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Analysis » Folgen und Reihen » Minorantenkriterium Folgerung
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Universität/Hochschule Minorantenkriterium Folgerung
idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-15


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-15


Hallo,

du kannst die Reihe $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2(k+1)}$ auf die Reihe $\sum_{k=1}^\infty \frac1k$ zurückführen.

Etwa mit einer Indexverschiebung und ausklammern des konstanten Faktors.



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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-01-15


Hi, ich hätte da auch nicht das Minorantenkriterium verwendet. Wüsste auch nicht, wie ich das da anwenden können soll. Mein Ansatz um zu beweisen, dass diese Reihe divergiert, wäre indem ich den Skalar 1/2 aus der Reihe rausziehe (als obere Grenze der Summe sollte wohl unendlich stehen) und eine Index Verschiebung mache, sprich die Reihe bei k=2 starte. Dann ist man quasi fertig (warum?)
LG Mathsman

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15


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BITTE BEACHTEN n=unendlich.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-01-15


Ich hatte das oben für einen Tippfehler gehalten, aber du betrachtest hier eine endliche Summe.

Dass du $\frac{1}{k}+1$ schreibst, sollte aber wirklich ein Tippfehler sein, oder?

Du musst den Index auf $k=2$ schieben.
Also um 'einen hoch'.

Dann haben wir $\frac12\sum_{k=2}^\infty\frac1k$



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idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15


2019-01-15 23:08 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich hatte das oben für einen Tippfehler gehalten, aber du betrachtest hier eine endliche Summe.

Dass du $\frac{1}{k}+1$ schreibst, sollte aber wirklich ein Tippfehler sein, oder?

Du musst den Index auf $k=2$ schieben.
Also um 'einen hoch'.

Dann haben wir $\frac12\sum_{k=2}^\infty\frac1k$

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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-01-15


Also:

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2(k+1)}=\frac12\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}$

Jetzt wollen wir den Index so verschieben, dass wir über $\frac1k$ summieren.
Der erste Summand der ursprünglichen Reihe (also für k=1), ist $\frac12$.

Wenn wir den Index verschieben, dann muss natürlich das gleiche Ergebnis herauskommen.

Also muss der Index um eins nach oben verschoben werden, um das auszugleichen.

$\frac12\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}=\frac12\sum_{k=2}^\infty\frac1k$



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idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15


2019-01-15 23:28 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 6 schreibt:
Also:

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2(k+1)}=\frac12\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}$

Jetzt wollen wir den Index so verschieben, dass wir über $\frac1k$ summieren.
Der erste Summand der ursprünglichen Reihe (also für k=1), ist $\frac12$.

Wenn wir den Index verschieben, dann muss natürlich das gleiche Ergebnis herauskommen.

Also muss der Index um eins nach oben verschoben werden, um das auszugleichen.

$\frac12\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}=\frac12\sum_{k=2}^\infty\frac1k$

AAAHHH ja macht Sinn, sorry war verwirrt.

Also kann man sagen, dass die Reihe mit 1/(2(k+1)) eine langsamer wachsende Reihe bzw schwächere Reihe von 1/k ist?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-01-15


Im Prinzip schon.
Auf jeden Fall sieht man, dass die Reihe divergiert, weil die harmonische Reihe divergiert.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-01-15


Hallo,
was verstehst du denn unter einer schwächeren Reihe?

Grüße,
h

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]


-----------------
$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-15


2019-01-15 23:41 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 9 schreibt:
Hallo,
was verstehst du denn unter einer schwächeren Reihe?

Grüße,
h

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]

Eine nicht so schnell wachsende.

Aber trotz allem, also ich verstehe , dass sie divergiert. Aber das hat doch nichts mit dem Minorantenkriterium zu tun?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-01-16


Naja, du könntest natürlich die Reihe jetzt auch gegen eine divergente Minorante abschätzen, indem du wieder die harmonische Reihe manipulierst.

Das ist aber eigentlich nicht notwendig.




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idontknowhow10
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2019-01-16 00:23 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 11 schreibt:
Naja, du könntest natürlich die Reihe jetzt auch gegen eine divergente Minorante abschätzen, indem du wieder die harmonische Reihe manipulierst.

Das ist aber eigentlich nicht notwendig.



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