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Integration » Integration im IR^n » Integral xy d(x,y)
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Universität/Hochschule J Integral xy d(x,y)
tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-15


Guten Abend,
ich verstehe nicht, wie sich die Grenzen hier zusammensetzen.
Also warum geht mein erstes Integral von 0 nach 1 und das andere von y^2 nach Wurzel y?


fed-Code einblenden



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-15


Hallo tinkaamelie,
zeichne es Dir doch mal auf, insbesondere die den Definitionsbereich begrenzenden Kurven $y=x^2$ und $x=y^2$. Was stellst Du dann fest?

Ciao,

Thomas



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17


Dass ich gar nicht weiß, wie ich das zeichnen soll.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-17


2019-02-17 12:21 - tinkaamelie in Beitrag No. 2 schreibt:
Dass ich gar nicht weiß, wie ich das zeichnen soll.

Halo tinkaamelie,

das sind zwei Normalparabeln. Das solltest du können. (Wir hatten dafür früher sogar Plastikschablonen.)



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17


Ich hab mich leider was das zeichnen angeht immer durchgemogelt.

Und was kann ich mit der Information, dass es sich um zwei Normalparabeln handelt anfangen?



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cripper
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-02-17


Hallo zusammen,

@tinkaamelie die Funktionen sehen so aus:

fed-Code einblenden

Wenn du \(x=y^2\) nach \(y\) auflöst, erhältst du die auf der y-Achse stehende Parabel. Dann siehst du den eingegrenzten Bereich (nach den Integralgrenzen zu urteilen der Bereich zwischen den Schnittpunkten).

Jetzt mach dir bitte klar, in welchem Bereich sich \(x\) und \(y\) im eingegrenzten Bereich bewegen, dann sollten auch die Integralgrenzen klar werden.

Gruß
cripper



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17


Warum sollte ich x=y^2 auf y auflösen?

Mit der Zeichnung kann ich so gar nichts anfangen, also ich sehe da keinen Zusammenhang mit meinen Grenzen



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-02-17


2019-02-17 14:56 - tinkaamelie in Beitrag No. 6 schreibt:
Mit der Zeichnung kann ich so gar nichts anfangen, also ich sehe da keinen Zusammenhang mit meinen Grenzen

Lies dir noch mal die Aufgabe durch. Und dann schau dir die Zeichnung an. Siehst du in der Zeichnng zwei Kurven?



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17


Ok, hab ich. Ich sehe zwei Kurven, aus denen kann ich aber keine Grenzen ablesen.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-02-17


2019-02-17 15:30 - tinkaamelie in Beitrag No. 8 schreibt:
Ok, hab ich. Ich sehe zwei Kurven, aus denen kann ich aber keine Grenzen ablesen.

Doch, kannst du. Siehst du auch den Berech, der durch die Kurven begrenzt wird? In welchen Grenzen kann sich x bewegen?



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17


Vermutlich ist die Grenze da, wo der Schnittpunkt ist.
x kann sich wahrscheinlich zum Schnittpunkt bewegen?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-02-17


Mal die Zeichnung mal ab oder drucke sie aus. Schreibe dann Zahlen an die Achsen.

Die Kurven schneiden sich ja sogar zwei Mal. Welchen Schnittpunkt meinst du?



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17


Im Ursprung und bei 1



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cripper
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-02-17


Okay, also du hast jetzt ja schonmal die beiden Schnittpunkte genannt. Wenn du jetzt den Bereich dazwischen mit \((x,y)\) beschreiben möchtest, welche Einschränkungen liegen dann für \(x\) und \(y\) vor? Du möchtest ja über den Bereich zwischen den beiden Schnittpunkten integrieren, also musst du die Integralgrenzen passend auf den Bereich festlegen.

Genauer: Wodurch wird \(y\) beschränkt? Sowohl nach oben als auch nach unten liegt da eine Schranke vor, die du vom Graph ablesen kannst.

