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Strukturen und Algebra » Ringe » Zeigen, dass es keinen weiteren Isomorphismus geben kann
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Universität/Hochschule Zeigen, dass es keinen weiteren Isomorphismus geben kann
hudiabssfsjdkfb89
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-07 22:07


Guten Abend an alle!

Könnte mir jemand bei einer Teilaufgabe helfen?

fed-Code einblenden



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-07 22:37


Hallo,

anscheinend geht es um Ringe, denn für Gruppen ist die Aussage falsch.

Überlege dir, worauf das Einselement abgebildet werden muss.



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hudiabssfsjdkfb89
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-08 18:49


Ja es geht um Ringe. Die Eins wird auf sich selber abgebildet, also auf die Eins.  



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-08 18:54

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Naja, die Aufgabe ist immer noch nicht ganz eindeutig.

Geht es um Ringe oder um unitale Ringe? (Bei letzterem fordert man von Homomorphismen, dass sie Eins auf Eins abbilden, bei ersterem ist das optional.) In beiden Fällen stimmt die Aussage, aber für unitale Ringe ist es natürlich einfacher zu zeigen, weil man $\varphi(1)=1$ geschenkt bekommt.

Gehen wir erstmal von unitalen Ringen aus:
Kannst du aus $\varphi(1)=1$ folgern, dass es nur einen Isomorphismus gibt? Tipp: Die den Ringen zugrunde liegenden Gruppen sind zyklisch.
\(\endgroup\)


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hudiabssfsjdkfb89
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-09 23:20


Als Überschrift steht "Restklassenringe", sonst steht nichts weiters dazu.


Kannst du aus $\varphi(1)=1$ folgern, dass es nur einen Isomorphismus gibt? Tipp: Die den Ringen zugrunde liegenden Gruppen sind zyklisch

Nicht wirklich.



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juergen007
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Mitteilungen: 3075
Aus: Braunschweig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-02-10 00:35


Evtl. hilft die dir Beitrag von Supermonkey in LinkMehr zyklische Gruppen



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-02-10 01:03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
$1=(1,1)$ ist ein Erzeuger der additiven Gruppe $\IZ/2\IZ\times \IZ/5\IZ$. Deshalb ist $\varphi$ eindeutig durch das Bild von $1$ bestimmt.

Falls $\varphi(1)=1$ gilt, dann bist du also fertig.
Angenommen $\varphi(1)=a\in \IZ/10\IZ$. Was kannst du dann über $a$ aussagen? Tipp: $1\cdot 1 = 1$.
Kannst du folgern, dass $a=1$ gilt, falls $\varphi$ ein Ringisomorphismus ist?
\(\endgroup\)


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Saki17
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Mitteilungen: 568
Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-02-10 20:48


Ein etwas abstrakterer Zugang: Die Behauptung (für Ringe mit Eins, Ringhomomorphismus bilde Eins auf Eins ab) ist ein speizieller Fall des Chinesischen Restsatzes und der Isomorphismus dort ist kanonisch. Vgl. Bosch, Algebra, Satz 2.3/12.

Edit. Dies Argument ist nicht hinreichend für die Aufgabe. (danke an Nuramon)



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-02-10 22:06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-02-10 20:48 - Saki17 in Beitrag No. 7 schreibt:
Ein etwas abstrakterer Zugang: Die Behauptung (für Ringe mit Eins, Ringhomomorphismus bilde Eins auf Eins ab) ist ein speizieller Fall des Chinesischen Restsatzes und der Isomorphismus dort ist kanonisch. Vgl. Bosch, Algebra, Satz 2.3/12.



Der Chinesische Restsatz liefert die Existenz eines Isomorphismus zwischen $\IZ/10\IZ$ und $\IZ/2\IZ\times \IZ/5\IZ$. Das ist aber für die Aufgabe doch irrelevant (war anscheinend Teil der vorigen Aufgabe), da es hier um die Eindeutigkeit geht.
\(\endgroup\)


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hudiabssfsjdkfb89
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Dabei seit: 04.01.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11 01:33

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-02-10 01:03 - Nuramon in Beitrag No. 6 schreibt:
Angenommen $\varphi(1)=a\in \IZ/10\IZ$. Was kannst du dann über $a$ aussagen? Tipp: $1\cdot 1 = 1$.

Das heißt doch dann bestimmt das a teilerfremd zur 10 ist.


Kannst du folgern, dass $a=1$ gilt, falls $\varphi$ ein Ringisomorphismus ist?
Wenn a=1 ist ist es ja teilerfremd zu 10. So ist doch die Zurordnung
fed-Code einblenden
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1093
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-02-11 16:33

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-02-11 01:33 - hudiabssfsjdkfb89 in Beitrag No. 9 schreibt:
2019-02-10 01:03 - Nuramon in Beitrag No. 6 schreibt:
Angenommen $\varphi(1)=a\in \IZ/10\IZ$. Was kannst du dann über $a$ aussagen? Tipp: $1\cdot 1 = 1$.

Das heißt doch dann bestimmt das a teilerfremd zur 10 ist.
Das ist eine nützliche Beobachtung, aber nicht worauf ich hinauswollte und begründet hast du es auch nicht. Welche Eigenschaften hat denn ein Ringisomorphismus?


