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Mathematik » Geometrie » Gerade durch ein n-Eck ziehen. Lassen sich alle Verbindungsstrecken schneiden?
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Kein bestimmter Bereich J Gerade durch ein n-Eck ziehen. Lassen sich alle Verbindungsstrecken schneiden?
couran5
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-19


Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe aus dem Buch "Mathematisches Problemloesen und Beweisen" von Daniel Grieser.


Das Buch hat leider keine Loesungen. Deswegen wuerde ich gerne wissen, ob meine Ueberlegungen korrekt sind:

Die Verbindungsstrecken bilden offensichtlich ein n-Eck. Fuer n=1 und n=2 ist die Aussage wahr, aber bei n=3 versagt sie. Beweis: Angenommen die Gerade g schneidet das Dreieck in allen 3 Verbindungsstrecken, so muss sie einen Schnittpunkt mit <math>P_1P_2, P_2P_3</math> und <math>P_3P_1</math> haben. Da eine Gerade in der Ebene aber bereits durch 2 Punkte eindeutig bestimmt ist, muessen alle 3 Schnittpunkte auf einer Gerade liegen. Dies ist aber nur moeglich, wenn g gleich <math>P_1P_2, P_2P_3</math> oder <math>P_3P_1</math> ist, da nur in diesem Fall 3 Punkte der Verbindungsstrecken auf einer Gerade liegen, was aber laut den Voraussetzungen ein Widerspruch ist (wuerdet ihr das so hinnehmen oder habe ich hier das vorausgesetzt, was zu zeigen war? Bin mir hier irgendwie nicht sicher ...) , also kann die Gerade g nicht durch alle 3 Verbindungsstrecken gehen.
Angenommen n>3. Dann koennen wir das Dreieck aus n=3 dadurch erzeugen, dass wir von <math>P_3</math> zu <math>P_1</math> eine Verbindungsstrecke ziehen. Dann wissen wir ja bereits, dass die Aussage nicht gilt. q.e.d.

Ich "schneide" also etwas "ab", strenggenommen muesste ich ja dann beweisen, dass ich dadurch nicht die Moeglichkeit verliere, doch eine Gerade durch alle Verbindungsstrecken zu ziehen, oder? Wie kann man hier argumentieren?  Rein intiuitiv wuerde ich sagen, dass man sich das "Abschneiden" ja auch als "Geradebiegen" vorstellen kann, man also im Fall 1) bei einer Verbindungsstrecke landet, welche sowieso schon durch die Gerade <math>P_3P_1</math> dargestellt wird oder man im Fall 2) bei dem Punkt  <math>P_jP_{j+1}</math> landet, durch welchen die Gerade g sowieso nicht verlaufen darf. Wie beziehe ich das formal in den Beweis ein?

Vielen Dank schon mal im Voraus.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-19


Hallo couran5,

ich denke, du denkst hier etwas zu kompliziert. Ich habe gar nicht alles nachvollzogen, was du geschrieben hast. Einfacher ist doch folgendes.

Von den drei Punkten müssen zwei, sagen wir P1 und P2, auf einer Seite der Geraden liegen. Dann liegt aber die komplette Strecke von P1 nach P2 auf einer Seite der Geraden, kann die Gerade also nicht schneiden.

Wie sieht es für n > 3 aus?



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-01-19


Hi,
bei $n=1$ klappt es übrigens auch nicht.
Für $n=4$ schau dir mal das hier an  😉


Siehst du, wie man das auf allgemeines $n>3$ übertragen kann, welche Eigenschaft muss $n$ dazu haben?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-19


2019-01-19 17:45 - Kornkreis in Beitrag No. 2 schreibt:
bei $n=1$ klappt es übrigens auch nicht.

Hier haben wir eine Aussage über die Mitglieder der leeren Menge. Diese ist dann natürlich richtig.



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couran5
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-19


2019-01-19 17:31 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo couran5,

ich denke, du denkst hier etwas zu kompliziert. Ich habe gar nicht alles nachvollzogen, was du geschrieben hast. Einfacher ist doch folgendes.

Von den drei Punkten müssen zwei, sagen wir P1 und P2, auf einer Seite der Geraden liegen. Dann liegt aber die komplette Strecke von P1 nach P2 auf einer Seite der Geraden, kann die Gerade also nicht schneiden.

Wie sieht es für n > 3 aus?

