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Zahlentheorie » Primzahlen - sonstiges » Satz zu 3 aufeinanderfolgenden PZ
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Schule Satz zu 3 aufeinanderfolgenden PZ
Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-13


Gibt es eigentlich eine einzige Primzahl, von der gilt: <math>(p_{1} + p_{2} < p_{3})</math>, wobei die PZ aufeinanderfolgende PZ sind?

Wenn Python den Befehl next prime hätte, würd ich das mal schnell programmieren .... Das kann ich mir aber sparen, denn es kann eine solche PZ nicht geben:

Nehmen wir an, die beiden kleinern PZ wären aufeinanderfolgende ungerade Zahlen (PZ-Zwillinge). Dann müßte vor den Doppelten der kleineren Zahl eine PZ kommen laut Tsch.  Wenn aber vor dem Doppelten der kleineren Zahl schon eine PZ kommt, kann <math>p_{3}</math>, die ja größer als das Doppelte der kleineren PZ sein muß, und größer als <math>(p_{1}+p_{2})</math>, nicht die nächstgrößere PZ zu <math>p_{2}</math>, sein. Ergo kann <math>p_{3}</math> nie größer als <math>(p_{1}+p_{2})</math> sein.

Im Umkehrschluß heißt es dann, daß die nachfolgende PZ zu einer beliebigen PZ schon spätestens vor dem Doppelten der Vorgänger PZ kommt, und nicht erst spätestens vor dem Doppelten der PZ selbst, wie Tscherbytscheff bewies.

Die Ausnahmen sind:
1. 2,3,5, (5>4)
2. 3,5,7, (7>6) und
3. 5,7,11, (11>10),
wo jeweils die <math>p_{3}</math> > 2*<math>p_{1}</math>,
wegen der bekannten Ausnahme-PZ, der 2, die gerade ist,
wo also <math>p_{3} = (p_{1} + p_{2})</math>,
und den andern beiden (2. und 3.),
wo auch <math>p_{3} </math> > 2*<math>p_{1}</math>.
Für alle anderen PZ>=11 gilt also:  <math>p_{3} < (p_{1} + p_{2})</math>

Hatte diesen Gedanken schon jemand? Ist eigentlich trivial....


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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-13


Hallo Bekell,

falls es Dir weiterhilft:

Unter den ersten hundert Millionen Primzahlen gibt es keinen solchen Fall, bei dem $p_{1}+p_{2}<p_{3}$ wäre.

LG Primentus



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-13


2019-02-13 23:37 - Primentus in Beitrag No. 1 schreibt:
Unter den ersten hundert Millionen Primzahlen gibt es keinen solchen Fall, bei dem $p_{1}+p_{2}<p_{3}$ wäre

kann ja auch nicht, siehe den "Beweis" oben ...

Gruss an Dich, Primentus


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-14


Ich denke, der Beweis ist nicht korrekt.

Insbesondere die Behauptung:
"Im Umkehrschluß heißt es dann, daß die nachfolgende PZ zu einer beliebigen PZ schon spätestens vor dem Doppelten der Vorgänger PZ kommt, und nicht erst spätestens vor dem Doppelten der PZ selbst, wie Tscherbytscheff bewies." ist falsch, wie das Gegenbeispiel 3 - 5 - 7 zeigt.

Der Satz von Bertrand-Tschebyschow besagt, dass es für jede natürliche Zahl n eine Primzahl p mit n<p<2n gibt.
Mit dem Ansatz n=p1 folgt die Existenz einer Primzahl p mit p1 < p < 2p1. Diese Primzahl p kann aber auch p2 sein, so wie bei den Primzahlen 3 - 5 - 7 der Fall.
Der Satz von Bertrand-Tschebyschow sagt uns, dass p3<2p2 ist, aber nicht p3<p1+p2.




