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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Wellenfunktion, scharfe Energie, unscharfer Impuls
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Universität/Hochschule J Wellenfunktion, scharfe Energie, unscharfer Impuls
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-06


Hallo,

gegeben ist die folgende Aufgabe: In einem Kasten $V(x) = 0, 0 < x < L=\frac{2\pi}{k}$ bzw. $V(x) = \infty$ sonst sei die Wellenfunktion $\Psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\cdot \sin(kx)$ gegeben. Außerhalb des Kastens sei $\Psi(x) = 0$. Zeigen Sie, dass $\Psi(x)$ einen Zustand mit scharfer Energie, aber unscharfem Impuls darstellt. Bestimmen Sie die Energie und die Impulsunschärfe.

Ich bin mir ein bisschen unsicher: Soll ich zeigen, dass die Wellenfunktion INNERHALB des Kastens einen Zustand mit scharfer Energie besitzt? Ansonten würde ich ja für außerhalb des Kastens $\hat{H}\Psi(x) = \frac{\hat{P_x}^2}{2m}\Psi(x) + \hat{V}\Psi(x)$ erhalten. Der letzte Summand lautet ergo $\infty \cdot 0$ und ich weiß nicht, ob ich dann sagen soll, dass sich insgesamt für außerhalb des Kastens $\hat{H}\Psi(x) = 0 = 0\cdot \Psi(x)$ ergibt. Für innerhalb des Kastens erhalte ich:

$\hat{H}\Psi(x) = \frac{\hbar^2k^2}{2m}\Psi(x)$

Ergo habe ich doch gezeigt, dass die Energie scharf ist und der Wert der Energie $\frac{\hbar^2k^2}{2m}$ beträgt, richtig?

Nun möchte ich die Impulsunschärfe bestimmen. Also um die Impulsunschärfe zu bestimmen, bestimme ich die Varianz des IMPULSOPERATORS, richtig? Allgemein gilt für selbstadjungierte Operatoren $\hat{A} = \hat{A}^{+}$: $(\Delta_{\Psi} A)^2 = \langle A^2 \rangle_{\Psi} - \langle A\rangle^2_{\Psi} $

Gruß
Neymar
 



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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-06


Hi,

was du mit "scharfer Energie" meinst, ist mir nicht ganz klar (vermutlich ist $\Delta E=0$ gemeint?). Aber ja, die Energiewerte sind $E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$. Und ja, für die Impulsunschärfe musst du nur die Integrale ausführen in dem von dir angegebenen Zusammenhang.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-06


Okay, danke.


Neymar



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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