Oh ich verstehe das ist ja tatsaechlich viel einfacher.
Fuer n > 3 ergibt sich dann ja, dass es 2 Punkte <math>P_jP_{j+1}</math> geben muss, welche auf einer Seite der Geraden liegen. Dann liegt aber auch deren Verbindungsstrecke auf einer Seite der Geraden und kann diese somit nicht schneiden.

2019-01-19 17:45 - Kornkreis in Beitrag No. 2 schreibt:
Hi,
bei $n=1$ klappt es übrigens auch nicht.
Für $n=4$ schau dir mal das hier an  😉


Siehst du, wie man das auf allgemeines $n>3$ übertragen kann, welche Eigenschaft muss $n$ dazu haben?

Ach na klar es steht ja nicht in den Voraussetzungen, dass sich die Verbindgunsstrecken untereinander nicht schneiden duerfen.

Ach und bei n=1 kann die Gerade ja nur durch <math>P_1</math> gehen.
Also meine Vermutung jetzt waere, dass es fuer n ungerade nicht funktioniert, weill ich dann ja zwangslaeufig ein Dreieck erhalte und die Argumentation von StrgAltEntf greift.
Bei n gerade allerdings kann ich dies vermeiden, indem ich <math>P_j</math> und <math>P_j+2</math> auf eine Seite der Gerade g bringe.

Vielen Dank an euch beide!  😁

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-19


@StrgAltEntf: Die Verbindungsstrecke von $P_1$ nach $P_1$ ist $P_1$ selbst, und damit kann es keine Gerade $g$ mit der gesuchten Eigenschaft geben.
Jetzt besteht also nur die Frage, ob die Verbindungsstrecke $P_1P_1$ zulässig ist. Das ist zwar aufgrund der "..."-Schreibweise der Aufgabenstellung nicht eindeutig, da aber nunmal explizit die Strecke $P_nP_1$ mit dazugehören soll und nur $n\in \mathbb{N}$ vorausgesetzt ist, würde ich sagen "ja". 😉

@couran5: Jetzt stimmt es! Das allerdings
2019-01-19 18:02 - couran5 in Beitrag No. 4 schreibt:
Also meine Vermutung jetzt waere, dass es fuer n ungerade nicht funktioniert, weill ich dann ja zwangslaeufig ein Dreieck erhalte und die Argumentation von StrgAltEntf greift.
müsstest du noch präzisieren, denn ein Dreieck aus drei der vorgegebenen Punkten ist ja nicht enthalten (nur bei $n=3$ oder wenn Punkte auf einer Linie liegen).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-01-19


2019-01-19 18:08 - Kornkreis in Beitrag No. 5 schreibt:
@StrgAltEntf: Die Verbindungsstrecke von $P_1$ nach $P_1$ ist $P_1$ selbst, und damit kann es keine Gerade $g$ mit der gesuchten Eigenschaft geben.

Hast recht! Das "sowie \(P_nP_1\)" in der Aufgabe hatte ich nicht berücksichtigt.



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couran5
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-19


@Kornkreis
Also ich habe mir das so vorgestellt, dass man dann bei deiner Grafik <math>P_5</math> mit <math>P_6</math> ersetzt und <math>P_5</math> dann zwischen <math>P_4</math> und <math>P_6</math> setzt und dann ja ein Dreieck erhaelt, aber ja das ist nicht ganz richtig, jetzt sehe ich das auch. Allgemein wuerde ich so argumentieren:
Sei n ungerade. Verbindet man die Punkte <math>P_{n-2}</math>, <math>P_{n-1}</math> und <math>P_n</math> (oBdA <math>P_{n-1}</math> mittig), so darf g ja nicht durch <math>P_{n-1}</math> gehen, also sind entweder <math>P_{n-2}</math> und <math>P_{n-1}</math> oder <math>P_{n-1}</math> und <math>P_n</math> auf einer Seite von g und damit auch <math>P_{n-2}P_{n-1}</math> oder <math>P_{n-1}P_n</math> auf einer Seite von g und koennen daher nicht geschnitten werden.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-01-19


2019-01-19 18:33 - couran5 in Beitrag No. 7 schreibt:
Sei n ungerade. Verbindet man die Punkte <math>P_{n-2}</math>, <math>P_{n-1}</math> und <math>P_n</math> (oBdA <math>P_{n-1}</math> mittig), so darf g ja nicht durch <math>P_{n-1}</math> gehen, also sind entweder <math>P_{n-2}</math> und <math>P_{n-1}</math> oder <math>P_{n-1}</math> und <math>P_n</math> auf einer Seite von g und damit auch <math>P_{n-2}P_{n-1}</math> oder <math>P_{n-1}P_n</math> auf einer Seite von g und koennen daher nicht geschnitten werden.

