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Analysis » Folgen und Reihen » Quotientenkriterium
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Universität/Hochschule Quotientenkriterium
tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-11


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-11


Hallo,

es ist $\dfrac{(k+1)^k}{k^k}=\left(\dfrac{k+1}{k}\right)^k$.

Das sollte bekannt sein, und lässt sich nach oben abschätzen.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-02-11


Hallo erstmal,

es gilt \[e=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k.\]
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von ochen]



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11


Ja, der Teil ist klar. Geht gegen e. Aber was ist mit dem Rest vom Bruch?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-02-11


Der geht gegen Null, warum?



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11


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[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-02-11



So?

Nein.



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11


Aber Null stimmt auch nicht mit der Lösung überein. Laut Lösung ist das Ergebnis nämlich e/3.

Irgendwo müsste also noch ein Fehler drin sein



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-02-11


[Edit: Es ist gar nicht der Grenzwert der Reihe....]

Es ist nicht der Grenzwert der Folge, die du mit dem Quotientenkriterium ausgerechnet hast.




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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-02-11


Doch, der Grenzwert des Quotienten ist Null.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11


Laut Lösung: fed-Code einblenden

Bei mir wäre es aber 0 ...



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-02-11


Das spielt keine Rolle. Solang der Grenzwert am Ende kleiner als 1 ist, erhältst du, dass die Reihe konvergiert.

In der Musterlösung wurde dann anders abgeschätzt.

Vermutlich etwa so:

$\lim_{k\to\infty} \dfrac{\left(\frac{k+1}{k}\right)^k}{3(3k+1)(3k+2)}<\lim_{k\to\infty} \dfrac{e}{3(3k+1)(3k+2)}<\lim_{k\to\infty} \dfrac{e}{3}$

(die letzte Abschätzung gilt, weil man die andern beiden Faktoren jeweils durch 1 abschätzen kann. Das macht den Nenner kleiner und somit den Bruch größer.)

Das ist aber nicht notwendig. Wenn man den Zähler durch $e$ nach oben abschätzt, sieht man sofort, dass es eine Nullfolge ist. Immerhin ist der Nenner unbeschränkt.



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11


Das habe ich gerade gefunden:

LinkKonvergenz von ∑ k^k/(3k)!

Hier macht es der Martin ungefähr so wie wir und erhält e/3



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-02-11


Viele Wege führen nach Rom.
Ich finde es eigentlich leichter die Nullfolge zu erkennen.

Lustig, dass ich in dem verlinkten Thread auch geantwortet habe.



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11


2019-02-11 23:50 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 13 schreibt:
Lustig, dass ich in dem verlinkten Thread auch geantwortet habe.

Stimmt :)

Solange es stimmt.. aber wie kann es denn sein, dass da verschiedene Ergebnisse bei raus kommen?



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-02-11



aber wie kann es denn sein, dass da verschiedene Ergebnisse bei raus kommen?

Wenn man das Quotientenkriterium anwendet, dann zeigt man Konvergenz der Reihe, wenn der Grenzwert der resultierenden Folge kleiner als 1 ist.

Das reicht.
Es ist also egal, ob du eine Folge mit Grenzwert Null, oder e/3 hast.
Beides ist kleiner als 1 und bedeutet somit Konvergenz.

Unterschiedliche Abschätzungen können unterschiedliche Grenzwerte bedeuten.
Das ist völlig normal, aber nicht entscheidend.
(Man darf aber auch nicht zu grob abschätzen. Das könnte das Ergebnis verfälschen)

In jedem Fall erhält man hier, dass die Reihe konvergiert.




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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-02-12

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Hallo

Es geht auch ohne Quotientenkriterium:

\(\frac{k^k}{(3k)!}=(\frac{1}{k!})\cdot\underset{<1}{(\frac{k}{k+1}\cdots\frac{k}{k+k})}\cdot\underset{<1}{(\frac{1}{(2k+1)\cdots 3k})}<\frac{1}{k!}\).
Die Majorante \(\sum_k\frac{1}{k!}\) konvergiert.


Mit Quotientenkriterium wäre es aber auch möglich, wie mittlerweile schon mehrfach gezeigt wurde:

Setze \(e_k:=(\frac{k+1}{k})^k\)

\(|\frac{a_{k+1}}{a_k}|=\frac{(k+1)^{k+1}}{(3(k+1))!}\cdot\frac{k!}{k^k}=e_k\cdot \frac{1}{3}\frac{1}{\cdot(3k+2)\cdot(3k+1)}<e_k\cdot\frac{1}{3}\rightarrow \frac{e}{3}<1\).


Es ist eine nette Rechnung die Konvergenz mit dem Wurzelkriterium (Stirlingsche Approximation) auch noch zu beweisen.

Gruß


-----------------
"Jedes Gehirn kann Fragen beantworten. Es geht darum die richtigen Fragen zu finden."
\(\endgroup\)


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