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Physik » Thermodynamik & Statistische Physik » Herleitung des ersten Fick'schen Gesetzes
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Universität/Hochschule Herleitung des ersten Fick'schen Gesetzes
schajan
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 08.01.2019
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-19


Ich versuche eine Herleitung des ersten Fick'schen Gesetzes nachzuvollziehen. Dafür betrachten wir einen dünnen Quader ausgedehnt in x-Richtung mit Höhe dz und Breite dy, also für ein konstantes x eine Fläche dA := dy*dz. Der Quader ist zudem unterteilt in viele kleine Teilquader der Länge (in x-Richtung) dx; die Konzentration der betrachteten Teilchen ist nur inhomogen in x-Richtung.
Im Modell verlassen alle Teilchen ihren Teilquader symmetrisch, das heisst ein Teilchen geht mit je Wahrscheinlichkeit 1/2 von x nach x+dx oder x-dx.
Betrachtet man den Fluss durch die Fläche zwischen zwei Teilquadern mit Zentrum x bzw x+dx wird man daher beobachten

\(J = J_{x->x+dx}-J_{x+dx->x} = \frac{1}{2} \frac{N_{x}-N_{x+dx}}{dA \cdot dt} = \frac{1}{2} \frac{(c_{x}-c_{x+dx})dA \cdot dx}{dA \cdot dt} \)

wobei

\(J_{x->x+dx}\) der Fluss vom Teilquader an der Stelle x zum Teilquader an der Stelle x+dx, \(N_x\) die Anzahl Teilchen im Teilquader, \(c_x\) die Konzetration. Kürzt man dA erhält man

\(J = \frac{dx}{2 \cdot dt} (c_{x} - c_{x+dx})\)

Das ist für mich alles nachvollziehbar. Jetzt aber kommt ein Schritt den ich nicht verstehe:

\(J = \frac{dx}{2 \cdot dt} (c_{x} - c_{x+dx}) = \frac{dx^2}{2 \cdot dt} \frac{c_{x} - c_{x+dx}}{dx} = -D \frac{dc}{dx}\)

wobei behauptet wird dass

\(D := \frac{dx^2}{2 \cdot dt}\)

konstant sei. Ich sehe keine Relation in dieser Herleitung zwischen dx und dt und verstehe deshalb nicht warum dieser Term konstant sein sollte.



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StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3321
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-20


Hallo schajan,
nach der Definition des Diffusionskoeffizienten D verstehe ich das so, dass danach der mittlere Fluss J betrachtet und dafür D als Mittelwert eingesetzt wird.

Viele Grüße,
  Stefan



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