Hier hast du ja gar nicht ausgenutzt, dass $n$ ungerade ist, also kann diese Argumentation nicht stimmen. Z.B. liegen oben in meiner Skizze für $n=4$ die Punkte $P_{n-2}$ und $P_n$ auf einer Seite der Geraden und $P_{n-1}$ auf der anderen Seite.
Übrigens kann man "oBdA <math>P_{n-1}</math> mittig" nicht voraussetzen, wenn die drei Punkte auf einer Linie liegen.



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couran5
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-19


Ach ich habe nicht daran gedacht, dass ich <math>P_{n}</math> ja wieder mit <math>P_{1}</math> verbinden muss.
(Ich habe in Gedanken <math>P_{n-2}</math> mit <math>P_{n}</math> verbunden)

Neuer Beweis:
Sei n ungerade. Dann liegt <math>P_{n}</math> auf der selben Seite der Geraden g wie alle <math>P_{j=2m+1}</math> (<math>m \in N_0</math>) und damit insbesondere auf der selben Seite von g wie <math>P_{1}</math>. Zieht man nun die Verbindungslinie <math>P_{n}P_1</math> so liegt diese ja auch auf dieser Seite von g und wird daher nicht geschnitten. q.e.d.



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-01-19


Jep !  😉



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-03-22


Hallo!

Ich würde die Frage gerne nochmals aufgreifen, weil ich sie auch gerade bearbeitet habe.

Mich würde vor allem interessieren, ob meine Formulierung als ein wirklicher Beweis (auch sprachlich, z.B. wg. Alltagssprache) taugt (oder wo noch Lücken wären).

Anschließend möchte ich, nur um besser beweisen zu lernen, den Beweis von couran5 kritisieren.

Beweis: Lege eine Gerade in die Ebene. Verteile alle (von 1 bis n, für n ∈ ℕ, durchnummerierten) Punkte derart in der Ebene, daß sich alle Punkte mit ungerader Nummer auf der einen und alle Punkte mit gerader Nummer auf der anderen Seite der Geraden befinden. Verbinde alle Punkte mit ihren jeweiligen Nachbarpunkten und die Verbindungslinien müssen die Gerade schneiden (Bsp. 2 rechts zu 3 links zu 4 rechts usw.).
Nun betrachte den Punkt mit der höchsten Nummer. Nur wenn diese geradzahlig ist, liegt der Punkt nicht auf der gleichen Seite der Geraden wie der Punkt mit der Nummer eins und ihre Verbindungslinie wird die Gerade deshalb schneiden. (Bsp.: die rechte 6 mit der linken 1). Bei einer ungeraden Anzahl von Punkten kann das nicht der Fall sein (Bsp.: die linke 5 mit der linken 1). q.e.d.

Kritik: Ist es wirklich möglich (und wenn, wie?), aus dem Beweis von couran5 herauszulesen, wo Pn und alle Pj=2m+1 auf der Ebene verteilt sind?

Viele Grüße,

minusphalbe



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-03-22


Hi minusphalbe,
zunächst zu deinem Beweis:

Dass es für gerades $n$ klappt, kann man hier durch Angabe einer geeigneten Konfiguration der Punkte zeigen, nämlich alternierend auf der einen bzw. anderen Seite einer Geraden $g$; diese ist dann zugleich die gesuchte Gerade.

Um aber zu zeigen, dass es für ungerades $n$ nicht klappt, müsste man prinzipiell mit einer allgemeinen Konfiguration der Punkte anfangen und dann durch Überlegung spezifizieren, welche Konfiguration nur in Frage kommt. Dein

Verteile alle [...] Punkte derart in der Ebene, [...]

ist hier also nicht angebracht. Stattdessen müsste es heißen: Falls so eine Gerade existiert, müssten die Punkte derart in der Ebene verteilt sein, dass ...

Auch deine Beispiele im Beweis sind mE nicht hilfreich, sondern stören eher, ich würde sie weglassen.

