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Analysis » Ungleichungen » Äquivalente Bedingungen für Ungleichung?
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Universität/Hochschule Äquivalente Bedingungen für Ungleichung?
digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-22


$a_i>0$ und $x_i,y_i \in \IR$. Wenn
$$
\sum_{i=1}^n x_i^2 = 1 \qquad \text{und} \qquad \sum_{i=1}^n x_i y_i = 0
$$
dann gilt
$$
\left(\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{a_i}\right) \left( \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_i a_j \left(x_iy_j - x_j y_i\right)^2 \right) \geq \sum_{i=1}^n a_i y_i^2 \, .
$$

Mit folgenden Umformungen hat man aber auch
$$
\left(\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{a_i}\right) \left( \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_i a_j \left(x_iy_j - x_j y_i\right)^2 \right) \\
=\frac{1}{2} \left(\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{a_i}\right) \left( \sum_{i,j=1}^n a_i a_j \left(x_i y_j - x_j y_i\right)^2 \right) \\
=\left(\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{a_i}\right) \left( \sum_{i,j=1}^n a_i a_j \left(x_i^2 y_j^2 - x_i y_i x_j y_j\right) \right) \\
\geq \sum_{i=1}^n a_i y_i^2 - \left(\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{a_i}\right) \left( \sum_{j=1}^n a_j x_j y_j \right)^2
$$
wobei im letzten Schritt CS und die Normierung benutzt wurde. Alternativ gilt die obige Ungleichung also auch, falls
$$
\sum_{j=1}^n a_j x_j y_j = 0 \, .
$$
Mir ist irgendwie nicht so ganz klar ob das Zufall ist, oder inwiefern diese Implikationen
$$
\sum_{i=1}^n x_i y_i = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \sum_{i=1}^n a_i x_i y_i = 0
$$
äquivalent sind zumal ich auch nicht auf den Beweis der ursprünglichen Aussage komme :-(. Hat jemand einen parat?



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tox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-23


Die Implikation
\[
\sum_{i=1}^n x_i y_i = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \sum_{i=1}^n a_i x_i y_i = 0
\] gilt nicht. Die eine Aussage ist, dass die Vektoren $(x_1,\dots,x_n)$ und $(y_1,\dots,y_n)$ orthogonal sind, und die andere ist, dass $(x_1,\dots,x_n)$ und $(a_1y_1,\dots,a_ny_n)$ orthogonal sind. Dies gilt im Allgemeinen nur falls $a_1 = \cdots = a_n$.



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-23


Ja aber (bin mir zwar nicht 100% sicher, da mir für ersteren Teil ein Beweis fehlt) beide Bedingungen scheinen gleichermaßen auf die Ungleichung zu führen. Das ist das worauf ich hinaus wollte, dass beide Bedingungen für die Ungleichung äquivalent sind.



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tox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-23


Hmmm, folgendes Beispiel mit $|x| = 1$, $a_i > 0$ und $\sum a_ix_iy_i = 0$ scheint die Ungleichung
\[
\left(\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{a_i}\right) \left( \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_i a_j \left(x_iy_j - x_j y_i\right)^2 \right) \geq \sum_{i=1}^n a_i y_i^2
\] aber nicht zu erfüllen (vorausgesetzt ich habe richtig gerechnet). Sei $n=2$, $x_1 = x_2 = 1/\sqrt{2}$, $y_1 = 10$, $y_2 = -1$, $a_1 = 1$, $a_2 = 10$.



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-23


Ich bekomm jeweils [332.7500000, 100.1000000] für die linke und rechte Seite, also stimmt das doch. Insbesondere seh ich nicht was an dem Beweis oben nicht stimmen sollte.



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tox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-23


Sorry, habe falsch gerechnet. Ich glaube die Ungleichung stimmt tatsächlich unter der Voraussetzung, dass $\sum a_ix_iy_i = 0$ gilt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-23


Findest du ein Gegenbeispiel für den Fall wo nur $\sum_{i=1}^n x_i y_i = 0 $?



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tox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-01-23


Ich glaube ich hab einen geometrischen Beweis. Habe nicht versucht ihn analytisch umzuformulieren. Betrachte die Vektoren $x' = (\sqrt{a_1}x_1,\dots,\sqrt{a_n}x_n)$, $y' = (\sqrt{a_1}y_1,\dots,\sqrt{a_n}y_n)$ und $x'' = (\tfrac{1}{\sqrt{a_1}}x_1,\dots,\tfrac{1}{\sqrt{a_n}}x_n)$. Wir nehmen an, dass $x \neq 0$ und $y \neq 0$.

