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 k-lineare Kategorie über einer Kategorie C = C ist Darstellungskategorie über vect |
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Pauline124
Junior 
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 10
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Hey ihr :)
Ich habe eine Aufgabe von meinem Prof, zu der ich ein einige Fragen habe.
Er schreibt (auf englisch, ich habe es übersetzt):
"Zeige, die Struktur einer k-linearen Kategorie auf einer Kategorie $\mathcal{C}$ (Original: "k-linear category on a category $\mathcal{C}$) ist äquivalent dazu, dass $\mathcal{C}$ eine Darstellungskategorie (vgl. ncatlab.org/nlab/show/module+category) über $\mathrm{vect}$ ist.
Ich habe folgende Fragen dazu:
1) Was genau ist eine k-lineare Kategorie? Ich habe gefunden, dass es heißt, dass die Kategorie angereichert ist über vect. Aber das ist recht abstrakt, ich habe es jetzt so verstanden, dass für alle Objekte $X, Y \in \mathcal{C}$ $\mathrm{Hom}(X, Y)$ ein Vektorraum ist, ist das richtig? Gibt es mehr zu beachten?
2) Was meint er mit k-linear AUF EINER KATEGORIE $\mathcal{C}$? Das habe ich in keiner Definition bisher gefunden. Jemand eine Idee?
3) Er gibt mir als Hilfe folgendes: "Definiere $v.c$ wobei $v \in \mathrm{vect}, c \in \mathcal{C}$ als das Objekt welches den folgenden Funktor repräsentiert $v \otimes \mathrm{Hom}(-, c)$ (Warum ist dieser Funktor repräsentierbar?)"
Also ich schätze damit meint er, dass es ein $c'$ gibt, sodass ich schreiben kann $\mathrm{Hom}(-, c') = v \otimes \mathrm{Hom}(-, c)$ und dass ich das dann mit $c'$ identifiziere, also $v.c := c'$. Hab ich das soweit richtig verstanden?
Wenn ja, wie finde ich denn so ein c'?
Wie spielt da rein, dass $\mathcal{C}$ angereichert über $\mathrm{vect}$ ist?
4.) Bei der Rückrichtung bin ich leider völlig aufgeschmissen. Wie erhalte ich aus der Wirkung, einen Vektorraum $\mathrm{Hom}(X, Y)$?
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Liebe Grüße,
Pauline
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xiao_shi_tou_
Senior 
Dabei seit: 12.08.2014
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Aus: Grothendieck Universum
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-12
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Hallo und herzlich Willkommen auf dem MP.
Ich lese die Definition einer \(k\)-linearen Kategorie zum ersten Mal, aber vielleicht können wir zusammen ja schon einmal ein paar Fragen klären, bis sich jemand meldet der etwas von dem Thema versteht.
Sei \(k\) ein Körper. (sollte auch für Ringe funktionieren, aber bleiben wir mal bei einem Körper.)
Was ist eine \(k\)-lineare Kategorie?
Def'n (\(k\)-lineare Kategorie)
Eine Kategorie \(\c{C}\) heisst \(k\)-linear, falls die hom-Mengen \(hom(c,c')\) alle \(k\)-Vektorraeume sind, und die Komposition
\(hom(c',c'')\times hom(c,c')\to hom(c,c'')\) \(k\)-bilinear ist.
(das ist aequivalent dazu, dass \(hom(c',c'')\otimes_k hom(c,c')\to hom(c,c'')\)\(k\)-linear ist.)
Insbesondere ist jede \(k\)-lineare Kategorie also additiv.
Dem besseren Verstaendnis zu liebe wuerde ich nach einem Beispiel fragen:
Was wäre denn ein Beispiel einer \(k\)-linearen Kategorie?
Sei \(\c{C}=vect_{<\infty}(k)\) die Kategorie der endlich dimensionalen \(k\)-Vektorraeume.
Dann ist \(\c{C}\) offenbar \(k\)-linear.
Was sollen wir zeigen?
Zu zeigen ist, dass es eine Bijektion gibt zwischen \(k\)-linearen Kategorien \(\c{C}\) und Kategorien \(\c{C}\) zusammen mit einem Bifunktor
\(\bullet\colon \textbf{vect}(k)\times \c{C}\to\c{C}\) welcher assoziativ und unital sein soll.
-Assoziativ soll bedeuten, dass es natuerliche isomorphismen
\(W\bullet(V\bullet c)\cong (W\otimes_k V)\bullet c\) geben soll, die natuerlich \(k\)-linear sein sollen(also die angereicherte Struktur respektieren sollen).
-Unital soll bedeuten, dass es natuerliche isomorphismen \(k\bullet V\cong V\) geben soll.
Wie definieren wir die \(vect(k)\)-Modulstruktur auf \(\c{C}\)?
Sei \(\c{C}\) \(k\)-linear und sei \(V\) ein \(k\)-Vektorraum und \(c\) ein Objekt in \(\c{C}\). Wir wollen eine Bi-Verknuepfung \(V\bullet c\) definieren.
Fuer eine beliebige Katgorie \(\c{C}\), zum Beispiel \(\c{C}=Top\) ist absolut nicht klar wie das funktionieren sollte. Jedoch wissen wir, dass \(\c{C}\) \(k\)-linear ist. Das bedeutet, dass die \(hom\)-sets \(k\)-Vektorraeume sind. Das Yoneda-Lemma besagt, dass wir das Objekt \(c\) mit dem Funktor \(hom(-,c)\colon \c{C}^{op}\to Sets\) identifizieren koennen, welcher ueber \(vect(k)\to Sets\) faktorisiert.