Der Beweis von couran5 ist schon richtig, wenn auch sehr knapp gefasst. Ich würde ihn wie folgt erweitern/abändern (wesentliche Änderungen fett geschrieben):

Sei $n$ ungerade und angenommen, so eine Gerade $g$ existiert. Dann muss $P_{n}$ auf derselben Seite der Geraden $g$ wie alle $P_{j=2m+1}$ ($m \in \{0,...,(n-1)/2\}$) liegen (damit für jedes $i\in \{1,...,n-1\}$ die Punkte $P_i$, $P_{i+1}$ auf jeweils verschiedenen Seiten von $g$ liegen können, was nötig ist, damit $g$ die entsprechenden Verbindungslinien schneiden kann) und damit insbesondere auf der selben Seite von g wie $P_{1}$. Zieht man nun die Verbindungslinie $P_{n}P_1$ so liegt diese dann auch auf dieser Seite von $g$ und wird daher nicht geschnitten. q.e.d.

In diesem Beweis wird gezeigt, dass die Punkte mit ungeradem Index auf derselben Seite der Geraden liegen müssen; die Punkte mit geradem Index werden nur betrachtet, um ebendies zeigen zu können.



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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-03-22


Hallo Kornkreis!

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Im Moment habe ich noch etwas Schwierigkeiten damit, sie zu verstehen.

Wenn es recht ist, würde ich nach einiger Zeit nochmal dazu eine Frage stellen.

Wollte mich nur schon mal bedanken.

Viele Grüße,

minusphalbe



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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-03-23


Hallo Kornkreis!

Meine Antwort hat etwas gedauert, weil ich versucht habe, deine Anmerkungen für mich zu übersetzen. Und sie ist leider etwas größer ausgefallen - ich hätte Verständnis, wenn du dir das nicht antun möchtest.


Verteile alle [...] Punkte derart in der Ebene, [...]
ist hier also nicht angebracht.

Bedeutet das: wenn ich die Punkte vorab verteile und am Ende sehe, daß die Gerade leider nicht alle Verbindungslinien schneidet, könnte es ja sein, daß evtl. eine andere Verteilung der Punkte erfolgreicher gewesen wäre. ?

Auch deine Beispiele im Beweis sind mE nicht hilfreich, sondern stören eher, ich würde sie weglassen.

O.k., ich habe schon davon gehört, daß Beispiele in mathematischen Beweisen nicht so gern gesehen sind und schreib’s mir hinter die Ohren ;-)

Sei $n$ ungerade und angenommen, so eine Gerade $g$ existiert.

(Ist das ein Widerspruchsbeweis?) Bei mir existiert eine Gerade, weil ich sie vorab „in die Ebene gelegt“ habe. Damit kann ich nur noch zeigen, daß genau diese Gerade nicht die Eigenschaften hat, alle Verbindungslinien zu schneiden. Aber vielleicht gibt es ja eine andere Gerade, die das kann, die aber in meinem Beweis nicht berücksichtigt wird.

Was kann ‚schief gehen‘, wenn man statt „alle $P_{j=2m+1}$ (m∈{0,...,(n−1)/2})“ einfach schreibt: alle Punkte mit ungerader Nummerierung?

Ich sollte besser den Ausdruck  $P_i$, $P_{i+1}$ benutzen als ‚benachbart‘ zu schreiben, denn vielleicht meint benachbart nicht 1, 2, 3, …, n sondern 1, 3, 5, …, n, oder?

Zum Schluß ein letzter Versuch: (Meine Absicht war es, den Beweis so anschaulich zu schreiben, wie Richard Feynman manchmal physikalische Themen erklärt hat. Vielleicht kann man eine Beweisidee noch anschaulich erläutern, müßte aber zu viele Wörter benutzen (wenn es sie denn gibt), um präzise genug zu bleiben.)

Angenommen es gibt eine Gerade $g$, die alle Verbindungslinien $P_1$$P_2$, $P_2$$P_3$, $P_3$$P_4$, … $P_n$$P_1$ schneidet und angenommen, $n$ ist ungerade. Die Gerade $g$ teilt dann die Ebene in zwei Gebiete auf und $P_n$ muß zusammen mit allen anderen Punkten ungerader Nummerierung in ein und demselben Gebiet liegen und alle Punkte mit gerader Nummerierung im anderen Gebiet, damit die entsprechenden Verbindungslinien von der Geraden geschnitten werden. Damit liegt $P_n$ aber im selben Gebiet wie $P_1$ und deshalb wird $P_n$$P_1$ nicht von $g$ geschnitten. Ist dagegen $n$ gerade, schneidet $g$ alle Verbindungslinien, sofern die Punkte wie oben beschrieben angeordnet werden.

