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Universität/Hochschule Stetigkeit abschnittsweise definierter Funktion
Kaffetasse
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-03


Hallo,
ich lese gerade, dass diese Funktion nicht rechtseitig stetig ist:
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x, & 0 \leq x \leq 1  \\
         1, & x > 1\end{array}\right. .
$$
diese hier aber schon:
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x, & 0 \leq x < 1  \\
         1, & x \geq 1\end{array}\right. .
$$
Warum ?



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-03


Huhu Kaffetasse,

wo liest Du denn sowas? Stehen da auch Börsentipps und Horoskope?

Die "beiden" Funktionen sind erstens identisch und zweitens stetig, also insbesondere auch rechtsstetig.

lg, AK.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-02-04


Vielleicht liest Kaffetasse etwas mit konstruktiver Mathematik. A priori haben die solchermaßen definierten Funktionen dann jedenfalls nicht mal den selben Definitionsbereich.

Ergänzungsedit zwecks Erklärung: Klassisch ist mit beiden Definitionen wohl eine Funktion $\IR^{\geq 0} \to \IR$ gemeint. Konstruktiv liefert die eine Definition aber eine Funktion $\{x \in \IR^{\geq 0} \mid x \leq 1 \lor x > 1\} \to \IR$, und die andere eine Funktion $\{x \in \IR^{\geq 0} \mid x < 1 \lor x \geq 1\} \to \IR$.



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-05


@tt: Ich wäre mir recht sicher, dass nicht dieser Unterschied gemeint ist; aber selbst wenn - inwiefern wirkt sich das auf die Rechtsstetigkeit aus? ak.



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-02-05


@tt Es wäre nett, wenn Du den Unterschied der beiden Mengen
$\{x \in \IR^{\geq 0} \mid x \leq 1 \lor x > 1\}$ und
$\{x \in \IR^{\geq 0} \mid x < 1 \lor x \geq 1\}$
hier erklären könntest.
Orthonom





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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-02-05


2019-02-05 02:08 - AnnaKath in Beitrag No. 3 schreibt:
@tt: Ich wäre mir recht sicher, dass nicht dieser Unterschied gemeint ist; aber selbst wenn - inwiefern wirkt sich das auf die Rechtsstetigkeit aus? ak.
Das dürfte von der genauen Definition abhängen.

2019-02-05 07:36 - Orthonom in Beitrag No. 4 schreibt:
@tt Es wäre nett, wenn Du den Unterschied der beiden Mengen
$\{x \in \IR^{\geq 0} \mid x \leq 1 \lor x > 1\}$ und
$\{x \in \IR^{\geq 0} \mid x < 1 \lor x \geq 1\}$
hier erklären könntest.
Benennen wir die mal:
$A := \{x \in \IR^{\geq 0} \mid x \leq 1 \lor 1 < x\}$ und
$B := \{x \in \IR^{\geq 0} \mid x < 1 \lor 1 \leq x\}$.

Um z.B. $A \subseteq B$ zu zeigen, wäre erforderlich $\forall x\in\IR^{\geq 0}.\ 1 < x \implies x < 1 \lor 1 \leq x$ zu zeigen (was geht), sowie $\forall x\in\IR^{\geq 0}.\ x \leq 1 \implies x < 1 \lor 1 \leq x$ (was konstruktiv nicht geht: Wenn ich mich nicht irre, könnte man, wenn diese Aussage gilt, zusammen mit ein paar anderen Eigenschaften, die $\IR$ normalerweise haben soll, den Satz vom ausgeschlosssenen Dritten beweisen).
Ein Unterschied in Form eines Elements von $A$, das nicht Element von $B$ ist (oder andersrum) existiert aber nicht. Man kann sogar zeigen, dass es überhaupt kein Element von $\IR^{\geq 0}$ gibt, das nicht Element von $B$ ist.



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-02-06


Hallo tactac,

vielen Dank für Deine Antwort.

Um das Ganze zu verstehen, müßte man sich also
mit konstruktiver Mathematik beschäftigen und
diese gut verstanden haben. Das habe ich bisher nicht
getan und alles was ich darüber weiß, ist oberflächlich.