Wenn wir also \(c\) mit seinem \(hom\)- Funktor identifizieren, dann koennen wir das Tensorprodukt in \(vect(k)\) benutzen, um die Bi-Verknuepfung \(\bullet\) zu definieren.
Folglich setzen wir \(V\bullet c:=V\otimes_k hom(-,c)\).
Hier gibt es noch zwei Probleme:
Die Schreibweise \(v\otimes_k hom(-,c)\) macht erst Sinn, wenn wir wirklich ein Objekt \(\tilde{c}\) in den hom Funktor einsetzen, denn erst dann ist \(hom(\tilde{c},c)\) wirklich ein \(k\)-Vektorraum und erst dann ist das Tensorprodukt definiert.
Das bedeutet auf der Rechten Seite steht also ein Funktor \(\c{C}^{op}\to vect(k),\tilde{c}\mapsto V\otimes_k hom(\tilde{c},c)\).
Das ist das zweite Problem. Wir wollten eigentlich \(V\bullet c\in \c{C}\) und nicht nur \(V\bullet c\colon \c{C}^{op}\to vect(k)\).
Deshalb funktioniert das nur, wenn \(V\otimes_k hom(-,c)\) darstellbar ist, wie du schon richtig bemerkt hast.
Die naechste Frage ist also:
Warum ist \(V\otimes_k hom(-,c)\) darstellbar
Hierzu wuerde ich mir zuerst das obige konkrete Beispiel anschauen.
Vielleicht gibt es auch ein Darstellungskriterium das weiterhilft.
Vielleicht ist es auch offensichtlich, aber im Moment sehe ich es noch nicht.
Das sollte also die Vorgehensweise für die eine Richtung sein, aber soweit warst du wohl auch schon.
Hoffe es meldet sich jemand der weiterhelfen kann.
Grüße.
-----------------
Poincaré and Erdős went to an étalé party at Čech's
with an adèle and an étale as gifts. Čech was happy.
\(\endgroup\)
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Pauline124
Junior
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12
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Hallo,
Vielen Dank für deinen Willkommensgruß und für deine Antwort!
Teil 1 ist damit denke ich geklärt. Du hast Recht, das ist ungefähr das, was ich zu Teil 3) auch schon hatte, aber es ist trotzdem immer gut, das noch einmal ausführlich aufgeschrieben zu sehen.
Vielen Dank dafür!
Vielleicht meldet sich ja noch jemand, der ausführen kann, warum es dieses $c'$ gibt!
Lieben Gruß
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Pauline124
Junior 
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-26
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2019-02-12 01:23 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 1 schreibt:
Wie definieren wir die \(vect(k)\)-Modulstruktur auf \(\c{C}\)?
Sei \(\c{C}\) \(k\)-linear und sei \(V\) ein \(k\)-Vektorraum und \(c\) ein Objekt in \(\c{C}\). Wir wollen eine Bi-Verknuepfung \(V\bullet c\) definieren.
Fuer eine beliebige Katgorie \(\c{C}\), zum Beispiel \(\c{C}=Top\) ist absolut nicht klar wie das funktionieren sollte. Jedoch wissen wir, dass \(\c{C}\) \(k\)-linear ist. Das bedeutet, dass die \(hom\)-sets \(k\)-Vektorraeume sind. Das Yoneda-Lemma besagt, dass wir das Objekt \(c\) mit dem Funktor \(hom(-,c)\colon \c{C}^{op}\to Sets\) identifizieren koennen, welcher ueber \(vect(k)\to Sets\) faktorisiert.
Wenn wir also \(c\) mit seinem \(hom\)- Funktor identifizieren, dann koennen wir das Tensorprodukt in \(vect(k)\) benutzen, um die Bi-Verknuepfung \(\bullet\) zu definieren.
Folglich setzen wir \(V\bullet c:=V\otimes_k hom(-,c)\).
Hier gibt es noch zwei Probleme:
Die Schreibweise \(v\otimes_k hom(-,c)\) macht erst Sinn, wenn wir wirklich ein Objekt \(\tilde{c}\) in den hom Funktor einsetzen, denn erst dann ist \(hom(\tilde{c},c)\) wirklich ein \(k\)-Vektorraum und erst dann ist das Tensorprodukt definiert.
Das bedeutet auf der Rechten Seite steht also ein Funktor \(\c{C}^{op}\to vect(k),\tilde{c}\mapsto V\otimes_k hom(\tilde{c},c)\).
Das ist das zweite Problem. Wir wollten eigentlich \(V\bullet c\in \c{C}\) und nicht nur \(V\bullet c\colon \c{C}^{op}\to vect(k)\).
Deshalb funktioniert das nur, wenn \(V\otimes_k hom(-,c)\) darstellbar ist, wie du schon richtig bemerkt hast.
Grüße.
Hey xiao_shi_tou_,
Die Fragen die wir in deiner Antwort noch hatten, habe ich in so fern geklärt als dass die Kategorie halbeinfach ist (was ich überlesen hatte, da es am Anfang des Kapitels steht) und daher alle Elemente projektiv sind. Eine äquivalente Def. von darstellbar ist, dass projektive Elemente auf projektive abgebildet werden, dagegen kann sich der Funktor also gar nicht wehren ;-)
Was mich jetzt allerdings noch beschäftigt ist die Wirkung zwischen Morphismen. Wenn ich so eine Kategorie habe brauche ich ja nicht nur die Wirkung zwischen zwei Objekten wie wir sie mit $V.C$ definiert haben, sondern auch noch $f.\phi$, wo $f$ ein Vektorraum-homomorphismus ist und $\phi$ ein morphismus der Kategorie. Hast du eine Idee wie ich die Idee so erweitern kann, dass es Morphismen mit einschließt?\(\endgroup\)
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Themenstart: 2019-02-11
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