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Mathematik » Geometrie » Aperiodische Parkettierung mit geteilter "Ivy leaf"-Kachel
Thema eröffnet 2019-03-13 14:46 von
Slash
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Universität/Hochschule Aperiodische Parkettierung mit geteilter "Ivy leaf"-Kachel
haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.80, eingetragen 2019-09-24 22:33


2019-09-24 21:04 - Slash in Beitrag No. 77 schreibt:
Diese zusätzlichen Seitenränder kommen bestimmt durch die falsche Kachel in der Mitte. Eine Lösung nur mit einer Sorte dürfte wieder symmetrisch sein. Das gilt dann auch für #76.

der seiten rand kommt nicht aus einem fehler, sondern er löst den unterschied der breiteren gegen die schmaleren sektoren in den alten bildern auf, ich versuchs zu erläutern:

schau mal bild #54 an und dreh die (schmalere) rote zipfelmütze 108° im UZ nach rechts bis sie über der (breiteren) blauen mütze so zu liegen kommt dass ihre rechtecke auf den jeweils oben auf den blauen rechtecken liegen

der seitenrand ist dann der untere teil, der nicht abgedeckte restteil der blauen mütze,

damit hab ich dann nicht 5 schmale + 5 breite mützen(sektoren) sondern 10 schmale(alle exakt gleich) + 5 seitenränder...

die problematische überlappung liegt in solch einem seitenrand teil



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.81, eingetragen 2019-09-25 00:18




monokachel! komplett fehlerfrei, und ich meine das ist im ersten anschein immer noch genauso aperiodisch angeordnet wie alle bisherigen.

haribo

nachtrag: möglicherweise hat sich aber auch ne unerwartete symetrie eingeschlichen, jede kachel könnte nämlich quer in zwei halbe getrennt werden, die halben wären dann sogar jeweils in sich symetrisch...



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.82, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-25 07:07


Sehr schön! Kannst du auch noch mal die Substitution mit den beiden kleinen Kacheln einzeichnen? Nur, wenn's keine Mühe macht. In meinem CAD müste ich jede Kachel einzeln von hand substituieren.

WIe läge jetzt die/eine Spirale? 1 oder 2 Arme?



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.83, eingetragen 2019-09-25 11:49


auch ich muss in jede kachel eine linie zeichnen aber, die mühe mach ich mir doch gerne,

es ergibt sich dabei, wie schon befürchtet, direkt eine symetrie
welche bei den unsubsituierten aber nicht auftritt!!!




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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.84, eingetragen 2019-09-25 12:53




die spirale coloriert analog zu deinem unteren bild in #22, bzw meinem #28
coloriert sind nur die alten grösseren achter-flächen welche ich mit 1-1; 1-2; 1-3 usw bezeichnet hatte

es gibt also immer noch 5 einer; 5 zweier; 5 dreier;usw. in unsymetrischer anordnung

durch die hier halbierten kacheln, erkennt man jetzt auch sofort die punktsymetrie, es gibt zu jeder farbigen teilkachel eine unkolorierte symetrisch zum mittelkreis



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.85, eingetragen 2019-09-25 13:50




hier hab ich nochmal die spiralcolorierung ins unsubsituierte bild #81 eingezeichnet:

man läuft auf dem spiralweg jeweils einfarbig über rechte und linke kacheln (gegenseitig gespiegelt), die rechten weisen immer nach aussen die linken nach innen

also IMO ists immer noch eine monokachel, welche asymetrisch ist, und in dieser (unsubsituierten-) grösse immer noch asymetrisch angeordnet ist.
es handelt sich also um eine aperiodische kachelage!

-----
hmm, oder wir müssten doch das dilemma anders auflösen, denn ganz klar kann man die gleiche kachel auch in mehreren anderen verschiebe-symetrien flächendeckend anordnen.

scheints, hab ich die aperiodische definition immer noch nicht verstanden?
oder sie hiermit widerlegt?
haribo



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.86, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-25 19:49


2019-09-25 13:50 - haribo in Beitrag No. 85 schreibt:
scheints, hab ich die aperiodische definition immer noch nicht verstanden?

Da gibt's nicht viel zu verstehen. Einfach ein wenig googeln. Hier ein Video zur APM. Wikipedia ist aber auch ganz gut.

Aperiodisch/Nich-periodisch/Quasi-Periodisch ist eine Parkettierung, wenn sich das Muster nicht aus einem Ausschnitt legen lässt. Und zwar unendlich.