Es ist deshalb für mich auch schwer nachzuvollziehen,
was Du genau meinst.

Sind beide Mengen A und B konstruierbar?


Ein Unterschied in Form eines Elements von $A$, das nicht Element von $B$ ist (oder andersrum) existiert aber nicht. Man kann sogar zeigen, dass es überhaupt kein Element von $\IR^{\geq 0}$ gibt, das nicht Element von $B$ ist.

Verstehe nicht, was Du damit sagen willst.

Viele Grüße,
Orthonom





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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-02-06


2019-02-06 08:19 - Orthonom in Beitrag No. 6 schreibt:
Hallo tactac,

vielen Dank für Deine Antwort.

Um das Ganze zu verstehen, müßte man sich also
mit konstruktiver Mathematik beschäftigen und
diese gut verstanden haben.
Wäre hilfreich.

Das habe ich bisher nicht
getan und alles was ich darüber weiß, ist oberflächlich.

Es ist deshalb für mich auch schwer nachzuvollziehen,
was Du genau meinst.

Sind beide Mengen A und B konstruierbar?
Von konstruierbaren Mengen spreche ich nicht. $A$ und $B$ sind "ganz normale", durch ein Prädikat definierte Teilmengen von $\IR^{\geq 0}$.
Allgemein: Wenn $S = \{x \in X \mid P(x)\}$, dann für alle $x\in X$: $x \in S$ gdw. $P(x)$.


Ein Unterschied in Form eines Elements von $A$, das nicht Element von $B$ ist (oder andersrum) existiert aber nicht. Man kann sogar zeigen, dass es überhaupt kein Element von $\IR^{\geq 0}$ gibt, das nicht Element von $B$ ist.

Verstehe nicht, was Du damit sagen willst.
Man kann zeigen: $\lnot \exists x\in \IR^{\geq 0}. x \notin A$ (und analoges mit $B$). Daraus folgt jedoch weder $\IR^{\geq 0} \subseteq A$ noch $B \subseteq A$.



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-02-07


Vielen Dank tactac,

aber ich werde nicht ganz schlau daraus (was aber nicht schlimm ist).
Was mich beschäftigt hat war, warum es in der konstruktiven
Mathematik sinnvoll scheint, beide Mengen mit etwas unterschiedlich formulierten, aber äquivalenten Prädikaten hinzuschreiben,
obwohl in der auf dem Axiomensystem ZFC basierenden Mathematik $A=B$ gilt.
Vielleicht wolltest Du mit Deinen letzten zwei Zeilen sagen:
In der konstruktiven Mathematik kann man zwar zeigen, dass
$\lnot \exists x\in \IR^{\geq 0}. x \notin A$ gilt, aber nicht $ \forall x\in \IR^{\geq 0}. x \in A$ und
letztendlich kann man mittels konstruktiver Mathematik auch nicht $A=B$ zeigen?


Grüsse,
Orthonom



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-02-07


2019-02-07 09:10 - Orthonom in Beitrag No. 8 schreibt:
Vielen Dank tactac,

aber ich werde nicht ganz schlau daraus (was aber nicht schlimm ist).
Was mich beschäftigt hat war, warum es in der konstruktiven
Mathematik sinnvoll scheint, beide Mengen mit etwas unterschiedlich formulierten, aber äquivalenten Prädikaten hinzuschreiben,
obwohl in der auf dem Axiomensystem ZFC basierenden Mathematik $A=B$ gilt.
Man kann eigentlich nicht sagen, dass die Prädikate äquivalent sind.
Wieso konstruktive Mathematik sinnvoll ist, kann man z.B. an einigen Stellen hier nachlesen.

Vielleicht wolltest Du mit Deinen letzten zwei Zeilen sagen:
In der konstruktiven Mathematik kann man zwar zeigen, dass
$\lnot \exists x\in \IR^{\geq 0}. x \notin A$ gilt, aber nicht $ \forall x\in \IR^{\geq 0}. x \in A$ und
letztendlich kann man mittels konstruktiver Mathematik auch nicht $A=B$ zeigen?
Ja, man kann $A=B$ nicht zeigen, weil die Prädikate eben nicht als äquivalent nachgewiesen werden können.



