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Strukturen und Algebra » Ringe » Integral domain
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Universität/Hochschule Integral domain
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-04


Integral domain ist auf deutsch ein Integritätsring.
An integral domain is a commutative ring with no zero divisors.
Ist ein Integritätsring nicht immer ein Körper?

Nein, denn:

The ring $\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ is an integral domain for any non-square integer n. If n > 0, then this ring is always a subring of $\mathbb {R}$, otherwise, it is a subring of $\displaystyle \mathbb {C}$.

Und wenn n<0?
Sorry, die Vorlage die ich erwähnte ist komplett englisch.
$\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}+n)\cong \mathbb {Z} [{i\sqrt {n}}]$. Ist das auch ein Integritätsring?

Algebraisch interessant sind die Nulltstellen von sagen wir $x^2+3$
Änderung: im Körper  $\mathbb Q(i\sqrt{3})$.
$x_0=i\sqrt{3}$
$x_1=-i\sqrt{3}$
So ist das Minpol von $i\sqrt{3}=x^2+3$ und die galoische Körpererweiterung $K=Q(i\sqrt{3})$ ist normal algebraisch und einfach und die Galoisgruppe von $x^2+3$ ist $\cong C_2$.
Die Abbildung  $a+ib\sqrt{3} \mapsto a-ib\sqrt{3}$ ist ein Körperautomorphismus 2ten Grades.(diese formulierug KA 2.ten Grades kommt mir jetzt komisch vor).
Und alle Polynome $a+ib\sqrt{3}/c+id\sqrt{3} \in K$ sind bijektiv abbildbar auf Elemente in K $a-ib\sqrt{3}/c-id\sqrt{3} \in K$.
Die Rechenprozedur dazu ist angebbar.
ich wollte nur mal wissen ob das insofern richtig formuliert ist?
Danke, ich war etwas weg von der Materie aus privaten Gründen...
j





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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-20


2019-02-04 21:44 - juergen007 im Themenstart schreibt:
Integral domain ist auf deutsch ein Integritätsring.
An integral domain is a commutative ring with no zero divisors.

The ring $\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ is an integral domain for any non-square integer n.
If n > 0, then this ring is always a subring of $\mathbb {R}$, otherwise, it is a subring of $\displaystyle \mathbb {C}$.

Übersetzt:
(*)$\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ ist ein Integritätsring für quadratfreie n.

(zwischenfrage ist -4 quadratfrei, denn dieser begriff ist nur für positive n definiert)

Wenn n > 0, dann ist er immer ein Unterring of $\mathbb {R}$, andernfalls ist er ein Unterring von $\displaystyle \mathbb {C}$.

Das ist soweit klar.
Auch wenn n<0, ist n integer und es sei m=|n|.
$\displaystyle \mathbb {Z}[x]/(x^{2}+n)\cong \mathbb {Z} [{i\sqrt{m}}]$ ist ein Integritätsring.
Denn nach Vorraussetzung gilt Kommutativität und es gibt keine Nullteiler.
$\displaystyle \mathbb {Z}[x]/(x^{2}+n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt{n}}]$ ist weder für positive noch negative n ein Körper.

$\mathbb {Z} [{\sqrt{n}}]$ sind niemals ZPE Ringe, da z.B. in $\mathbb {Z} [{\sqrt{2}}]$ gilt, aber Integritätsringe.
$4=2\cdot2, 4=(6+\sqrt{2})(6-\sqrt{2})$ in $\mathbb {Z}[{\sqrt{2}}]$.
und in $\mathbb {Z}[{\sqrt{-2}}]: 8=2^3, 8=(6-\sqrt{-2})(6+\sqrt{-2})$.

Was ich sagen wollte und bitte das zu bestätigen oder nicht:
Integritätsringe sind nicht notwendig ZPE Ringe.
Änderung, da ich vorschnell "niemals" schrieb:
Es seien $x=a-c\sqrt{b},y=e+f\sqrt{b}, (a-c\sqrt{b})(e+f\sqrt{b})=ae+af\sqrt{b}-ec\sqrt{b}+cf \in \mathbb {Z}[{\sqrt{b}}]$.
Gibt es tatsaechlich keine $x,y \in \mathbb {Z} [{\sqrt{b}}]$, so dass
xy=0?




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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-02-20


Hallo,

1. Eine negative Zahl ist nie ein Quadrat in $\IZ$. Deshalb macht es Sinn das nur für positive Zahlen zu definieren.

2. $(6+\sqrt{2})(6-\sqrt{2})=36-2\ne 4$
$(6-\sqrt{-2})(6+\sqrt{-2})=36+2\ne 8$

3. Wenn $n$ kein Quadrat ist, ist $x^2\pm n$ irreduzibel in $\IZ$ (quadratisches Polynom ohne Nullstellen), also ist $(x^2\pm n)$ ein Primideal in $\IZ[x]$, also ist $\IZ[x]/(x^2\pm n)$ ein Integritätsbereich.

VG



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21


2019-02-20 23:29 - supermonkey in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo,

1. Eine negative Zahl ist nie ein Quadrat in $\IZ$. Deshalb macht es Sinn das nur für positive Zahlen zu definieren.

2. $(6+\sqrt{2})(6-\sqrt{2})=36-2\ne 4$
$(6-\sqrt{-2})(6+\sqrt{-2})=36+2\ne 8$

3. Wenn $n$ kein Quadrat ist, ist $x^2\pm n$ irreduzibel in $\IZ$ (quadratisches Polynom ohne Nullstellen), also ist $(x^2\pm n)$ ein Primideal in $\IZ[x]$, also ist $\IZ[x]/(x^2\pm n)$ ein Integritätsbereich.

VG

Ok sry rechenfehler..
2.

$(4+\sqrt{2})(4-\sqrt{2})=14=2*7$
$(4-\sqrt{-2})(4+\sqrt{-2})=18=2*9$

3. Danke, den Satz kannt ich nicht...



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-02-22


2019-02-21 13:28 - juergen007 in Beitrag No. 3 schreibt:

2.

$(4+\sqrt{2})(4-\sqrt{2})=14=2*7$
$(4-\sqrt{-2})(4+\sqrt{-2})=18=2*9$

Jetzt mal ne ganz dumme Frage: Folgt aus den zwei verschiedenen Faktorisierungen

$48=6\cdot 8=4\cdot 12$

von $48$ in den ganzen Zahlen nicht eigentlich auch, dass $\mathbb Z$ kein ZPE-Ring ist? Wenn nein, wo sieht du dann einen wesentlichen Unterschied zu deinem obigen Argument für die Ringe $\mathbb{Z}[\sqrt 2]$ bzw. $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$?  cool



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