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.87, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-25 20:53




Keine Ahnung, was das werden soll. Aber es sieht interessant aus. Ist natürlich kein Monotile, aber vielleicht ergibt sich ein neues Set für eine ap Kachelung.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.88, eingetragen 2019-09-25 20:54


was ich nicht verstehe ist deine aussage: dass man mit der kachel keinesfals, per anderer anordnung, eine fläche periodisch auslegen können darf

ich denke eine anordnung ist so oder so zu klassifizieren, was man sonst noch so anstellen könnte mit der kachel, oder den kacheln, ist doch eine unmöglich final zu überschauende frage





hier dieser collatz-vogel, für den wäre schon eine rotierte variante eine aperiodische...
collatz.online/parkettierung-7.html

skroll mal ~1/3 runter zu "unendlicher ausflug" da beschreibt er was ich meine:

in meinen worten, wir können bei der aperiodische anordnung einen sektor in eine richtung bis timbuktu fortsetzen, und jemand in timbuktu kann nicht entscheiden ob er auf einer periodischen fläche sitzt oder sie in endlicher entfernung aperiodisch ist...

im link, ein kleines bischen weiter unten geskrollt, das bild "gleichlauf" ist für ihn auch eine aperiodische anordnung und hat auch nur eine monokachel...

???

liebe grüsse haribo

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.86 begonnen.]



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.89, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-25 22:18


Da hast du aber auch eine Seite ausgegraben. biggrin

Als erstes sollte natürlich klar sein, dass ich hier keinesfalls als Experte auftreten will. Ich sage es auch nur so, wie ich es verstanden habe.

Spezialfall: Eine aperiodische Monokachel (EinStein Problem) darf nur "zwingend" eine aperiodische Parkettierung erlauben. Es darf keine Parkettierungsregeln geben bzw. diese müssen sich zwingend ergeben.

Ein aperiodisches Parkett hingegen darf auch gewissen Regeln folgen, wie bei den Spiralen z.B. Aber auch nicht jede Spirale ist automatisch aperiodisch, da man sie ja auch aus kongruenten Quadraten legen kann.

Die meisten Spiralen, egal ob mit einem Set aus 1,2 oder >2 Kacheltypen (Prototiles) sind aber aperiodisch, da sich das Znetrum nie wiederholt. Gerade bei Spiralen, aber auch bei vielen anderen aperioische Parketten gibt es allerdings immer wieder endlich große Bereiche, die sich unendlich oft wiederholen bzw. wiederfinden. Dann spricht man von Quasiperiodizität.



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.90, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-25 22:23


2019-09-25 20:54 - haribo in Beitrag No. 88 schreibt:
in meinen worten, wir können bei der aperiodische anordnung einen sektor in eine richtung bis timbuktu fortsetzen, und jemand in timbuktu kann nicht entscheiden ob er auf einer periodischen fläche sitzt oder sie in endlicher entfernung aperiodisch ist...

Ja, das ist richtig. Bei Spiralen besonders, bei z.B. einer Penrose-Parkettierung, könnte aber auch der in Timbuktu das aperiodische Parkett erkennen, wenn er es kennt. Bei einer Spirale mit ein oder zwei Prototiles ist das nicht möglich.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.91, eingetragen 2019-09-26 15:41


tim in buktu könnte natürlich am marktplatz anfangen eine fläche rauszureissen und eine neue spirale hinzuflastern, also er könnte schon draufkommen das noch was anderes geht,

sei die flächengrösse der monokachel 1 dann verbleibt tim um die spirale herum eine nicht zu belegende restfläche die auch genau n x 1 gross ist, kann er eine neue (duo-)kachel erfinden welche auch 1 gross ist und diese restfläche bedeckt?


die zweierspirale ist im selben set wie die dreierspirale #85 eingezeichnet, ist interessanterweise aber anders herum gewickelt




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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.92, eingetragen 2019-10-01 08:26




über eine eventuelle periodizität (oder auch nicht) muss ich noch nachdenken

ansonsten basiert es im gegensatz zu bisher auf nem 45° grad winkel anstelle von 36°, also eine achtel-kreis-teilung

als einheitsgraph wäre es bis auf die 4er mitte ein 2/3er, halbiert man jedes feld nochmals dann wäre es ein unendlicher 3er mit ner 4er mitte
drum die frage: kann man die mitte anders anordnen?



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.93, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-01 09:51


Lass uns mal an einer APM feilen. Spiralparkette sind dafür wohl ausgeschlossen, wegen der Sektoren. Einfach mal ein paar Formen entwerfen, die ein ap Parkett mit Lücken erzeugt. Dann können wir darüber nachdenken, was diese Lücken verursacht und wie man sie wegbekommen könnte.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.94, eingetragen 2019-10-01 14:53


mein wissensstand ist:"dass nicht nur spiralen ausgeschlossen werden müssen sondern alle anderen formen auch,"

stell dir vor wir hätten ein flächendeckendes zehneck (gibt es nicht weiss ich auch, gibt nur 3;4;6 ecke, aber für die idee soll es ein 10eck sein)
die weitere besonderheit soll sein das es in zehn verschiedenen varianten gefüllt werden könnte... dann könnten wir eine nummerierung dieser anordnung erfinden und eine unperiodische zahl nehmen z.B. PI und für jede dezimalstelle eine variante hindrehen und also ein unendliches unperiodisches gebilde erstellen...