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-02-07


Hallo tactac,

vielen Dank nochmals, auch für den Link auf das paper.

Auch wenn ich das paper noch nicht gelesen habe,
glaube ich nun einigermaßen einordnen zu können,
was Du geschrieben hast.

In der ZFC-Mathematik gilt natürlich die Äquivalenz
der beiden Prädikate.
In der konstruktiven Mathematik kann man allerdings
auf Grund der nur beschränkt akzeptierten bzw.
zugelassenen Mittel, keine Aussage zur Äquivalenz machen,
d.h. weder nachweisen, dass die Äquivalenz gilt, noch
dass sie nicht gilt.

Die Existenz von Mengen (Elementen) der konstruktiven Mathematik
scheint für manche Menschen natürlicher zu sein, als die
Existenz von Mengen (Elementen), die man mit Hilfe der ZFC-Mathematik
zeigen kann. Ich glaube aber, dass man an der Existenz
von Mengen (Elementen) der konstruktiven Mathematik genau so
berechtigt zweifeln könnte.
Der Mensch ist an die konstruktiven Regeln aus dem "Alltag"
nur mehr gewöhnt und hegt deshalb weniger Mißtrauen.

Gefallen kann man auch daran finden, wenn der Boden nicht
holprig ist, auf dem man sich bewegt oder wenn man nicht mit eckigen
Rädern fährt, obwohl man auch kreisförmige zur Verfügung hat
(zumindest in der Abstraktion).
Aber vielleicht sind das alles lauter Weicheier...

Viele Grüße,
Orthonom











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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-02-08


2019-02-07 15:06 - Orthonom in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo tactac,

vielen Dank nochmals, auch für den Link auf das paper.

Auch wenn ich das paper noch nicht gelesen habe,
glaube ich nun einigermaßen einordnen zu können,
was Du geschrieben hast.

In der ZFC-Mathematik gilt natürlich die Äquivalenz
der beiden Prädikate.
Ja.

In der konstruktiven Mathematik kann man allerdings
auf Grund der nur beschränkt akzeptierten bzw.
zugelassenen Mittel, keine Aussage zur Äquivalenz machen,
d.h. weder nachweisen, dass die Äquivalenz gilt, noch
dass sie nicht gilt.
Zusätzlich kann man aber zeigen, dass es kein Gegenbeispiel für die Äquivalenz gibt, also ein Element, das das eine Prädikat erfüllt und das andere nicht.

Die Existenz von Mengen (Elementen) der konstruktiven Mathematik
scheint für manche Menschen natürlicher zu sein, als die
Existenz von Mengen (Elementen), die man mit Hilfe der ZFC-Mathematik
zeigen kann. Ich glaube aber, dass man an der Existenz
von Mengen (Elementen) der konstruktiven Mathematik genau so
berechtigt zweifeln könnte.
Man kann alles bezweifeln. Hier geht es aber nicht um Philosophie, sondern um Logik.

Der Mensch ist an die konstruktiven Regeln aus dem "Alltag"
nur mehr gewöhnt und hegt deshalb weniger Mißtrauen.
Es ist eher so, dass die reichhaltigere Sprache konstruktiver Mathematik ziemlich direkt auch auf den "Alltag" anwendbar ist, während die verarmte Sprache, die auf klassischer Logik basiert und vorschnell unbrauchbare Äquivalenzen annimmt, dies höchstens mit viel Mühe seitens des Anwenders gestattet (er baut per Hand ihm wichtige Unterscheidungen nach).

Gefallen kann man auch daran finden, wenn der Boden nicht
holprig ist, auf dem man sich bewegt oder wenn man nicht mit eckigen
Rädern fährt, obwohl man auch kreisförmige zur Verfügung hat
(zumindest in der Abstraktion).
Aber vielleicht sind das alles lauter Weicheier...
Naja, Leute, die mit runden Rädern unholprig unterwegs sein wollen, sind vielleicht keine Weicheier, aber ca. 99% der Welt bleibt ihnen verwehrt.



