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Topologie » Mengentheoretische Topologie » Kompaktheit zeigen von: {(x, sin(1/x)) | x∈]0,1]} ∪ {(0,0)}
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Beruf Kompaktheit zeigen von: {(x, sin(1/x)) | x∈]0,1]} ∪ {(0,0)}
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-11 22:01


Hallo Zusammen,

Sei $E=\{(x,sin(\frac{1}{x}))|x\in(0,1]\}\subset \mathbb{R}^2$

Man soll zeigen dass $\{(0,0)\}\cup E$ kompakt in $\mathbb{R}^2$ ist.


Nun habe wird ein Satz angewendet, der Verlangt dass $\{(0,0)\}\in\overline{E}$

Nun geling es mir gerade nicht dies zu zeigen und ich brauche Hilfe



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-11 22:06


Hallo,

es reicht, wenn du eine Folge in $E$ angeben kannst, die gegen (0,0) konvergiert.
Dann gilt $(0,0)\in \overline{E}$.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11 22:08


Hallo Prinzessin,

Ja, genau das macht die Mulö auch.
Gibt es da irgendend einen Satz der das sagt, den ich gerade nicht vor Augen habe?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-11 22:15


Vermutlich folgender Satz:

Sei $(X,\tau)$ ein topologischer Raum und $A\subseteq X$. Dann gilt:

Ist $A$ abgeschlossen, so gilt für alle $x\in X$: Existiert eine Folge $(x_n)_n$ in $A$ mit $x_n\to x$, so folgt $x\in A$.

(Das gilt immer. Wenn $X$ das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, gilt sogar Äquivalenz der Aussagen.)



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11 22:15


vielen dank.

Wart, ich muss unser Skript durchforschen....



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-02-11 22:17


Vielleicht ist es leichter, wenn du die Aussage eben selber beweist.
Es ist wirklich nicht schwer.


Ein Beweis durch Widerspruch bietet sich an.
Angenommen $x\notin A$. Was weißt du dann über $X\setminus A$ und benutze die Konvergenz $x_n\to x$.




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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
xiao_shi_tou_
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Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-02-11 22:37

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Hi sulky.
Die Menge ist nicht kompakt.
Sonst wäre sie abgeschlossen und \((0,1)\) müsste ein innerer Punkt des Komplements sein. Das ist nicht der Fall.

Du kannst sie aber kompakt machen, indem du die Punkte \(\{(0,y)\colon y\in [-1,+1],y\neq 0\}\) hinzuvereinigst.


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"Jedes Gehirn kann Fragen beantworten. Es geht darum die richtigen Fragen zu finden."
\(\endgroup\)


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