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Mathematik » Stochastik und Statistik » Stochastik Wahrscheinlichkeitsmaß Beweis
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Universität/Hochschule Stochastik Wahrscheinlichkeitsmaß Beweis
tbd321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-11


Hi,
ich stehe hier vor dieser Aufgabe und weiß nicht so recht weiter. Würde mich über eure Hilfe sehr freuen! LG tbd321


Aufgabe:

Für Primzahlen \(p\) sei \(A_p=\) { \(n∈N|p\quad teilt\quad n\)}.

Zeigen Sie, dass es kein Wahrscheinlichkeitsmaß \(\mathbb{P}\) auf \(\Omega=\mathbb{N}\) gibt, für welche \(A_p\) für verschiedene Primzahlen unabhängig sind und \(\mathbb{P}(A_p)=\frac{1}{p}
gilt.
\\(Hinweis: \Sigma_{p\quad prim}\frac{1}{p}=\infty)\)



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-12


Huhu tbd321,

ist Dir denn die Idee für den Beweis klar?
Du führst einen Widerspruchsbeweis. Würde ein solches Maß existieren, so kannst Du mit dem Hinweis, der Siebformel, der eindeutigen Primfaktorzerlegung und der Unabhängigkeit der angegebenen Ereignisse einen Widerspruch konstruieren.

lg, AK.



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tbd321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12


Hi AnnaKath,

ok, also ich nehme dann an, dass es ein solches Wahrscheinlichkeitsmaß gibt und werde dann irgendwann auf einen Wiederspruch stoßen.

Da es ja dann ein Wahrscheinlichkeitsmaß sein soll, muss ich überprüfen, ob
1)$\mathbb{P}(\Omega)=1$
2)Für jede disjunkte Folge von Ereignissen gilt $\mathbb{P}(E_1\cup E_2\cup...)=\mathbb{P}(E_1)+\mathbb{P}(E_2)+...$

aber wie gehts weiter?



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-12


Huhu,

Du musst gar nicht überprüfen - Du nimmst ja an, dass $\mathbb{P}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Die Eigenschaften (1) und (2) kannst Du dann also verwenden (und mit ihrer Hilfe einen Widerspruch erzeugen).

Nun zum Beweis: Mache Dir zunächst klar, dass $\mathbb{N} = \bigcup A_p$ ist.

Wären die $A_p$ nun disjunkt, so würde gelten:

$\mathbb{P}(\mathbb{N}) = \mathbb{P}(\bigcup A_p) = \sum (\mathbb{P}(A_p)) = \sum \frac{1}{p} = \infty \neq 1$, im Widerspruch zur Eigenschaft (1) eine Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Die $A_p$ sind aber nicht disjukt.  Es wird also etwas schwieriger, aber die Idee bleibt die gleiche.
Nutze die Siebformel (Für zwei Eregnisse lautet sie: $\mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$). Und schätze die Terme mit negativem Vorzeichen so ab, dass der Widerspruch erkennbar wird. Als Tipp: $\sum_{n=1}^\infty n^{-2} = \frac{\pi^2}{6}<\infty$.

lg, AK.



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tbd321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12


Aber wie kann ich denn die negativem Terme abschätzen? Die Mengen die dabei rauskommen haben ja die Form $A_q =\lbrace n\in \mathbb{N}|q\quad teilt\quad n\rbrace $ für $q=p_1 *p_2$. Da $q$ keine Primzahl ist, kenne ich die Wahrscheinlichkeit der Menge$A_q$ doch gar nicht.

Oder darf ich hier jetzt einfach gemäß Unabhängigkeit sagen, dass $\mathbb{P} (A_q)=\frac{1}{p_1 *p_2}$ ist?



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-02-12


2019-02-12 21:27 - tbd321 in Beitrag No. 4 schreibt:
Oder darf ich hier jetzt einfach gemäß Unabhängigkeit sagen, dass $\mathbb{P} (A_q)=\frac{1}{p_1 *p_2}$ ist?

Ganz genau!



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tbd321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12


Ok

Also klar ist, dass $\mathbb{P}(A_q)$  kleiner ist als $\mathbb{P}(A_1)$ und $\mathbb{P}(A_2)$ und demnach auch kleiner als deren Summe.

Wenn ich mir jetzt $\mathbb{P}(A_{p_1}\cup A_{p_2}\cup...)$ anschaue, dann Summiere ich ja erst die ganzen Einzelwahrscheinlichkeiten auf, ziehe die Durschschnitte zweier Mengen ab, addiere die Durchschnitte dreier Mengen, subtrahiere...
Die Wahrscheinlichkeiten wachsen ja immer langsamer, je mehr Mengen geschnitten werden, gehen doch aber trotzdem gegen $\infty$ oder nicht?

Dann folgt doch:

$\mathbb{P}(A_{p_1}\cup A_{p_2}\cup...)=\infty - \infty +\infty -...$



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-02-12


Huhu tbd321,

nein, das stimmt nicht.

Es ist $\mathbb{P}(A_p \cap A_q) = \mathbb{P}(A_p) \mathbb{P}(A_q) = \frac{1}{pq} < \frac{1}{(\mathrm{ min} \{p, q\})^2} $. Beim Aufsummieren kannst meinen Tipp aus #3 benutzen.

lg, AK.



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tbd321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12


ok, also:

$\mathbb{P}(A_{p_1}\cup A_{p_2}\cup... )= (\sum_{i=1}^{n}(A_{p_i})) - (\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(A_{p_i}\cap A_{p_j})) + ... \pm ...$
$=\infty - x + ... \pm \frac {\pi ^2}{6}\pm \frac {\pi ^2}{6}...$
$=\infty \ne 1$

x ist dann eine sehr große Zahl, aber nicht mehr $\infty$ und je weiter wir nach rechts gehen, umso mehr nähern sich die Werte an $\frac {\pi ^2}{6}$ an, bis wir das dann nur noch abwechseln dazu addieren und abziehen?

und dann haben wir den Widerspruch, weil es nicht gleich $1$ ist



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-02-13


Huhu,

leuchtet Dir Deine Rechnung ein?
Den Plan kennst Du, etwas Genauigkeit in den Details solltest Du selbst einbringen.

lg, AK.



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tbd321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-13


abgesehen von der Notation stimmts aber? oder hab ich das so unverständlich notiert, dass du es nicht nachvollziehen kannst?

Das dauert nur so lange das zu formatieren...

Was könnte man denn statt dem x schreiben? Bzw. woher weiß ich, dass die Summe von den Schnitten zweier Mengen nicht mehr unendlich groß sind?

ansonsten ist mir die richtige Ordnung des ganzen klar.



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