Gruß
cripper



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-02-17


2019-02-17 16:10 - tinkaamelie in Beitrag No. 12 schreibt:
Im Ursprung und bei 1

In welchem Bereich bewegt sich also x?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17


0 und 1



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-02-17


Mein Lehrer hätte damals gesagt: Bitte antworte mit einem vollständigen Satz wink



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17


Unnötig. wink

x bewegt sich zwischen0 und 1.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-02-17


Okay, damit wäre das äußere Integral \(\int_0^1\) begründet. Jetzt musst du dir für ein festes \(x\in[0,1]\) überlegen, was das y noch machen kann.



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17


und wie bestimme ich die Grenzen für y? Nach Zeichnung wären diese ja wie x zwischen 0 und 1..



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2019-02-17


Ich sehe gerade, dass das äußere Integral über y läuft. (Danke cripper!) Aber das ist fast egal, da auch y zwischen 0 und 1 läuft. Welche Werte kann dann x in Abhängigkeit von y annehemen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.]



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2019-02-17


2019-02-17 19:03 - tinkaamelie in Beitrag No. 19 schreibt:
und wie bestimme ich die Grenzen für y? Nach Zeichnung wären diese ja wie x zwischen 0 und 1..

Für x=0 ist aber etwa y=1 nicht im Bereich zwischen den Kurven.



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cripper
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2019-02-17


Also \(x\in[0,1]\), dann stelle dir jetzt die Fragen anhand der Zeichnung:

\(y\) wird nach oben durch welche Kurve beschränkt?
\(y\) wird nach unten durch welche Kurve beschränkt?

Nachher steht dann etwas da wie:

\(...\leq y \leq ...\)

Und nein, die Grenzen für \(y\) sind nicht 0 und 1, wenn \(x\in[0,1]\) ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17


Das weiß ich nicht und ich sehe auch keine Möglichkeit diese Grenze zu bestimmen

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.20 begonnen.]



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17


Hä, y wird nach oben und unten durch beide Kurven beschränkt



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cripper
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2019-02-17


Nach oben  ist y bei festem x begrenzt durch \(\sqrt x\), nach unten durch was??



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.23 begonnen.]



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2019-02-17


2019-02-17 19:11 - tinkaamelie in Beitrag No. 24 schreibt:
Hä, y wird nach oben und unten durch beide Kurven beschränkt

Genau, die obere Grenze kennst du ja jetzt. Und die untere Begrenzungsfunktion lautet wie?



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17


Warum ist y nach ober duch fed-Code einblenden



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2019-02-17 19:16 - tinkaamelie in Beitrag No. 27 schreibt:
Warum ist y nach ober duch fed-Code einblenden

Die querligende Parabel ist \(x=y^2\)... dafür solltest du das nach \(y\) auflösen. Dann kommt nämlich \(y=\sqrt x\) für \(y>0\) raus.



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17


Aber warum sollte ich das tun? Und in der Lösung wird die obere Grenze durch fed-Code einblenden



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cripper
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2019-02-17


So, wenn man \(x\in[0,1]\) festhält, gilt \(x^2\leq y \leq \sqrt x\).

Warum gilt das?

Nun, \(y\) ist aus dem Bereich zwischen beiden Graphen, also zwischen \(x^2\) (das ist die Normalparabel auf der x-Achse) und \(\sqrt x\) (das ist der Teil der Normalparabel auf der y-Achse, der oberhalb der x-Achse liegt). Dadurch ist die obige Ungleichung klar. Du kannst nun aufgrund der Symmetrie (siehe die Winkelhalbierende zwischen x- und y-Achse) auch \(y\in[0,1]\) festhalten und erhältst analog zu der obigen Ungleichung, dass  \(y^2\leq x \leq \sqrt y\) gelten muss. Dann hast du auch schon deine beiden Grenzen geklärt.



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tinkaamelie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17


Warum nicht so:

fed-Code einblenden




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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, eingetragen 2019-02-17


Weil $\sqrt x$ nun einmal GRÖSSER ist als $x^2$ zwischen 0 und 1.

Ciao,

Thomas



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cripper
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Weil die obere Kurve \(\sqrt x\) ist und die untere Kurve \(x^2\). \(y\) ist kleinergleich der oberen Kurve und größergleich der unteren.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.31 begonnen.]



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tinkaamelie
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Okay, habe versucht das so zu machen bei einer anderen Aufgabe :)



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tinkaamelie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
tinkaamelie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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