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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-14


2019-02-14 09:37 - Kitaktus in Beitrag No. 3 schreibt:
Diese Primzahl p kann aber auch p2 sein, so wie bei den Primzahlen 3 - 5 - 7 der Fall.

ich denke, das habe ich ausgeschlossen, indem ich sagte: "wobei die PZ aufeinanderfolgende PZ sind"

Ich muß also präzisieren und hinzufügen: "...wobei die drei PZ aufeinanderfolgende PZ sind und P1 >=7 sein muß. "


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-14


2019-02-14 09:37 - Kitaktus in Beitrag No. 3 schreibt:
Der Satz von Bertrand-Tschebyschow sagt uns, dass p3<2p2 ist, aber nicht p3<p1+p2.
@Kitaktus
Das hatte ich nirgends behauptet.


Ich muß aber präzisieren: Ich behaupte, daß die nachfolgende PZ zu einer beliebigen PZ >= 11 schon spätestens vor dem Doppelten der Vorgänger PZ>=7  kommt, und nicht erst spätestens vor dem Doppelten der PZ selbst, wie Tscherbytscheff bewies.

Ich rede übrigens von 3 aufeinander folgenden  PZ, T. von spätesten Vorkommen einer PZ nach n. Das Ganze verwundert nicht, denn 2 und 5 sind ja sozusagen Sonder-PZ.

Ergo: Von drei aufeinanderfolgenden PZ > 7 der Folge der PZ, ist die Dritte immer kleiner als die Summe der ersten beiden.


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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-02-14


Hallo zusammen,

da ich auch gerade an NextPrime optimiere und neue Testzahlen gefunden habe, finde ich die Überschrift hier unpassend. Vorschlag:

Maximale Primzahllückengröße

(NextPrime ist ja nur eine von vielen Funktionen, Algorithmen & Sprachen  zur Ermittlung dieser Größe)


Dazu gibt es zig Internetseiten... angefangen bei
Wiki

über zig Zahlenfolgen wie hier

bis hin zu gewaltig großen Lücken, die durch Rekorde
oder Konstruktionen (Fakultät, # , ...) gebildet werden können.

Was uns allen schwer fällt (mir auch), ist die mathematische Formulierung
mit eindeutigen Funktionen und Operatoren.

Selbst beim "Satz" unter Bertrandsches Postulat

(auch eine mögliche Überschrift )
gefällt mir die p - Schreibweise nicht.

Besser finde ich:
Mathematik/Pseudo-Code
n < Prime(x) < 2*n, n > 1 && x=floor(x) && mindestens 1 Lösung für x 

Code auf der engl. Wiki-Seite:
Mathematik/Pseudo-Code
PrimePi(x)-PrimePi(x/2)>=1, x>=2
könnte man noch optimieren um das x/2 als ganze Zahl besser zu zeigen.



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-02-14


Im englischen gibt es noch eine Kenngröße "merit". Diese gibt an , um wieviel die Lücke x-fach größer ist bzgl. log(n).

Hier zu lesen:

www.primerecords.dk/primegaps/gaps20.htm

5103138 ist im übrigen der größte nachgewiesene Abstand zweier Primzahlen.

LG


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Scheystein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-02-14


Die Angabe der besagten Zahl 5103138 steht natürlich im Bezug zur genannten Kenngröße "merit >= 10". Man kann ja sehr leicht beliebig große Primzahllücken finden (über die Fakultät). Bei 1000! ist die nächste Lücke etwa schon 2738 Zahlen entfernt. Allerdings beträgt dort der merit nur 0.463.

Gruß
Scheystein


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"Was hast du hier zu suchen ?"



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-02-15


Ja, das ist schon klar...und bei primorial ist die Lücke noch größer.
Aber der Nachweis schon eines merit=1..2 stellt große Schwierigkeiten dar, weil alle Zahlen zwischen p1 und p2 auf PRP geprüft werden müssen.

Die besagten Zahlen mit 5M Abstand haben nur 216000 Stellen.

