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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Abbildungsbeweis: Bild des Durchschnitts / Durchschnitt der Bilder
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Universität/Hochschule Abbildungsbeweis: Bild des Durchschnitts / Durchschnitt der Bilder
idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-11


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EDIT: Habs schon. Einfach ein Gegenbeispiel mit x -> x^2 konstruieren



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-11


Hallo,

diese Eigenschaft gilt nur für Funktionen mit einer bestimmten Eigenschaft.
Welcher?

Dein Beweis hat mehrere Fehler.
Sowohl in der Notation, als auch inhaltlich.

Du fängst an mit "Sei $x\in f(M_1\cap M_2)$"

Dann folgerst du "$f(x\in M_1 \wedge x\in M_2)$"

Aber was soll das bedeuten?
Außerdem $x\in N$ und nicht unbedingt ein Element aus $M_1$, oder $M_2$.

Achte darauf in welchen Mengen (Defintionsbereich oder Wertebereich, der Funktion) du dich befindest.

Als nächstes würdest du damit nur eine Inklusion zeigen.
Für Mengengleichheit benötigst du jedoch zwei.

Edit:


EDIT: Habs schon. Einfach ein Gegenbeispiel mit x -> x^2 konstruieren

Der Definitionsbereich und Wertebereich ist hier entscheidend.
Welche Eigenschaft hat diese Funktion dann nämlich nicht, welche benötigt wird.

Ansonsten gilt $f(M_1\cap M_2)\subseteq f(M_1)\cap f(M_2)$ immer. Aber umgekehrt nicht.



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idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11


2019-02-11 18:15 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

diese Eigenschaft gilt nur für Funktionen mit einer bestimmten Eigenschaft.
Welcher?

Dein Beweis hat mehrere Fehler.
Sowohl in der Notation, als auch inhaltlich.

Du fängst an mit "Sei $x\in f(M_1\cap M_2)$"

Dann folgerst du "$f(x\in M_1 \wedge x\in M_2)$"

Aber was soll das bedeuten?
Außerdem $x\in N$ und nicht unbedingt ein Element aus $M_1$, oder $M_2$.
Ich dachte tatsächlich, $x\in N$ .

Achte darauf in welchen Mengen (Defintionsbereich oder Wertebereich, der Funktion) du dich befindest.

Als nächstes würdest du damit nur eine Inklusion zeigen.
Für Mengengleichheit benötigst du jedoch zwei.

Ja das stimmt, habe ich auch gemacht aber nicht hierrein geschrieben, mir ging es vor allem um die oben gezeigte Richtung.



Edit:


EDIT: Habs schon. Einfach ein Gegenbeispiel mit x -> x^2 konstruieren

Der Definitionsbereich und Wertebereich ist hier entscheidend.
Welche Eigenschaft hat diese Funktion dann nämlich nicht, welche benötigt wird.

Ansonsten gilt $f(M_1\cap M_2)\subseteq f(M_1)\cap f(M_2)$ immer. Aber umgekehrt nicht.

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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-11


Wie gesagt passt dein Beispiel, aber für eine Funktion solltest du einen ganz konkreten Definitions- und Wertebereich angeben.

Was ist in deinem Gegenbeispiel M und was ist N?


Ich dachte tatsächlich, $x\in N$

Das ist auch nicht falsch. Aber vielleicht solltest du eine sorgfältigere Notation wählen.

Du bezeichnest ja in deinem Ansatz $x\in f(M_1\cap M_2)$. Das kannst du tun, es ist ja erstmal nur ein Name.
Um Fehler zu vermeiden, könntest du aber vielleicht besser schreiben:

$n\in f(M_1\cap M_2)$, oder $f(x)\in f(M_1\cap M_2)$ schreiben.



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idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11


Ahhhh! Ich verstehe!
Danke für die Hilfe !



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-02-11


Bist du an dem Beweis denn noch interessiert, oder weißt du welche Eigenschaft für die Inklusion $f(M_1)\cap f(M_2)\subseteq f(M_1\cap M_2)$

benötigt wird?



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idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11


Nein da bin ich durchaus noch dran interessiert!



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-02-11


Ok, dann schreibe doch erstmal den Beweis für die "$\subseteq$" Inklusion sauber auf.

Dann können wir uns die andere überlegen und woran es dort scheitert.



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idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11


Ich soll praktisch das hier beweisen?

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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-02-11


Ja.
Das ist ganz leicht und benötigt keine weitere Eigenschaft.

Nur für $f(M_1\cap M_2)\supseteq f(M_1)\cap f(M_2)$ brauchst du eine zusätzliche Eigenschaft.



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idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-02-12


Meinst du wirklich $\leq$?
Damit ordnet man ja normalerweise Zahlen.

Ansonsten kannst du aber auch nicht $f(M_1\cap M_2)\subseteq f(M_1)\cap f(M_2)$ benutzen, um eben dieses zu zeigen.

Das wäre ein Zirkelschluss.

Das was du am Anfang gemacht hast, war ja von der Idee her gar nicht schlecht.
Es war nur nicht gut aufgeschrieben.

Beginne also so:

Sei $f(x)\in f(M_1\cap M_2)$. Dann ...



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-02-12


Es ist erstrebenswert solche "Beweise" hinzuschreiben, ohne auf Elemente zurückzugreifen, etwa so:

Unmittelbar aus der Definition folgt für beliebige Teilmengen \(A \subseteq B \subseteq M\ :f(A) \subseteq f(B)\)

Benutze nun \(M_1 \cap M_2 \subseteq M_i,\; i=1,2\).

