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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Topologie » Keine Häufungspunkte bei abgeschlossener Menge
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Autor
Universität/Hochschule J Keine Häufungspunkte bei abgeschlossener Menge
curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-21


Hi,
nur eine kurze Verständnisfrage.
In meinem Matheskript wird definiert:

"Sei M <math> \subset \IR</math>. Liegt jeder Häufungspunkt von M in M, so heißt M abgeschlossen."

Dann folgen Beispiele, u.a.:
M:={a_1,...,a_n} als endliche Menge.

Hier heißt es, "M besitzt als endliche keine Häufungspunkte und ist daher abgeschlossen." (Beweis)

Wieso gilt eine Menge als abgeschlossen, wenn sie keine HP besitzt? Darüber wird in der Def. der HP ja nichts gesagt.



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-21


Hi,

das ist ein rein logisches Problem: Die Bedingung "Liegt jeder Häufungspunkt..." ist trivialerweise erfüllt, wenn es gar keine Häufungspunkte gibt.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21


ja, das habe ich schon gedacht, dass es auf der Logik beruht, aber worauf da genau?

Ich dachte es basiert  vllt. auf den Implikationsregeln, insb. "aus Falschem kann man alles folgern", aber hier wird ja nicht alles gefolgert, sondern nur die Abgeschlossenheit.



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-21


Na wenn man alles folgern kann, dann wohl auch die Abgeschlossenheit, oder? ;)



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-02-21


Wobei ja gar nicht die Abgeschlossenheit aus etwas falschem gefolgert wird, sondern $x\in M$ aus (der falschen Aussage) $x\text{ Häufungspunkt von }M$.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21


Dann könnte man aber doch genauso (mit gleicher Argumentation) sagen, solche endlichen Mengen sind offen, oder nicht?




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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-02-21


Wie genau willst du das mit der gleichen Argumentation machen?



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21


x ist Häufungspunkt => x <math>\notin M</math>



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-02-21


Um zu zeigen, dass eine Menge $M$ nicht abgeschlossen ist, musst du einen Häufungspunkt der Menge $M$ finden, der selbst nicht in der Menge $M$ liegt.

Bei einer Menge ohne Häufungspunkte ist das allerdings nicht möglich.
Daher muss diese Menge ohne Häufungspunkte abgeschlossen sein.





-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-02-21


2019-02-21 18:24 - curious_mind in Beitrag No. 7 schreibt:
x ist Häufungspunkt => x <math>\notin M</math>

Und dann?



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21


2019-02-21 19:02 - supermonkey in Beitrag No. 9 schreibt:
2019-02-21 18:24 - curious_mind in Beitrag No. 7 schreibt:
x ist Häufungspunkt => x <math>\notin M</math>

Und dann?

Was dann? Du wolltest, dass ich dir sage mit welcher Argumentation ich schließen könnte, dass die Menge offen ist. Wenn es keinen Häufungspunkt gibt und ich davon ausgehe, dass es einen gibt, kann ich aus dieser falschen Annahme alles schließen, also auch, dass dieser Häufungspunkt nicht in M liegt, womit die Menge offen wäre.

Ist das nicht die genau analoge Argumentation wenn ich sage, die Menge M hat keinen Häufungspunkt, also kann ich schließen, dass dieser Häufungspunkt in M liegt und daher die Menge abgeschlossen ist?

Für mich ist das demnach keine logische Argumentation oder ich erkenne zumindest irgendwas nicht richtig und wüsste gern wo mein Denkfehler ist.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-02-21


2019-02-21 22:14 - curious_mind in Beitrag No. 10 schreibt:
Wenn es keinen Häufungspunkt gibt und ich davon ausgehe, dass es einen gibt, kann ich aus dieser falschen Annahme alles schließen, also auch, dass dieser Häufungspunkt nicht in M liegt, womit die Menge offen wäre.

...

und wüsste gern wo mein Denkfehler ist.

Es gibt tatsächlich offene Mengen, die Häufungspunkte enthalten. Bei den meisten ist es sogar so.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21


Ok, ich könnte es auch so sagen:

M hat als endliche Menge keine Häufungspunkte. Wenn es Häufungspunkte gibt, können diese nur außerhalb von M sein, d.h. alle Häufungspunkte von M liegen außerhalb von M. Somit ist M offen.



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-02-21


Die Argumentation in Beitrag No. 12 ist völlig ok, außer dass das nichts mit "offen" zu tun hat. Du hast einfach eine falsche Definition.



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-02-21


Hallo,
vielleicht wird dieses Problem mit den fehlenden Häufungspunkten klarer, wenn wir die Definition mal umdrehen:
M heißt abgeschlossen, wenn alle HP von M in M liegen
war die Definition.
Also ist eine Menge nicht abgeschlossen, wenn es einen HP von M gibt, der nicht in M ist.
Eine Menge ist abgeschlossen, wenn sie nicht "nicht abgeschlossen" ist.
Das ist demnach der Fall, wenn es keinen HP von M gibt, der außerhalb von M liegt.
Das stimmt offensichtlich auch, wenn M keine HP hat.

Andererseits ist die Aussage "sie ist abgeschlossen wenn es keinen HP von M gibt, der außerhalb von M liegt" das gleiche wie "jeder HP von M liegt in M.
Gruß Wauzi


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


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Primzahlen sind auch nur Zahlen



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-02-21


2019-02-21 22:28 - curious_mind in Beitrag No. 12 schreibt:
Ok, ich könnte es auch so sagen:

...

alle Häufungspunkte von M liegen außerhalb von M. Somit ist M offen.

Es gibt tatsächlich offene Mengen, die Häufungspunkte enthalten. Bei den meisten ist es sogar so.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-02-21


2019-02-21 22:14 - curious_mind in Beitrag No. 10 schreibt:

Ist das nicht die genau analoge Argumentation wenn ich sage, die Menge M hat keinen Häufungspunkt, also kann ich schließen, dass dieser Häufungspunkt in M liegt und daher die Menge abgeschlossen ist?

Für mich ist das demnach keine logische Argumentation oder ich erkenne zumindest irgendwas nicht richtig und wüsste gern wo mein Denkfehler ist.


Nein, das ist keine analoge Argumentation.

Wandle zum Verständnis die Allaussage vielleicht einmal in eine äquivalente Existenzaussage um.

Das entspricht in solchen Fällen eher unserer naiven Intuition.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21


2019-02-21 22:33 - Wauzi in Beitrag No. 14 schreibt:
Hallo,
vielleicht wird dieses Problem mit den fehlenden Häufungspunkten klarer, wenn wir die Definition mal umdrehen:
M heißt abgeschlossen, wenn alle HP von M in M liegen
war die Definition.
Also ist eine Menge nicht abgeschlossen, wenn es einen HP von M gibt, der nicht in M ist.


Achsooooooo. Sagt das doch gleich! :-D

Ok, der Groschen ist gefallen, dann brauchen wir doch diese ganze Logikdiskussion gar nicht - ich bin zu bläd zum Umkehren von Aussagen. :-D

*Kopf -> Tisch*

Danke



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