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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Gleichmäßige Konvergenz Funktionenfolge
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Autor
Universität/Hochschule J Gleichmäßige Konvergenz Funktionenfolge
Euler_eleluler
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.02.2019
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-16


Guten Abend,

ich soll die Funktionenfolge $f_n$(x)=$x \cdot (x^n-1)$ auf gleichmäßige Konvergenz untersuchen im Intervall [0,$\infty$]

Okay, dazu muss sie punktweise konvergieren.

Setze ich also $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f_n}$ erhalte ich die Grenzfunktion f(x)=-x. Das stimmt doch soweit, oder? Oder bin ich hier schon komplett daneben?

f(x) kann ich ja nun einsetzen in $|f(x)-f_n(x)| < \epsilon$.

Mache ich das, erhalte ich:
    $|-x-(x \cdot (x^n-1)|$ = $|-x^{n+1}|$.

Jetzt weiß ich nicht so recht weiter... Füt jedes x aus dem Intervall muss die Folge jetzt konvergieren.. Irgendwie habe ich ein Brett vor dem Kopf.

Danke für jegliche Hilfe. Lg




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StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3236
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-16


Hallo Euler_eleluler,
Grenzwert f(x)=-x stimmt für alle x aus dem Intervall [0,1). Für x=1 kommt ein anderer Grenzwert heraus.

Viele Grüße,
  Stefan



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Euler_eleluler
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.02.2019
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-16


Hallo Stefan,

vielen Dank für deine Antwort. Ich sehe was du meinst. Damit zerfällt ja die punktweise Konvergenz schon.

Genügt das als Begründung dafür, dass die Funktion nicht gleichmäßig konvergiert, oder muss man hier zusätzlich noch irgendetwas betrachten?

Lg


Edit: Ich bin mir gerade unsicher, ob ich dann nicht die beiden einzelnen Intervalle betrachten muss? D.h f(x)=-x für |x| <1 und f(x)=0 für |x|> 1?



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cripper
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.02.2019
Mitteilungen: 55
Aus: Aachen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-16


Hallo Euler_eleluler,

gleichmäßige Konvergenz impliziert Stetigkeit der Grenzfunktion, wenn die Funktionenfolge für alle \(n\in\mathbb{N}\) stetig ist.

Welche Eigenschaft müsste die Grenzfunktion also notwendigerweise haben, damit die Funktionenfolge gleichmäßig konvergieren kann?

Gruß
cripper



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Euler_eleluler
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.02.2019
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-16


Hallo cripper,

naja, sie muss für alle $x$ aus dem Definitionsbereich existieren..

Die Frage ist..ist die punktweise Konvergenz gestört, wenn in einem Definitionsbereich verschiedene Grenzfunktionen für versch. x auftreten? Also so wie in dem Beispiel, ich denke eben ja..

Lg



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cripper
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.02.2019
Mitteilungen: 55
Aus: Aachen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-02-16


Nein, sie muss nicht nur existieren, sondern auch stetig sein. Du willst doch auf gleichmäßige Konvergenz untersuchen. Die Grenzfunktion ist, wie Stefan bereits gemeinsam mit dir herausgearbeitet hat nicht stetig in \(x=1\). Also kann die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergieren.

Edit: Zu deiner anderen Frage: Nein, die Funktionenfolge kann dennoch punktweise konvergieren und das tut sie auf \([0,1]\) auch und zwar ist \(f(x)=-x\) für \(x\in[0,1)\) und \(f(x)=0\) für \(x=1\).



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Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11307
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-02-16


Hallo,
entweder Dein Intervall ist falsch oder die nichtglm. Konvergenz ist trivial, weil die Funktionenfolge nicht mal punktweise konvergiert.
Gruß Wauzi


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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Euler_eleluler
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.02.2019
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-16


@cripper, danke, dass hat einiges geklärt..

@Wauzi, tatsächlich ist das Intervall in der Altklausur so gegeben.

 Aufgabe damit geklärt, danke an alle.  smile



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