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-02-12


Hallo tactac,

Dein Hinweis auf die Nichtexistenz eines Gegenbeispiels für die Äquivalenz
ist beachtenswert.

Es ist durchau eine philosophische Frage,
warum die Existenz potentiell unendlicher Mengen (konstruktive Mathematik)
manchen Menschen leichter zugänglich scheint, als die Existenz
aktual unendlicher Mengen (deskriptive Mathematik, ZFC-Mengenlehre)
und hierzu gibt es unendlich viele Beiträge.
Es kann nicht schaden, sich selbst zu hinterfragen, an was man glaubt oder woran man zweifelt und warum man das tut.
Kann man sich allein durch Logik solchen Fragen entziehen?

Viele Grüße,
Orthonom



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-02-12


Konstruktive Mathematik hat kein Problem mit der Existenz aktual unendlicher Mengen.
Dass Menschen konstruktive Mathematik für leichter zugänglich halten, halte ich auch für etwas abwegig. Was man konstruktiv so beweisen kann (und darum sollte es doch v.a. gehen, oder nicht?) ist doch allgemeingültiger, und zumindest das Beweisen sollte dann ja i.A. schwieriger sein. Ein Analogon: Manche Sätze über Halbgruppen haben nur recht komplizierte Beweise, sind aber trivial zu beweisen, wenn man sie als Aussagen über Gruppen uminterpretiert. Beispiel: "In Halbgruppen, die inverse Halbgruppen sind, kommutieren idempotente Elemente".
2019-02-12 10:21 - Orthonom in Beitrag No. 12 schreibt:
und hierzu gibt es unendlich viele Beiträge.
Offensichtlich falsch.
2019-02-12 10:21 - Orthonom in Beitrag No. 12 schreibt:
Es kann nicht schaden, sich selbst zu hinterfragen, an was man glaubt oder woran man zweifelt und warum man das tut.
Kann man sich allein durch Logik solchen Fragen entziehen?
Ja, man kann sich entziehen. Man fragt sich eben nicht "Wie sollte die eine Welt denn aussehen, an die alle glauben sollen, weil ich das tue?", sondern: "Wie kann ich möglichst effizient mit möglichst vielen Welten gleichzeitig umgehen?"



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-02-14


Hallo tactac

unter www.spektrum.de/lexikon/mathematik/logik/6044
findet man etwa einen der "unendlich" vielen Beiträge:

"In der intuitionistischen Logik hingegen, die von L.E.G Brower initiiert
wurde, werden als existierende Objekte zunächst nur beliebig große
natürliche Zahlen anerkannt (z. B. schon die Menge der natürlichen Zahlen
selbst ist nicht ad hoc existent). Ein mathematisches Objekt wird in
dieser Theorie nur dann als existent angesehen, wenn es sich mit finiten
Mitteln aus den schon zuvor vorhandenen Objekten konstruieren oder sich
seine Existenz beweisen läßt, wobei die Beweismittel gegenüber der
klassischen Logik erheblich eingeschränkt sind. Indirekte Beweise, die
auf dem Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten basieren, sind z. B.
ausgeschlossen. Die in diesen eingeschränkten Rahmen entwickelte
Mathematik wird auch konstruktive oder intuitionistische Mathematik
genannt. Der positive Beitrag des Intuitionismus zur
Grundlagenuntersuchung der Mathematik ist vor allem darin zu sehen, daß
eine strenge Abgrenzung der konstruktiven von der nicht-konstruktiven
Mathematik erfolgte. Wirklich rechnen (d. h. Probleme algorithmisch „mit
Hand“ oder mit Computern bearbeiten) kann man nur im Rahmen der
konstruktiven Mathematik."

Ich lese daraus, daß die aktual unendliche Menge der natürlichen Zahlen
in der konstruktiven Mathematik nicht als existent betrachtet wird.
Du schreibst aber in Deinem letzten Beitrag, konstruktive Mathematik
hätte keine Probleme mit der Existenz aktual unendlicher Mengen.

Nun bin ich verwirrt...

