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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Satz Gleichheit Spaltenrang / Zeilenrang
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Universität/Hochschule J Satz Gleichheit Spaltenrang / Zeilenrang
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-13


Hallo zusammen!
Ich verstehe den Beweis zu folgenem Satz nicht:

Satz: Sei $A$ eine Matrix. Dann ist der Zeilenrang von $A$ gleich dem Spaltenrang von $A$.

Beweis: Wir wollen die Matrix auf Zeilenstufenform bringen. Für Matrizen in Zeilenstufenform gilt die Behauptung offensichtlicherweise. Zeige also noch, dass sich weder Zeilenrang noch spaltenrang unter elementaren zeilenumformungen ändern.
Da sich sogar der Zeilenraum einer Matrix unter elementaren Zeilenumformungen nicht ändert, bleibt auch der Zeilenrang gleich.
Unter elementaren Zeilenumformungen kann sich der Spaltenraum ändern.
Sei $\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda^{i}d_{i}$ eine lineare Abhängigkeit der Spalten. Dann bleibt diese unter elementaren Zeilenumformungen erhalten. Der Spaltenrang wird unter elementaren Zeilenumformungen also höchstens kleiner. Da sich elementare Zeilenumformungen aber invertieren lassen, bleibt er gleich.
Die Behauptung folgt.

---------

1) Wieso gilt die Behauptung für Matrizen in Zeilenstufenform?

2) Dass sich der Zeilenraum unter elementaren Zeilenumformungen nicht ändert hatten wir als Satz im Skript. Wieso bleibt aber die lineare Abhängigkeit der Spalten unter elementaren Zeilenumformungen erhalten?

3) Wieso wird der Spaltenrang höchstens kleiner?

4) Warum bleibt der Spaltenrang gleich, weil sich elementare Zeilenumformungen invertieren lassen?


Für eure Hilfe zum Verständnis wäre ich euch sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-13


2019-02-13 19:59 - X3nion im Themenstart schreibt:

2) Dass sich der Zeilenraum unter elementaren Zeilenumformungen nicht ändert hatten wir als Satz im Skript. Wieso bleibt aber die lineare Abhängigkeit der Spalten unter elementaren Zeilenumformungen erhalten?

Sei $P$ eine Elementarmatrix. Wenn die Spalten $(\vec{d}_i)_{i\in I}$ linear abhängig sind, gibt es $\lambda_i$ (nicht alle Null), sodass
\[\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda^{i}\vec{d}_{i} = \vec{0}.\] Also gilt
\[\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda^{i}P\vec{d}_{i} = P\vec{0}=\vec{0}.\] Es sind also auch die $(P\vec{d}_i)_{i\in I}$ linear abhängig.


3) Wieso wird der Spaltenrang höchstens kleiner?

Das ist gerade die Anzahl der linear unabhängigen Spalten. Wenn wir vorher eine Auswahl an linear abhängigen Spalten $(\vec{d}_i)_{i\in J}$ hatten, sind auch $(P\vec{d}_i)_{i\in J}$ linear abhängig (siehe 2)). Falls wir eine Auswahl an linear unabhängigen Spalten $(\vec{d}_i)_{i\in J}$ hatten, so können die  $(P\vec{d}_i)_{i\in J}$ aber linear abhängig sein (wenn $P$ nicht invertierbar ist)



4) Warum bleibt der Spaltenrang gleich, weil sich elementare Zeilenumformungen invertieren lassen?

Falls wir eine Auswahl an linear unabhängigen Spalten $(\vec{d}_i)_{i\in J}$ hatten, so sind die $(P\vec{d}_i)_{i\in J}$ auch linear unabhängig sein



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-02-13


Hi,

schonmal zu 1): Es gibt hier so viele Fälle, ich als Prof wäre die auch nicht durchgegangen ;). Lose gesagt: Hat eine $n\times n$-Matrix in ZSF vollen Zeilenrang, d.h. es existiert keine Nullzeile, so sind auch die Spalten linear unabhängig, da jede Spalte einen nichtnull Eintrag an einer Stelle hat wo alle Spalten davor eine Null stehen haben.
Also Zeilenrang = Spaltenrang = n.
Ist der Zeilenrang nicht voll, so gibt es mindestens eine Nullzeile und genauso viele größere Stufen. Aufgrund der speziellen Form kann ich dann alle Spalten die in der größeren Stufe vorkommen durch Spaltentransformationen eliminieren und kriege dadurch genauso viele 0-Spalten wie Zeilen.

Ähnlich funktioniert $m<n$. Der Fall $n<m$ ist glaub ich unangenehm, aber vielleicht kannst du dir den ja jetzt selbst überlegen ;)

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-14


Hi zusammen und vielen Dank für eure ausführlichen Antworten!

Ich würde die 1) nach hinten schieben und die Posts sukzessive bearbeiten, sonst gerät es etwas durcheinander, ich hoffe das ist okay supermonkey :)

f

Sei $P$ eine Elementarmatrix. Wenn die Spalten $(\vec{d}_i)_{i\in I}$ linear abhängig sind, gibt es $\lambda_i$ (nicht alle Null), sodass
\[\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda^{i}\vec{d}_{i} = \vec{0}.\] Also gilt
\[\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda^{i}P\vec{d}_{i} = P\vec{0}=\vec{0}.\] Es sind also auch die $(P\vec{d}_i)_{i\in I}$ linear abhängig.

Mit welcher Regel kannst du hier das P vor die Summe ziehen? Es ist ja $\sum \limits_{i=0}^{n} \lambda^{i} P \overrightarrow{d}_{i} = \lambda^{1} P \overrightarrow{d}_{1} + ... + \lambda^{n} P \overrightarrow{d}_{n}$.
Benutzt du das Gesetz, die $\lambda^{i}$'s jeweils vor die $\overrightarrow{d}_{i}'s$ zu schreiben? Welches Gesetz wäre das?
Und benutzt du dann das Distributivgesetz, um P vor die Summe zu ziehen?