Benutze nun: Ist eine Menge in zwei anderen Mengen enthalten, dann auch in deren Durchschnitt.



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idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12


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Was anderes fällt mir gerade nicht ein @PrinzessinEinhorn

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]



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idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12


2019-02-12 16:48 - helmetzer in Beitrag No. 12 schreibt:
Es ist erstrebenswert solche "Beweise" hinzuschreiben, ohne auf Elemente zurückzugreifen, etwa so:

Unmittelbar aus der Definition folgt für beliebige Teilmengen \(A \subseteq B \subseteq M\ :f(A) \subseteq f(B)\)

Benutze nun \(M_1 \cap M_2 \subseteq M_i,\; i=1,2\).

Benutze nun: Ist eine Menge in zwei anderen Mengen enthalten, dann auch in deren Durchschnitt.

Okay ich verstehe was Sie meinen.



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PrinzessinEinhorn
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2019-02-12 17:33 - idontknowhow10 in Beitrag No. 13 schreibt:
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Du überspringst einen Schritt.

Du musst auch nicht unbedingt mathematische Zeichen benutzen.
Du kannst den Beweis genauso gut hinschreiben. Als Prosatext.

Ansonsten ist ja $f(M_1\cap M_2)=\{f(x)|x\in M_1\cap M_2\}$
(Das ist die Definition des Bildes von $M_1\cap M_2$ unter $f$)




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idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12


Ahhh okay gut.

Aber wenn ich das mit den Mathematischen-Zeichen ausdrücken will, kannst du mir zeigen, wo ich in meinem Beweis einen Schritt überspringe? Bzw was ich noch einfügen muss, damit es fertig ist?

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Wäre es hier vollständig?



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PrinzessinEinhorn
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kannst du mir zeigen, wo ich in meinem Beweis einen Schritt überspringe?

Ich möchte vor allem darauf hinaus, dass du jeden deiner Schritte begründen solltest.

Der erste Implikationspfeil ist auch schlecht notiert.
Du schreibst ja nur die Menge um.

Am Ende solltest du dann auch nur $f(x)\in f(M_1)\cap f(M_2)$ schreiben.
Die Teilmengeninklusion ist dort auch schlecht notiert, da du links und rechts Aussagen stehen hast und keine Mengen.
(f(x) ist Element von ...)



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helmetzer
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Ich denke, auch der Beitrag No. 16 enthält wieder so viele Ungereimtheiten, schon von der Notation her, dass derjenige, der die "Lösung" bewerten soll, nicht feststellen kann, ob "das Richtige" gemeint ist.

Ich würde selber sagen: Nein, 0 Punkte.

Ich habe aber keine Ahnung - um mal einen oft gebrauchten Ausdruck zu verwenden -, wie man in diesem Fall noch helfen soll. Vielleicht doch mit einer vollständigen Musterlösung, um dem grausamen Spiel ein Ende zu bereiten.



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idontknowhow10
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Ok, kann mir dann mal jemand formal korrekt aufschreiben, wie das gehen soll?



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PrinzessinEinhorn
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Ja.
In deinem Skript findest du bestimmt einige Beispiele für Beweise von Mengengleichheiten.
Studiere diese Beweise und kehre dann zu dieser Aufgabe zurück. :)

Vielleicht habt ihr ja bereits $f(M_1\cup M_2)=f(M_1)\cup f(M_2)$ gezeigt.

Wenn dabei Fragen auftauchen, kannst du dich gerne melden.



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helmetzer
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Gerne, aber erst noch mal inhaltlich zu deinem Beitrag Nr. 16:

Du benutzt Pfeile, die bedeuten sollen:

Das ist äquivalent (Zeile 2)
Daraus folgt (Zeile 3 u. 4)

Mit solchen Pfeilen verknüpft man Aussagen. Der Schritt von einer Aussage zur anderen, sollte dann einleuchtend sein, wobei vorher bewiesene Hilfssätze, Def. usw. einbezogen werden.

In Zeile 1 steht die Voraussetzung.

In Zeile 2 steht aber keine Aussage, sondern eine Menge.

In Zeile 3 u. 4 steht dann das, was gezeigt werden soll.

D.h. dein Beweis verläuft etwas so: Voraussetzung folgt Quatsch folgt Behauptung; wird gemeinhin nicht als Beweis anerkannt.

Musterlösung folgt, falls noch nötig, wenn du geantwortet hast. Du solltest aber wissen, dass diese Aufgabe so ziemlich das Einfachste ist, was man im 1. Semester zum Thema Mengen und Abb. stellen kann.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]



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idontknowhow10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-13


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Wenn das auch noch falsch ist, würd ich gern eine ML haben, denn dazu gibts keine und zum Ausdruck fed-Code einblenden



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helmetzer
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Die 2. Zeile in 22 ist genauso unsinnig wie die in 16, nur dass eine Klammer verrutscht ist!

Bist du beratungsresistent?

Die 3. Zeile in 22: Was bedeutet das "und" zwischen den Mengen. Ich kenne nur "Durchschnitt".

Bist du ein Schlamperer?

Du gibst dir überhaupt keine Mühe, das was andere schreiben, zu verarbeiten!

Edit: 20 geändert in 22.



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