Gruß


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-02-15


@Bekell:

Es seien $3\leq p_1 < p_2 < p_3$ drei aufeinander folgende Primzahlen.
Die Behauptung lautet $p_1+p_2>p_3$ (1).
Deine Beweisidee besteht darin, dass Du die Vermutung (1) durch die schärfere Vermutung $p_1+p_1>p_3$ (für $p_1\geq 7$) (2) zeigen willst.
Für die Vermutung (2) greifst Du auf Bertrand-Tschebyschow zurück.
Damit lässt sich aber nur $p_1+p_1>p_2$ und $p_2+p_2>p_3$ zeigen, woraus weder (2) noch (1) folgt.

Ich vermute, Du hast aufgrund der Beispiele 3 - 5 - 7 und 5 - 7 - 11 noch die Bedingung $p_1\geq 7$ hinzugenommen (bzw. bei Dir $p_1\geq 11$).
Damit schließt Du die "kleinen" Gegenbeispiele aus.
Warum die verschärfte Behauptung auch für alle größeren $p$ gelten soll, bleibt letztendlich unklar. Es kann gut sein, dass diese Vermutungen gelten, aber ein Beweis ist hier nicht zu sehen.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-02-15


Mit einer Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulats kann man die Aussage zeigen: https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_prime.



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-15


Hallo Kitaktus, die "kleinen Gegenbeispiele" seine ausgeschlossen, deswegen, die Voraussetzung:

Es seien $7\leq p_1 < p_2 < p_3$ drei aufeinander folgende Primzahlen.
Es geht also um dran aufeinander folgende PZ, nicht um eine Beziehung zwischen einer nat. Zahl und einer PZ.

Die Behauptung lautet $p_1+p_2>p_3$ (1).
Okay

Deine Beweisidee besteht darin, dass Du die Vermutung (1) durch die schärfere Vermutung $p_1+p_1>p_3$ (für $p_1\geq 7$) (2) zeigen willst.
Okay

Für die Vermutung (2) greifst Du auf Bertrand-Tschebyschow zurück.
Damit lässt sich aber nur $p_1+p_1>p_2$ und $p_2+p_2>p_3$ zeigen, woraus weder (2) noch (1) folgt.
Okay

Warum die verschärfte Behauptung auch für alle größeren $p$ gelten soll, bleibt letztendlich unklar.
hm ...Okay

1. B.-T. sagt nichts über die Anzahl der PZ zwischen x und 2x, außer das dort mindestens 1 PZ existiert.
2. Wenn ich von 3 aufeinander folgenden PZ spreche, impliziert das, daß $p_2/2<p_1<p_2$  und daß $p_2<p_3<2p_2$.
3. Du tust so, als ob zwischen $p_1$ und $2p_1$ nur eine PZ sein darf, und die muß dann notwendigerweise $p_2$. Ich dagegen unterstellte unausgesprochen, daß mindestens 2 PZ zwischen $p_1$ und $2p_1$ sein müßten, was nicht beweisen ist.

Ja, Du hast recht, ich hatte mich wieder mal täuschen lassen ..... Meiner Verbindung zwischen den beiden B.-T. Fällen geht das Zwingende ab. Ich werd weiter drüber nachdenken ...




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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-02-15

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2019-02-13 22:45 - Bekell im Themenstart schreibt:
Gibt es eigentlich eine einzige Primzahl, von der gilt: <math>(p_{1} + p_{2} < p_{3})</math>, wobei die PZ aufeinanderfolgende PZ sind?

Hi Bekell.
Ich will nur nochmal sicher gehen:
Meinst du "direkt aufeinander folgende Primzahlen"?


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-16



Meinst du "direkt aufeinander folgende Primzahlen"?
JA!