Das ist gerade die Anzahl der linear unabhängigen Spalten. Wenn wir vorher eine Auswahl an linear abhängigen Spalten $(\vec{d}_i)_{i\in J}$ hatten, sind auch $(P\vec{d}_i)_{i\in J}$ linear abhängig (siehe 2)). Falls wir eine Auswahl an linear unabhängigen Spalten $(\vec{d}_i)_{i\in J}$ hatten, so können die  $(P\vec{d}_i)_{i\in J}$ aber linear abhängig sein (wenn $P$ nicht invertierbar ist)


Wieso können die frisch generierten Spalten linear abhängig sein, wenn P nicht invertierbar ist? Und welche Zeilenumformungen wären damit gemeint, dass die Elementarmatrix nicht invertierbar ist?



Falls wir eine Auswahl an linear unabhängigen Spalten $(\vec{d}_i)_{i\in J}$ hatten, so sind die $(P\vec{d}_i)_{i\in J}$ auch linear unabhängig sein


Wieso sind im Falle der Invertierbarkeit die $(P\vec{d}_i)_{i\in J}$ auch linear unabhängig?


Viele Grüße,
X3nion



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-02-14


2019-02-14 00:30 - X3nion in Beitrag No. 3 schreibt:
Mit welcher Regel kannst du hier das P vor die Summe ziehen? Es ist ja $\sum \limits_{i=0}^{n} \lambda^{i} P \overrightarrow{d}_{i} = \lambda^{1} P \overrightarrow{d}_{1} +\ldots + \lambda^{n} P \overrightarrow{d}_{n}$.
Benutzt du das Gesetz, die $\lambda^{i}$'s jeweils vor die $\overrightarrow{d}_{i}'s$ zu schreiben? Welches Gesetz wäre das?
Und benutzt du dann das Distributivgesetz, um P vor die Summe zu ziehen?
Die Abbildung $x\mapsto Px$ ist linear.


Wieso können die frisch generierten Spalten linear abhängig sein, wenn P nicht invertierbar ist?
Das passiert, wenn sich einige Spalten im Kern von P befinden. Rechne es an einem Beispiel nach.


Und welche Zeilenumformungen wären damit gemeint, dass die Elementarmatrix nicht invertierbar ist?
Solche gibt es nicht, alle sind invertierbar. Das wird im Satz danach klar gestellt. Es ist aber nicht wichtig fuer die Aussage, dass der Spaltenrang nur abnehmen kann. Grob gesagt, gilt also $\mathrm{rng}(PA)\leq\mathrm{rng}(A)$ fuer jedes passende $P$, egal ob Elementarmatrix oder nicht.


Wieso sind im Falle der Invertierbarkeit die $(P\vec{d}_i)_{i\in J}$ auch linear unabhängig?

Das ist das gleiche Argument wie oben. Waeren $P\vec{d}_i$ linear abhängig, gaebe es $\lambda^i$ nicht alle Null mit
\[\sum_{i=1}^n\lambda^iP\vec{d}_i=\vec{0}\] Also folgt
\[\sum_{i=1}^n\lambda^i\vec{d}_i=\sum_{i=1}^n\lambda^iP^{-1}P\vec{d}_i=P^{-1}\vec{0}=\vec{0}\]



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17


Hi zusammen,

mir ist es jetzt klar geworden, vielen Dank nochmal für eure Tipps!

Viele Grüße,
X3nion



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-09


Hallo zusammen,

sorry, wenn ich den folgenden Satz/Beweis nochmals aufgreife.

Mir ist im Beitrag No. 4 nicht klar, wann in einer Matrix A aus linear unabhängigen Spalten linear abhängige Spalten werden können, wenn man mit einer nicht-invertierbaren Matrix P von links dranmultipliziert, wenn sich Spalten der Matrix A im kern von P befinden.

Ich habe versucht, Beispiele zu erstellen, komme aber auf keinen grünen Zweit.

Möchtest du, ochen, oder jemand anders vielleicht mit einem Beispiel darauf antworten?

Ich wäre sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion


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Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-09


Versuche als P die Nullmatrix.

mfg
thureduehrsen



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-09


Hallo thureduehrsen,

ja klar, damit ist es eindeutig!

Tritt der Fall aber ausschließlich ein, wenn sich die Spalten im kern befinden?

Ich hatte mal die Matrix $P:= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ versucht. Diese angewendet auf $A:= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ergäbe dann

\[
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
Es gilt $ker P = \langle \binom{1}{-1} \rangle$, aber keine der Spalten von A liegt im Kern von P, so wie ochen es gemeint hatte.

Viele Grüße,
X3nion


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Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13


Hallo zusammen!

Könnte vielleicht jemand noch meine letzte offene Frage beantworten?

Die Thematik war in Beitrag No.4, in welchem ochen meinte, dass bei einer Auswahl an linear unabhängigen Spalten einer Matrix diese durch Multiplikation einer nicht-invertierbaren Matrix P von links linear abhängig werden können, wenn sich einige Spalten im kern von P befinden.

In Beitrag No. 8 habe ich eine Matrix A und eine Matrix P gewählt und eine lineare Abhängigkeit generiert. Hier ist es aber so, dass sich keine Spalten im kern von P befinden.

Was meint ihr, wie könnte ochen das gemeint haben?


Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr euch den Punkt anschauen würdet!

Viele Grüße,
X3nion


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Thema ist erledigt!

VG X3nion


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X3nion hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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