aber genau wie bei den spiral-sektoren könnte man dann auch als periodische variante alle teile(also die zehnecke) gleich ausfüllen und hätte wieder ein regelmässiges unendlich grosses gebilde...

ich will sagen, eine kachel die für mehrere detail anordnungen geeignet ist, und dass muss sie ja immer sein, sonst kann sie gar keine verschiedenen varianten herstellen, wird immer auch regelmässig angeordnet werden können... schlicht weil es bei ner kachel mit n kanten nur n (oder 2x n wegen spiegelung?) möglichkeiten gibt sie an die nächste anzulegen

kein knoten kann einen besonders grossen grad haben, (wir hatten bisher maximal 10er knoten in #43), aber selbst 2 x 10! wäre noch weit weg von unendlich, spätestend danach würde es einen wiederholten knoten geben und der ist das erste detail einer periode...

also man kann evtl sehr sehr grosse und komplizierte kacheln konstruieren die sehr viele varianten zulassen, aber letztlich doch immer nur 2x n! endliche knoten legen, also immer weniger als unendlich



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.95, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-01 15:50


Mit Formen meinte ich Kacheln, nicht so etwas wie eine Spiralform, etc.

z.B. diese asymmetrische Kachel aus einem Starfish und zwei Hex-Tiles.

Es sind keine periodischen Parkette möglich, keine Spiralen, etc. Aber nach einigen Kacheln ist Schluss. Diese Kachel hat vermutlich die Heesch-Zahl 2.

Eine AMK muss also auch eine unendliche Heesch-Zahl haben, wie ein Quadrat.
Wo müsste man an dieser Kachel jetzt etwas "abknabbern", damit man das Parkett weiter legen kann? Wenn es kleine Lücken gibt, macht das ja erstmal nichts. Aber so könnte man sich einer Kachel-Form nähern mit der es funktionieren könnte. Reine Experimente.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.96, eingetragen 2019-10-01 16:42


ok dann nenn´s gebilde.. denke du verstehst schon

von #75 über#76 nach #81 hab ich eigentlich durchexerziert wie man von nem übertritt über einen untertritt zu ner geschlossenen fläche kommt

also man kann einen übertritt einfach bei allen anderen kacheln wegschneiden und sich dann überlegen wo man an jede kachel die vielen dadurch neu entstandenen löcher wieder dranhängen kann...

#76 links oben der kleine bildausschnitt zeigt was in dem fall notwendig war


ansich kann man doch irgendeine x-beliebige kachel so oft willkürlich auf die arbeitsfläche werfen bis der erste übertritt entsteht, und dann diesen bei allen kacheln entfernen, dann ist wieder kein übertritt vorhanden man kann also von der dabei neu entstandenen form neue dazuwerfen.... usw. usw. bis irgendwann alles voll ist

die frage ist halt ob die gesamt flächenbelegung dabei stetig zunimmt oder doch nur löchrig dahinalterniert...

vermute, solange möglich, dürfte es geschickter sein schon abgelegte kacheln, welche zufällig übertreten, zu drehen/verschieben/spiegeln bis sie frei liegen

also in meiner vorstellung eines automatischen programmes müsste dabei alle überhaupts möglichen kachel-gebilde irgendwann von alleine entstehen, sowohl die regelmässigen wie schachbrett als auch regelmässige dreiecke auf lücke als auch sechseck-waaben genauso wie die escher-getiere oder albrecht dürers pentagramme (kennst du die?) nebst allen denkbaren spiralen und dann eben noch alle neuen noch nicht gefundenen!!!

ehrlich kann ich dir nichtmal erklären welchen transformationsschritt ich machte von #76 nach #81, ich dachte dabei lange die form wird immer komplexer... und dann wurde sie auf einmal erstaunlicherweise wieder einfacher... ganz ohne (m-)einen freien willen



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.97, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-03 12:32


Ich versuche gerade die kleineste zusammenhängende Anordnung von regm. 6-ecken zu finden, mit der kein lückenloses Parkett möglich ist. Ich bin jetzt bei dieser hier gelandet:

Ohne Beweis muss ich natürlich sagen, dass ich bis jetzt noch keine Möglichkeit der lückenlosen Parkettierung gefunden habe.

Findest du noch eine andere mit gleich vielen oder sogar weniger 6-ecken?




