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Strukturen und Algebra » Gruppen » zyklische Gruppen
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Universität/Hochschule J zyklische Gruppen
nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-11 23:47


Hallo,

ich habe eine Verständnisfrage zu zyklischen Gruppen. Eine Gruppe G der Ordnung p (Primzahl) ist ja zyklisch. Wie sieht man, dass auch eine Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch ist?

Wir hatten dazu eine Aufgabe mit einer Gruppe G der Ordnung 20 und sollen zeigen, dass es entweder 0, 2 oder 10 Elemente der Ordnung 4 gibt. Die 2-Sylowgruppen haben nun Ordnung 4, aber warum sind sie zyklisch?


Vielen Dank schon mal!



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-11 23:53


Hallo nitram999,

willkommen auf dem Matheplaneten!

2019-02-11 23:47 - nitram999 im Themenstart schreibt:
Wie sieht man, dass auch eine Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch ist?

Am besten gar nicht. Wer sagt denn so etwas?



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-02-11 23:56


Hallo, die Aussage stimmt nicht.

Zum Beispiel ist $\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ$ nicht zyklisch, hat aber vier Elemente.

Man kann aber zeigen, dass Gruppen der Ordnung $p^2$ immer abelsch sind.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11 23:58


Oh das stimmt wohl nie?

Wie würde ich denn dann weitermachen, um die Elemente der Ordnung 4 zu bestimmen? Weil wenn die 2-Sylow zyklisch wäre könnte man ja mit der eulerschen phi-Funktion die Anzahl der Erzeuger dieser Gruppe bestimmen...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-02-12 00:03


1. Wieviele 2-Sylowgruppen kann $G$ haben?

2. Welche Gruppen der Ordnung 4 gibt es?

3. Wieviele Elemente der Ordnung 4 haben die jeweils?



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12 00:08


Danke für die schnelle Antwort!

1.) Also mit den Anzahlbeschränkungen von Sylow sieht man, dass es
     entweder eine oder 5 Sylow-2-Gruppen gibt (die Ordnung 4 haben).

Aber, ich stehe dann hier auf dem Schlauch, wie es weitergeht.



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-02-12 00:12


Okay. Wenn eine Gruppe $G$ der Ordnung $4$ zyklisch ist, wieviele Elemente der Ordnung $4$ hat sie dann? Wieviele wenn sie nicht zyklisch ist?



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12 00:18


Also wenn G zyklisch ist, dann hat G ein Element der Ordnung 4, oder?

Der andere Fall ist mir total unklar... confused



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-02-12 00:21


Sei $G=<x>$ zyklisch. Dann hat $x$ Ordnung vier. Aber welches Element noch?

Weiter (für den anderen Fall) gibt es einen Satz, der besagt, dass eine Gruppe $G$ der Ordnung $n$ genau dann zyklisch ist, wenn $G$ ein Element der Ordnung $n$ besitzt.



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12 00:28


Ah, das bei zyklischen Gruppen geht ja mit der eulerschen phi-Funktion und phi(4)=2. Also hat eine zyklische Gruppe der Ordnung 4 zwei Elemente der Ordnung 4.
Aber wie sieht das zweite Element aus? Ist es das Inverse zu x, also x^-1?

Und nach dem Satz gibt es in einer nicht zyklischen Gruppe der Ordnung 4 kein Element der Ordnung 4.



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-02-12 00:35


2019-02-12 00:28 - nitram999 in Beitrag No. 9 schreibt:
Ah, das bei zyklischen Gruppen geht ja mit der eulerschen phi-Funktion und phi(4)=2. Also hat eine zyklische Gruppe der Ordnung 4 zwei Elemente der Ordnung 4.
Aber wie sieht das zweite Element aus? Ist es das Inverse zu x, also x^-1?

Ja, oder in dem Fall $x^3$.


Und nach dem Satz gibt es in einer nicht zyklischen Gruppe der Ordnung 4 kein Element der Ordnung 4.

Okay, gut.

Kannst du damit nun die Aufgabe lösen?



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12 00:41


Okay, danke schon mal!

Aber leider sehe ich gerade nicht, wie es weitergehen soll.

Ich hätte gesagt, dass man eine Fallunterscheidung machen kann, ob die 2-Sylowgruppen zyklisch sind oder nicht, aber die sind ja in keinem Fall zyklisch. Daher weiß ich nicht weiter.



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-02-12 00:51


Das verstehe ich nicht, wir haben doch gerade darüber gesprochen, wieviele Elemente der Ordnung 4 eine zyklische Gruppe dieser Ordnung hat. Wie kommst du darauf, dass sie nicht zyklisch sein könnnen?

Die Aussage von oben ist nur, dass Gruppen der Ordnung $p^2$ nicht zyklisch sein müssen, nicht, dass sie es nie sind.

Es gibt sogar zu jeder natürlichen Zahl eine zyklische Gruppe dieser Ordnung.



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-02-12 00:55


oder denkst du aus einem anderen Grund, dass die 2-Sylows nicht zyklisch sein könnnen?



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12 01:02


Das war wahrscheinlich mein Denkfehler. Ich dachte das wäre eine Absolutaussage, also entweder sind Gruppen der Ordnung p^2 zyklisch oder nicht. Aber so macht die Fallunterscheidung dann Sinn.

Sei n2 die Anzahl der 2-Sylowgruppen.


Fall (a) 2-Sylowgruppe ist zyklisch.
           Dann hat die 2-Sylowgruppe 2 Elemente der Ordnung 4.
           Für n2=1 gibt es 2*1=2 Elemente der Ordnung 2 in G.
           Für n2=5 gibt es 2*5=10 Elemente der Ordnung 2 in G.

Fall (b) 2 Sylowgruppe ist nicht zyklisch.
           Dann hat die 2-Sylowgruppe kein Element der Ordnung 4.
           Somit hat G kein Element der Ordnung 4.

Passt das so?
Und eine Frage noch. Warum liegen solche Elemente der Ordnung 4 nur in den 2-Sylowgruppen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-02-12 08:55


Ja, das passt so.

Ein Element der Ordnung 4 erzeugt eine (zyklische) Gruppe der Ordnung 4. Diese ist per Definition eine 2-Sylow von $G$.



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12 10:56


Ah, okay  smile

Vielen Dank für die Hilfe!



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