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Schulmathematik » Geometrie » Planimetrie - Flächeninhalt eines Kreissegments
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Schule J Planimetrie - Flächeninhalt eines Kreissegments
WinstonYT
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.02.2019
Mitteilungen: 24
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-21


Kurze Worte:
Leider komme ich nicht ganz auf die Lösung und wir haben keine Lösungswege erhalten sondern nur das Resultat...

Wo ich stehen bleibe:
Grosser Kreis Flächeninhalt =r²⋅π
Wie bekomme ich nun die Länge r für den Kreissektor wenn ich nur den r für den ganzen kreis habe ?

Aufgabe:


Lösung:


(Bitte Lösungsweg nicht vergessen.)



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Caban
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 258
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-21


Hallo

Der Radius für das kleine Segement ist die Seitenlänge des größten Quadrats, dass vollständig in den Kreis eingeschrieben werden kann. Mache dir das durch eine Skizze klar!

Gruß Caban



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markusv
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Dabei seit: 24.01.2017
Mitteilungen: 216
Aus: Leipzig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-02-21


Der große Radius des Segmentes ist einfach bestimmbar. Die Fläche lässt sich darauf hin ermitteln über die Fläche des Halbkreises abgezogen des Kreissegmentes des großen Radiuses (weißer Bereich des Halbkreises).


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Hilfe bei der Erstellung von Vorlagen, wissenschaftlichen Arbeiten, Bewerbungen etc. in LaTeX unter help-latex(at)web.de



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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1026
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-21


Das erinnert mich an die Möndchen des Hippokrates ;)
So als kleiner Tipp ^^



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viertel
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Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26688
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-02-21


Wow eek
Das Ergebnis ist echt unerwartet.

Hi WinstonYT

Willkommen auf dem Planeten

Der Hinweis von Caban ist zwar richtig, abre eigentlich erst nachvollziehbar, wenn man die Länge des „großen Pfeils“, also den Radius des inneren Kreisbogens, kennt. Wie lang ist denn dieser Pfeil? Das ist vielleicht einfacher zu sehen, wenn du dessen Spitze ans Ende der Mondsichel legst.

Und dann ist die Fläche über Flächendifferenzen/-summen zu berechnen. Verbinde dazu den unteren Punkt mit den Enden der Sichel.

Gruß vom ¼


-----------------
Bild



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5727
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-02-21


2019-02-21 10:50 - MartinN in Beitrag No. 3 schreibt:
Das erinnert mich an die Möndchen des Hippokrates ;)
So als kleiner Tipp ^^
Es erinnert nicht nur daran, es _ist_ ein Möndchen des Hippokrates.



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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1026
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-02-21


Ich weiß, dass es das ist... und so verwunderlich ist das Ergebnis dann auch nicht ^^

Von daher kann es nicht schaden, sich damit mal zu beschäftigen - und zwei dieser Figuren hier passend zusammenzusetzen.



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WinstonYT
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.02.2019
Mitteilungen: 24
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21


Check ich immernoch nicht ich meine mir ist schon bewusst, dass man die Fläche des Sektor - Ganzen Kreis machen muss aber trotzdem erhalte ich nicht die Lösung ?



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SemiPrim4711
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.01.2019
Mitteilungen: 54
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-02-21


Hallo WinstonYT,

hier ein möglicher Lösungsweg. Nur öffnen wenn Du es nicht mehr selber lösen willst.

Gruß SP





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WinstonYT
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21


Ist das hier die Lösung:

((r*√2)^2)/2 = der Dreiecks (Der Flächeninhalt des Quadat=Dreick)

r^2*pi/2 = Flächeninhalt vom halben Kreis

Dreieck - halber kreis = Fläche des Segments

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]

Geändert: Ist falsch man bekommt nicht ganz den Flächeninhalt vom Segment



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WinstonYT
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Dabei seit: 21.02.2019
Mitteilungen: 24
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21


Die Katheten vom Dreieck sind doch gleich, deshalb braucht es doch kein Pythagoras anzuwenden.



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SemiPrim4711
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Dabei seit: 08.01.2019
Mitteilungen: 54
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-02-21


Hallo,

Du hast doch sehr gute Hinweise von MartinN und Kitaktus bekommen.

Wenn die Möglichkeit für dich besteht, dann schau doch mal im Internet nach den Möndchen des Hippokrates. Damit kommst Du zur Lösung.

In deiner Lösung kann ich r^2 als Endergebnis nicht finden und sie auch so nicht nachvollziehen.

Gruß SP

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]



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Caban
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 258
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-02-21


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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-02-21


Mal zur Inspiration:
www.youtube.com/watch?v=ck0jtHVotpM



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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-02-21


Hallo Martin

Da finde ich meinen Ansatz aus 12 etwas schöner.

Gruß Caban



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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1026
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-02-21


Ich finde ja die Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras (welche dahinter steht) schöner ^^

Etwa mit eckigen Möndchen:
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Hippokrates_eckig/Hippokrates_eckig.htm


Aber man kann es auch rein nach Schema F lösen und einfach die Flächen über Kreise und Rechtecke bestimmen.



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-02-21


Man kann es auch direkt rechnen:

Die grün/rote Fläche ist <math>\frac{1}{2}\pi r^2</math>
Mit <math>R=r\sqrt{2}</math> oder auch <math>R^2=2r^2</math> ist
die rot/orange Fläche <math>\frac{1}{4}\pi R^2</math>
Ziehen wir davon die orange Fläche mit <math>\frac{1}{2}R^2</math> ab, so bleibt
die rote Fläche <math>\frac{1}{4}\pi R^2-\frac{1}{2}R^2</math>
Zum Schluß ziehen wir also von der grün/roten Fläche die rote ab:
<math>\frac{1}{2}\pi r^2-\left(\frac{1}{4}\pi R^2-\frac{1}{2}R^2\right)=?</math>
<math>R^2</math> einsetzen, vereinfachen, und fertig.
Mit etwas Übung kann man die letzte Zeile auch direkt hinschreiben biggrin

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]



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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-02-21


Hallo viertel

Den rechenweg hatte ich am Anfang auch, bis ich den Weg über Ähnlichkeiten entdeckt habe, der mir aber besser gefällt, weil man wenig rechnen muss. Dadurch erkennt man, das man nur das orange Dreieck braucht
A=1/2*2r*r=r^2

Gruß Caban



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-02-22


Aus Viertels Zeichnung erkennt man gut:

Aus dem Satz des Pythagoras für das orangene Dreieck folgt:
Rotes Kreissegment an der Hypotenuse = Summe beider weißen Kreissegmente an den Katheten

Da der Durchmesser (= Hypotenuse) den Kreis in 2 gleiche Hälften teilt und in beiden dasselbe abgezogen wird (oben das Rote Kreissegment, unten beide weißen Kreissegmente) ergibt sich:
grünes Möndchen = orangenes Dreieck = 1/2 g * h = r^2
(mit Grundseite g ist der Durchmesser / Hypotenuse = 2r; Höhe h = r)




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WinstonYT
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.02.2019
Mitteilungen: 24
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-22


Beitrag No.16

Hat mir sehr geholfen vor allem wegen der grafischen Zeichnung!
Danke euch allen für die Unterstützung!

LG
Winston



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