Es gibt bei den PZ so viele unbewiesene Vermutungen, die niemand anzweifelt, wenn, wo es angebracht, man von den "Kleinen Gegenbeispielen" absieht, z.B.:
Anzahl PZ zwischen 0 und x > Anzahl PZ zwischen x und 2x



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-02-16


2019-02-16 07:37 - Bekell in Beitrag No. 14 schreibt:
Es gibt bei den PZ so viele unbewiesene Vermutungen, die niemand anzweifelt, wenn, wo es angebracht, man von den "Kleinen Gegenbeispielen" absieht, z.B.:
Anzahl PZ zwischen 0 und x > Anzahl PZ zwischen x und 2x

Naja, man muss da vorsichtig sein! Z.B. gibt es da die geringfügig verallgemeinerte Vermutung, dass die Anzahl der PZ in einem Intervall $(0,x]$ niemals kleiner ist als in einem "späteren" Intervall $(y,x+y]$ der gleichen Länge $x$, wobei $x,y\in\mathbb{N}_{>1}$. (Du hast oben sozusagen nur den Spezialfall $x=y$ hiervon betrachtet!) Sehr viel ungenauer, aber dafür einprägsamer (à la Bekell) kann man das auch so formulieren: Die Primzahldichte in einem Intervall einer gegebenen Länge ist niemals wieder so groß wie in einem Intervall der gleichen Länge am "Anfang" des Zahlenstrangs. Diese Vermutung ist aber, obwohl ebenfalls höchst plausibel, sehr wahrscheinlich falsch (s. hier)!



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Bekell
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Hallo Weird,

interessant, Dein Link, Danke.


sehr wahrscheinlich falsch

meint doch, Gegenbeispiel noch nicht gefunden ..., oder ?

Ich rede ja nicht von "späteren" Intervallen , sondern nur von den beiden nicht zu N sondern zu einer jeden PZ. Hier müßte es doch allein schon wegen der beiden Ausnahme PZ (2; 5) eine Aussage geben.

Es müßte doch relativ leicht zu beweisen sein, daß es im Intervall $(x ; 2x) ; (x>7)$ nicht nur 1 PZ und x-1 zus. Z. geben kann, oder? (Schon wegen der notwendige Teileranzahl)

Ideal wäre so eine Aussage: In jedem Intervall (x bis 2x) sind mindesten so viele PZ wie in (1/2 x bis x)


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weird
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2019-02-16 09:01 - Bekell in Beitrag No. 16 schreibt:
Hallo Weird,

interessant, Dein Link, Danke.

Ich rede ja nicht von "späteren" Intervallen , sondern nur von den beiden nicht zu N sondern zu einer jeden PZ. Hier müßte es doch allein schon wegen der beiden Ausnahme PZ (2; 5) eine Aussage geben.

Du redest sehr wohl von späteren Intervallen, indem du das Intervall (0,x] und das Intervall (x,2x], also dann ein "späteres Intervall" der gleichen Länge vergleichst, was die Anzahl der Primzahlen darin betrifft.

Es müßte doch relativ leicht zu beweisen sein,[...]

Plausible Vermutungen gibt es in der Zahlentheorie wie "Sand am Meer". Und ja, manchmal sind sie sogar nützlich, indem man gestützt auf sie Behauptungen aufstellen kann, welche man dann experimentell überprüfen kann. Die erste Hardy-Littlewood-Vermutung in obigem Link ist ein gutes Beispiel dafür, wo man dann mithilfe solcher "Plausibilitätsbetrachtungen" dann sogar Formeln für die Anzahl gewisser Primzahlkonstellationen bis zu einer gegebenen Schranke aufstellen kann, die in der Praxis erstaunlich genau zutreffen. An "plausiblen Vermutungen" fehlt es also nicht, was man in der Mathematik aber braucht sind "Beweise".



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-02-18


@Bekell: Bist Du dem Link in #11 mal gefolgt.
Hier kannst Du nachlesen, dass einige Deiner Vermutungen bereits bewiesen wurden. Z.B.: "Für hinreichend große n liegen im Intervall [n,2n] mindestens zwei Primzahlen."
Dabei kann man die "zwei" auch durch jede andere natürliche Zahl ersetzen. Dadurch werden nur die Ausnahme-Bereiche für "kleine" n größer.



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