Die Fläche des Parallelogrammes aufgespannt durch zwei Vektoren $v,w \in \mathbb R^n$ ist die nicht-negative Zahl $\operatorname{Area}(v,w)$ bestimmt durch die Gleichung
\[
\operatorname{Area}(v,w)^2 = \sum_{1 \leq i < j \leq n}(v_iw_j - v_jw_i)^2 \ .
\] Dies kennt man als höherdimensionales Pythagoras Theorem. Man kann zeigen, dass $\operatorname{Area}$ folgende Eigenschaften hat: Für $v,w \in \mathbb R^n$ und $\lambda \in \mathbb R$ gilt:
(1) $\operatorname{Area}(v,w) = \operatorname{Area}(w,v)$.
(2) $\operatorname{Area}(\lambda v,w) = |\lambda|\operatorname{Area}(v,w)$.
(3) $\operatorname{Area}(v + \lambda w,w) = \operatorname{Area}(v,w)$. (Insbesondere ist $\operatorname{Area}(w,w) = 0$)
(4) $\operatorname{Area}(\pi v,\pi w) \leq \operatorname{Area}(v,w)$ falls $\pi : \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ eine orthogonale Projektion auf einen Teilraum von $\mathbb R^n$ ist.
(5) $\operatorname{Area}(v,w) = |v||w|$ falls $v$ und $w$ orthogonal sind, i.e. $v \perp w$.

Die Ungleichung die wir beweisen wollen ist äquivalent zu
\[
|x''|\operatorname{Area}(x',y') \geq |y'| \ .
\] Betrachte nun die orthogonale Projektion $\pi$ von $\mathbb R^n$ auf den Teilraum aufgespannt durch $x''$ und $y'$. Nach Voraussetzung ist $x'' \perp y'$ (weil $x \perp y$) und es gilt
\[
\pi v = \langle v, x''\rangle \frac{x''}{|x''|^2} + \langle v, y'\rangle \frac{y'}{|y'|^2} \ .
\] Bemerke, dass $\pi y' = y'$ und
\[
\pi x' = \langle x', x''\rangle \frac{x''}{|x''|^2} + \langle x', y'\rangle \frac{y'}{|y'|^2} = \frac{x''}{|x''|^2} + \lambda y'
\] für ein $\lambda \in \mathbb R$ (hier haben wir verwendet, dass $\langle x', x''\rangle = \langle x, x\rangle = 1$). Mit den Eigenschaften (1)-(5) haben wir nun
\[
\operatorname{Area}(x',y') \geq \operatorname{Area}(\pi x',\pi y') = \operatorname{Area}\left(\tfrac{x''}{|x''|^2} + \lambda y',y'\right) = \tfrac{1}{|x''|^2}\operatorname{Area}(x'',y') = \tfrac{1}{|x''|^2}|x''||y'| = \tfrac{|y'|}{|x''|} \ .
\] Dies ist genau was wir zeigen wollten. Des Weiteren folgt daraus auch, dass Gleichheit genau dann gilt falls $\pi x' = x'$ (weiss nicht was dies für die Koeffizienten $a_i$ genau bedeutet).

Woher hast du diese Ungleichung? Die gefällt mir gut...



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digerdiga
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1345
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-25


Danke dafür. Verhältnismäßig lang verglichen zum anderen Beweis, aber der geometrische Aspekt gefällt mir. Wie bist darauf gekommen? Die 5 Punkte über die Formel der Fläche stehen da als wären sie einem Buch entnommen ;)


Wie das genau mit der anderen Version ($\sum_i a_i x_i y_i=0$) zusammenhängt kann ich auch nicht sagen; Vielleicht ist es auch wirklich nur Zufall.

Auch habe ich den Link nicht mehr, aber irgendjemand hatte das bei Quora gepostet.



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tox
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 02.08.2003
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Aus: Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-01-26 09:33


Ich versuchte natürlich zuerst die Ungleichung mit Cauchy-Schwarz zu erschlagen. Aber das hat nicht so geklappt. Die Doppelsumme erkannte ich als die Fläche des Parallelogrammes. Flächenbegriffe sind Teil meines Forschungsgebietes deshalb kenne ich diese relativ gut. Der Rest kam dann irgendwie durch herumspielen.



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