Im übrigen habe ich nicht geschrieben, dass die Beweise der konstruktiven
Mathematik einfacher wären. Vielmehr habe ich in einem früheren Beitrag
von Holprigkeit gesprochen. Das sollte ein Bild dafür sein, dass man mit
konstruktiver Mathematik auch weit kommen kann, aber der Weg manchmal
schwieriger und nicht so bequem sein wird. Mit Weicheiern habe ich
spasseshalber jene bezeichnet, die den schwierigeren Weg der
konstruktiven Mathematik nicht gehen wollen.

Meine "Zugänglichkeit" bezog sich auf den Begriff Existenz. Viele Menschen
dürfte es leichter fallen, an eine potentielle Unendlichkeit zu glauben, als an die Existenz einer aktualen Unendlichkeit.

Viele Grüße,
Orthonom




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tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-02-14


2019-02-14 13:35 - Orthonom in Beitrag No. 14 schreibt:
Hallo tactac

unter www.spektrum.de/lexikon/mathematik/logik/6044
findet man etwa einen der "unendlich" vielen Beiträge:
Naja, ein Beitrag beweist nicht, dass es unendlich viele gibt. Letzteres bleibt falsch. ^^
Außerdem enthält er viele Fehler:
n
"In der intuitionistischen Logik hingegen, die von L.E.G Brower initiiert
wurde, werden als existierende Objekte zunächst nur beliebig große
natürliche Zahlen anerkannt (z. B. schon die Menge der natürlichen Zahlen
selbst ist nicht ad hoc existent).
Intuitionistische Logik an sich spricht überhaupt nicht von natürlichen Zahlen. Man kann sie grob charakterisieren als "klassische Logik ohne LEM".

Ein mathematisches Objekt wird in
dieser Theorie nur dann als existent angesehen, wenn es sich mit finiten
Mitteln aus den schon zuvor vorhandenen Objekten konstruieren oder sich
seine Existenz beweisen läßt,
Immer noch Käse, da intuitionistische Logik eben erstmal bloß eine Logik ist.

wobei die Beweismittel gegenüber der
klassischen Logik erheblich eingeschränkt sind. Indirekte Beweise, die
auf dem Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten basieren, sind z. B.
ausgeschlossen. Die in diesen eingeschränkten Rahmen entwickelte
Mathematik wird auch konstruktive oder intuitionistische Mathematik
genannt.
Mit "intuitionistische Mathematik" meinen Experten üblicherweise nicht dasselbe wie mit "konstruktive Mathematik".

[...]

Ich lese daraus, daß die aktual unendliche Menge der natürlichen Zahlen
in der konstruktiven Mathematik nicht als existent betrachtet wird.
Du schreibst aber in Deinem letzten Beitrag, konstruktive Mathematik
hätte keine Probleme mit der Existenz aktual unendlicher Mengen.

Nun bin ich verwirrt...
Da hilft nur das Ignorieren von Laien. Bauers Artikel, den ich oben verlinkt habe, zeigt auch, dass es einfach nicht stimmt, dass die aktual unendliche Menge der natürlichen Zahlen nicht als existent betrachtet wird.

Im übrigen habe ich nicht geschrieben, dass die Beweise der konstruktiven
Mathematik einfacher wären. Vielmehr habe ich in einem früheren Beitrag
von Holprigkeit gesprochen. Das sollte ein Bild dafür sein, dass man mit
konstruktiver Mathematik auch weit kommen kann, aber der Weg manchmal
schwieriger und nicht so bequem sein wird. Mit Weicheiern habe ich
spasseshalber jene bezeichnet, die den schwierigeren Weg der
konstruktiven Mathematik nicht gehen wollen.

Meine "Zugänglichkeit" bezog sich auf den Begriff Existenz. Viele Menschen
dürfte es leichter fallen, an eine potentielle Unendlichkeit zu glauben, als an die Existenz einer aktualen Unendlichkeit.
Ich habe das schon so verstanden, aber ich stimme dieser Charakterisierung der "Zugänglichkeit" eben nicht zu und habe versucht, sie auf etwas m.E. besseres zu lenken. "Ich kann nur Mathematik machen (also Dinge beweisen), wenn mir die Axiome und Schlussregeln nicht zu viel gestatten" ist doch jedenfalls etwas, was kaum jemand wirklich denkt.



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