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Beruf J Umformung der Dichtefunktion der Gamma-Verteilung
Meringe
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Aus: Freiburg, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-21


Guten Tag liebe Matroids-Poster,

bin ganz neu hier und hoffe das jetzt alles richtig gemacht zu haben.
Ich hätte eine Frage zu dem im Betreff genanntem Thema. In meinem Stochastik-Buch steht:

\[P(r) = P((0, t)) = 1 - e^{-\alpha t}\sum\limits_{k=0}^{r-1}\frac{(\alpha t)^k}{k!} = \int\limits_{0}^{t}\frac{\alpha^r}{(r-1)!}
x^{r-1}e^{-\alpha x} dx \\
g(t) := 1 - e^{-\alpha t}\sum\limits_{k=0}^{r-1}\frac{(\alpha t)^k}{k!}
\]
Die letzte Gleichung versuche ich noch nachvollziehen, im Buch wird als Erklärung gegeben, man solle einfach \\(g(t)\\) differenzieren und dann hätte man es. Leider ist das für mich nicht so klar wie dem Professor der es geschrieben hat. Könntet Ihr mir dabei helfen?
Das ist mein bisheriger Stand:

\[
g(t)^{\prime}=\alpha e^{-\alpha t} \sum\limits_{k=0}^{r-1}\frac{\alpha^k t^k}{k!}
- e^{-\alpha t} \sum\limits_{k=0}^{r-1}\frac{\alpha^k t^{k-1}}{(k-1)!} \overset{?}{=}
\frac{\alpha^r e^{-\alpha t} t^{r-1}}{(r-1)!}
\]
Nur ist mir sehr schleierhaft wie ich das letzte Fragezeichen oben lösen sollte. Ich habe es schon eine Stunde selbst versucht, bin leider auf keine Lösung gekommen. Auch Nachschlagen im Netz hat zu keiner Lösung geführt.



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wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
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Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-21


Hallo Meringe und willkommen auf dem Matheplaneten,
zuerst muss der Index der zweiten Summe bei 1 anfangen und nicht bei 0. Ziehe außerdem das \(\alpha\) vor der ersten Summe in die Summe hinein. Es bleibt eine Teleskopsumme übrig, von der nur der erste Summand überlebt.

lg Wladimir



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Meringe
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.02.2019
Mitteilungen: 5
Aus: Freiburg, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-21


Danke wladimir_1989,

Durch deinen Hinweis habe ich es gleich gesehen, dann sieht der Lösungswege so aus:
\[
g(t)^{\prime}=\alpha e^{-\alpha t} \sum\limits_{k=0}^{r-1}\frac{\alpha^k t^k}{k!}
- e^{-\alpha t} \sum\limits_{k=1}^{r-1}\frac{\alpha^k t^{k-1}}{(k-1)!}
\\
= e^{-\alpha t} \sum\limits_{k=0}^{r-1}\frac{\alpha^{k+1} t^k}{k!}
- e^{-\alpha t} \sum\limits_{k=1}^{r-1}\frac{\alpha^k t^{k-1}}{(k-1)!}
\\
= e^{-\alpha t} \sum\limits_{k=0}^{r-1}\frac{\alpha^{k+1} t^k}{k!}
- e^{-\alpha t} \sum\limits_{k=0}^{r-2}\frac{\alpha^{k+1} t^{k}}{k!}
\\
= e^{-\alpha t} \frac{\alpha^r t^{r-1}}{(r-1)!}
\\
=\frac{\alpha^r e^{-\alpha t} t^{r-1}}{(r-1)!}
\]

Vielen Dank für die Zeit!
Viele Grüße Meringe



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-21


Hallo,
du hast in der ersten Zeile noch die unteren Grenzen für die Indizes vertauscht. Sonst stimmt es aber.

lg Wladimir



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