Kannst du folgern, dass $a=1$ gilt, falls $\varphi$ ein Ringisomorphismus ist?
Wenn a=1 ist ist es ja teilerfremd zu 10. So ist doch die Zurordnung
fed-Code einblenden
Du argumentierst in die falsche Richtung: Wir nehmen nicht an, dass $a=1$ ist, sondern wollen es erst zeigen.
\(\endgroup\)


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hudiabssfsjdkfb89
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11 17:33


Ein Ringisomorphimus ist ein bijektiver Ringhomomorphismus. Also muss die Abbildung bijektiv sein und fed-Code einblenden



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-02-11 17:50


Eben nicht nur. Es muss auch $\varphi(m+n)=\varphi(m)+\varphi(n)$ gelten.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-02-11 17:54

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-02-11 17:33 - hudiabssfsjdkfb89 in Beitrag No. 11 schreibt:
Ein Ringisomorphimus ist ein bijektiver Ringhomomorphismus. Also muss die Abbildung bijektiv sein und fed-Code einblenden
Immerhin zwei von drei, siehe supermonkeys Beitrag. Ich weiß nicht, warum du das Distributivgesetz erwähnt hast.

Ok, angenommen $\varphi$ ist ein Ringisomorphismus und $\varphi(1)=a$. Welche Gleichung kannst du dann aus $1\cdot 1 = 1$ folgern?
\(\endgroup\)


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hudiabssfsjdkfb89
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11 18:10


Oh ja danke Supermonkey.

Meinst du damit, dass fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Sorry bin leider nicht avers mit dem Thema. In unserem Skript steht nur auf einer Folie die Begriffe und mehr nicht, da der Prof es voraussetzt aber unser Studiengang meinte, dass diese Themen unnötig seien und kamen auf die tolle Idee sie aus der Mathevorlesung zu verbannen.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-02-11 18:24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-02-11 18:10 - hudiabssfsjdkfb89 in Beitrag No. 14 schreibt:
Meinst du damit, dass fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Nochmal: Das $\varphi(1)= 1 $ ist, wissen wir überhaupt nicht, sondern das wollen wir erst noch beweisen!

Aus $\varphi(1)=\varphi(1\cdot 1) = \varphi(1)\varphi(1)$ folgt, dass $a^2= a$ ist.
Kannst du daraus $a=1$ folgern?
Tipp: Du kannst z.B. alle möglichen 10 Werte für $a$ ausprobieren. Oder du könntest deine (noch zu beweisende) Vermutung, dass $a$ teilerfremd zu 10 sein muss, benutzen.
\(\endgroup\)


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hudiabssfsjdkfb89
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11 18:36


1 ist ja weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl. Also ist auch 1 teilerfremd zu sich selbst.
Und fed-Code einblenden gibt die Anzahl der teilerfremden Zahlen zu 1 und das ist ja die 1.

fed-Code einblenden



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-02-11 18:40

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-02-11 18:36 - hudiabssfsjdkfb89 in Beitrag No. 16 schreibt:
Und fed-Code einblenden gibt die Anzahl der teilerfremden Zahlen zu 1 und das ist ja die 1.
Oh weh, du bringst da was gehörig durcheinander. $\varphi$ in diesem Thread hat rein gar nichts mit der eulerschen $\varphi$-Funktion  aus deinem anderen Thread zu tun.
\(\endgroup\)


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hudiabssfsjdkfb89
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11 19:04


Ja stimmt,da habe ich beides gemixt.


Meinst du sowas in der Art?
fed-Code einblenden



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2019-02-11 19:13


Moin, ich schlage vor, das Pferd einmal anders herum aufzuzäumen. Ich nenne die Abb. jetzt \(f\).

Aus der Surjektivität von \(f\) folgt \(f(1) = 1\).


Betrachte \(f(a) = 1\). Dann \(f(1) - 1 = (f(1) - 1)f(a)= f(1)f(a) - f(a) = f(1a) - f(a) = 0\)



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2019-02-11 20:25


Es geht noch etwas allgemeiner:

Seien \(R,S\) Ringe mit Eins und \(f:R \to S\) eine Abb., so dass für alle \(a,b \in R : f(ab) = f(a)f(b)\). Weiter ex. ein \(c \in R\), so dass\(f(c) \) kein Nullteiler in \(S\) ist.

Dann gilt schon:

\(f(1_R) = 1_S\)



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2019-02-13 00:10


@helmetzer: Schön! Mir war gar nicht bewusst, dass das so allgemein gilt.



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2019-02-13 00:30


Ja,

$f(c)=f(1_Rc)=f(1_R)f(c) \Rightarrow f(c)(1_S-f(1_R))=0 \Rightarrow f(1_R)=1_S$, schön!

An den TS: Woran hängt's denn gerade noch?



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2019-02-13 09:18


Nun, ein Beispiel, wo es eben nicht gilt, sollte auch noch jeder drauf haben:

\(R\) irgendein Ring mit Eins, nicht der Nullring:

\(f:R \to R \times R , \; r \mapsto (r,0)\).



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