Viele Grüße,

minusphalbe







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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-03-24


Hi minusphalbe,

Bedeutet das: wenn ich die Punkte vorab verteile und am Ende sehe, daß die Gerade leider nicht alle Verbindungslinien schneidet, könnte es ja sein, daß evtl. eine andere Verteilung der Punkte erfolgreicher gewesen wäre. ?

Genau.

O.k., ich habe schon davon gehört, daß Beispiele in mathematischen Beweisen nicht so gern gesehen sind und schreib’s mir hinter die Ohren ;-)

Das stimmt so nicht, an geeigneten Stellen gegebene Beispiele oder weiterführende Erläuterungen in Beweisen können mitunter die Lesbarkeit deutlich erhöhen. Vor allem an schwierigen oder unübersichtlichen Stellen, z.B. wenn gerade viel mit Indizes herumhantiert wird.
Bei deinem Beweis kamen mir die Beispiele hinderlich vor, weil sie nicht präzise und anschaulich waren, sodass das Verstehen der Beispiele insgesamt nicht Zeit sparen sondern Zeit kosten würde. So schriebst du

"Verbinde alle Punkte mit ihren jeweiligen Nachbarpunkten und die Verbindungslinien müssen die Gerade schneiden (Bsp. 2 rechts zu 3 links zu 4 rechts usw.)."

Hier ist nicht klar, was links und rechts ist, sowie was 2,3,4 bedeutet (gemeint war $P_2$ etc.). Außerdem hätte das Beispiel besser direkt nach "Verbinde alle Punkte mit ihren jeweiligen Nachbarpunkten" kommen sollen und nicht nach "Gerade schneiden".



(Ist das ein Widerspruchsbeweis?) Bei mir existiert eine Gerade, weil ich sie vorab „in die Ebene gelegt“ habe. Damit kann ich nur noch zeigen, daß genau diese Gerade nicht die Eigenschaften hat, alle Verbindungslinien zu schneiden. Aber vielleicht gibt es ja eine andere Gerade, die das kann, die aber in meinem Beweis nicht berücksichtigt wird.

Ja, es ist ein Widerspruchsbeweis, weil ich annehme, dass es eine Punktkonfiguration gibt, für die so eine Gerade existiert, und daraus einen Widerspruch herleite. Im Übrigen könnte man die Gerade sogar an einen ganz bestimmten "Platz" legen, z.B. könnte man die Ebene mit einem kartesischen Koordinatensystem ausstatten und die Gerade auf die x-Achse legen. Das liegt daran, dass sich der Wahrheitsgehalt der Aussage nicht ändert, wenn man die gesamte Anordnung aus Punkten und Gerade verschiebt oder dreht. Die Aussage ist also genau dann widerlegt, wenn sie für die spezielle Wahl der Gerade auf der x-Achse widerlegt wird.

Was kann ‚schief gehen‘, wenn man statt „alle $P_{j=2m+1}$ (m∈{0,...,(n−1)/2})“ einfach schreibt: alle Punkte mit ungerader Nummerierung?

Nichts, das kannst du so schreiben


Ich sollte besser den Ausdruck  $P_i$, $P_{i+1}$ benutzen als ‚benachbart‘ zu schreiben, denn vielleicht meint benachbart nicht 1, 2, 3, …, n sondern 1, 3, 5, …, n, oder?

Ja, benachbart könnte irgendwas meinen, das wäre hier nicht klar. Man könnte aber sowas wie "Punkte mit aufeinanderfolgenden Indizes" verwenden.

Angenommen es gibt eine Gerade $g$, die alle Verbindungslinien $P_1$$P_2$, $P_2$$P_3$, $P_3$$P_4$, … $P_n$$P_1$ schneidet und angenommen, $n$ ist ungerade. Die Gerade $g$ teilt dann die Ebene in zwei Gebiete auf und $P_n$ muß zusammen mit allen anderen Punkten ungerader Nummerierung in ein und demselben Gebiet liegen und alle Punkte mit gerader Nummerierung im anderen Gebiet, damit die entsprechenden Verbindungslinien von der Geraden geschnitten werden. Damit liegt $P_n$ aber im selben Gebiet wie $P_1$ und deshalb wird $P_n$$P_1$ nicht von $g$ geschnitten. Ist dagegen $n$ gerade, schneidet $g$ alle Verbindungslinien, sofern die Punkte wie oben beschrieben angeordnet werden.

Das passt!



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minusphalbe
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Hallo Kornkreis!

Vielen Dank für deine Geduld und Mühe!

Ich glaube, durch diese Lektion konnte ich einiges lernen.

Viele Grüße,

minusphalbe



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