$ zurückführen.
Etwa mit einer Indexverschiebung und ausklammern des konstanten Faktors.
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Mathsman
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| Beitrag No.2, eingetragen 2019-01-15
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Hi, ich hätte da auch nicht das Minorantenkriterium verwendet. Wüsste auch nicht, wie ich das da anwenden können soll. Mein Ansatz um zu beweisen, dass diese Reihe divergiert, wäre indem ich den Skalar 1/2 aus der Reihe rausziehe (als obere Grenze der Summe sollte wohl unendlich stehen) und eine Index Verschiebung mache, sprich die Reihe bei k=2 starte. Dann ist man quasi fertig (warum?)
LG Mathsman
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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idontknowhow10
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15
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So? sum(1/2(k+1),k=1,n) = 1/2*sum(1/(k+1),k=1,n) 1/2*sum(1/(k+1),k=1,n) hier den Index versetzen auf k=0 und n-1. Dann erhalten wir sum(1/(k+1),k=0,n-1) = sum(1/k,k=1,n). Wäre das richtig so?
BITTE BEACHTEN n=unendlich.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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PrinzessinEinhorn
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| Beitrag No.4, eingetragen 2019-01-15
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Ich hatte das oben für einen Tippfehler gehalten, aber du betrachtest hier eine endliche Summe.
Dass du $\frac{1}{k}+1$ schreibst, sollte aber wirklich ein Tippfehler sein, oder?
Du musst den Index auf $k=2$ schieben.
Also um 'einen hoch'.
Dann haben wir $\frac12\sum_{k=2}^\infty\frac1k$
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idontknowhow10
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15
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2019-01-15 23:08 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich hatte das oben für einen Tippfehler gehalten, aber du betrachtest hier eine endliche Summe.
Dass du $\frac{1}{k}+1$ schreibst, sollte aber wirklich ein Tippfehler sein, oder?
Du musst den Index auf $k=2$ schieben.
Also um 'einen hoch'.
Dann haben wir $\frac12\sum_{k=2}^\infty\frac1k$
Okay ich bin jetzt verwirrt. Also ja es geht sich um unendliche Reihen. Wie verschiebe ich jetzt den Index um von 1/2 * sum(1/(k+1),k=1,\inf) auf sum(1/k,k=1,\inf)
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PrinzessinEinhorn
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| Beitrag No.6, eingetragen 2019-01-15
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Also:
$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2(k+1)}=\frac12\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}$
Jetzt wollen wir den Index so verschieben, dass wir über $\frac1k$ summieren.
Der erste Summand der ursprünglichen Reihe (also für k=1), ist $\frac12$.
Wenn wir den Index verschieben, dann muss natürlich das gleiche Ergebnis herauskommen.
Also muss der Index um eins nach oben verschoben werden, um das auszugleichen.
$\frac12\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}=\frac12\sum_{k=2}^\infty\frac1k$
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idontknowhow10
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15
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2019-01-15 23:28 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 6 schreibt:
Also:
$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2(k+1)}=\frac12\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}$
Jetzt wollen wir den Index so verschieben, dass wir über $\frac1k$ summieren.
Der erste Summand der ursprünglichen Reihe (also für k=1), ist $\frac12$.
Wenn wir den Index verschieben, dann muss natürlich das gleiche Ergebnis herauskommen.
Also muss der Index um eins nach oben verschoben werden, um das auszugleichen.
$\frac12\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}=\frac12\sum_{k=2}^\infty\frac1k$
AAAHHH ja macht Sinn, sorry war verwirrt.
Also kann man sagen, dass die Reihe mit 1/(2(k+1)) eine langsamer wachsende Reihe bzw schwächere Reihe von 1/k ist?
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PrinzessinEinhorn
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| Beitrag No.8, eingetragen 2019-01-15
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Im Prinzip schon.
Auf jeden Fall sieht man, dass die Reihe divergiert, weil die harmonische Reihe divergiert.
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Wirkungsquantum
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2019-01-15
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Hallo,
was verstehst du denn unter einer schwächeren Reihe?
Grüße,
h
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$
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idontknowhow10
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15
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2019-01-15 23:41 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 9 schreibt:
Hallo,
was verstehst du denn unter einer schwächeren Reihe?
Grüße,
h
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
Eine nicht so schnell wachsende.
Aber trotz allem, also ich verstehe , dass sie divergiert. Aber das hat doch nichts mit dem Minorantenkriterium zu tun?
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PrinzessinEinhorn
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| Beitrag No.11, eingetragen 2019-01-16
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Naja, du könntest natürlich die Reihe jetzt auch gegen eine divergente Minorante abschätzen, indem du wieder die harmonische Reihe manipulierst.
Das ist aber eigentlich nicht notwendig.
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idontknowhow10
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-16
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2019-01-16 00:23 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 11 schreibt:
Naja, du könntest natürlich die Reihe jetzt auch gegen eine divergente Minorante abschätzen, indem du wieder die harmonische Reihe manipulierst.
Das ist aber eigentlich nicht notwendig.
Okay, aber die Gleichung aus der Definition der Minorante : abs(a_k) >= d_k >= 0 ist doch für a_k = 1/2*sum(1/k,k=2,\inf) und d_k = sum(1/k,k=2,\inf) nicht erfüllt oder? Es müsste ja anders herum sein.
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