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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.98, eingetragen 2019-10-04 18:20


2019-10-01 14:53 - haribo in Beitrag No. 94 schreibt:
mein wissensstand ist:"dass nicht nur spiralen ausgeschlossen werden müssen sondern alle anderen formen auch,"

stell dir vor wir hätten ein flächendeckendes zehneck (gibt es nicht weiss ich auch, gibt nur 3;4;6 ecke, aber für die idee soll es ein 10eck sein)
die weitere besonderheit soll sein das es in zehn verschiedenen varianten gefüllt werden könnte... dann könnten wir eine nummerierung dieser anordnung erfinden und eine unperiodische zahl nehmen z.B. PI und für jede dezimalstelle eine variante hindrehen und also ein unendliches unperiodisches gebilde erstellen...

aber genau wie bei den spiral-sektoren könnte man dann auch als periodische variante alle teile(also die zehnecke) gleich ausfüllen und hätte wieder ein regelmässiges unendlich grosses gebilde...


so nun hab ich ein beispielbild für obigen gedankengang gefunden, er basiert jetzt auch auf sechsecken,
gefunden sogar mit der sehr einfachsten grundkachel: einem rechtwinkligen dreieck mit einer 30° spitze... daraus lässt sich eine unsymetrische anordnung eindeutig beschreiben

ich wähle ein drittel eines sechsecks... ein fünfeck (verstehe diese aussage wer will)

ich kann dies fünfeck in drei verschiedenen weisen durch rechtwinklige 30° dreiecke belegen(dargestellt), und drei dieser fünfecke kann man zu nem sechseck zusammenlegen, damit ergibt es (sogar ohne verwendung von spiegelungen) 3³ also 27 verschiedene möglichkeiten das sechseck zu füllen (zwei davon sind beispielhaft im bild dargestellt), also deutlich über 10, damit kann man also zehn der varianten den dezimal-ziffern 0-9 zuordnen und einfach zeilenweise in einer waabenstruktur irgend eine irrationale zahl darstellen... also da die irrationale zahl eine unendliche dezimalziffernfolge hat, kann man eindeutig ein unendliches unregelmässiges parkett herstellen (drei verschiedene sechsecke sind dargestellt) sogar in timbuktu also gaaaaanz weit weg wäre dieses gebilde, im gegensatz zu den spiral-symetrischen versuchen bisher, noch direkt eindeutig immer unsymetrisch

gleichzeitig kann man aber selbstverständlich sofort auch aus der kachel die symetrische variante herstellen





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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.99, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-04 19:52


Ich muss gestehen, ich weiß zurzeit nicht worauf du hinaus willst. Mann muss auf jeden Fall genaue Regeln zum Auslegen des Parketts angeben. Das geht bei dem Dreieck z.B. sehr einfach mit dem Pinwheel tiling.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.100, eingetragen 2019-10-04 20:00


immer noch nachdenken über den punkt dass entweder ein unsymetrisches gebilde endlos grosse gleichmässige areale hat wie die spiral-igen oder eben  andrerseits die frage ob es immer auch ne einfache anordnung der gleichen kachel geben wird

drum suchte ich erstmal eine möglichst einfache kachel welche man eindeutig unsymetrisch anordnen kann

ich meine ich habe eine eindeutige auslegungsstrategie angegeben, (?)
haribo



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.101, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-04 21:09


Ok, ich versuche gerade den anderen Weg zu gehen, also eine möglichst einfache Kachel zu finden, die kein periodisches Parkett zulässt, und dann untersuchen, wie und warum es zu welchen Lücken in einer aperiodischen Anordnung kommt. Diese Lücken sollten dann alle gleich sein, also einer weiteren Kachel entsprechen.

Auf alle Fälle ist es ein super schweres Problem, denn sonst hätten es Experten wie Branko Grünbaum schon vor Jahrzehnten gelöst, wenn auch mit einem Beweis, dass es so eine Monokachel nicht geben kann.

Hier ist noch eine interessante Seite mit jeder Menge Berechnungen. Habe ich aber bis jetzt nur überflogen.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.102, eingetragen 2019-10-05 03:34


inzwischen bekomme ich kacheln als blöcke gezeichnet, die ich kopieren und hinschieben/drehen/spiegeln kann und dann nachher alle gleichzeitig verändern... immer noch ziemlich kompliziert zum bearbeiten aber besser als wie bisher (immer alles neu konstruieren)

damit hab ich bild #92 in mehreren schritten weiterentwickelt, (die schritte sind schon jetzt, auch für mch, kaum mehr nachvollziebar) es bleiben dabei die von dir angegebenen löcher (ganz in der mitte der rote wären dann drei dreieckchen zusammengesetzt)

aber was fängt man mit den löchern an? direkt stopfen geht nicht sonst wären sie ja nicht entstanden -bzw ich komme gerade nicht weiter dabei-... irgendwie müsste man sie nach aussen schieben?



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.103, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-05 08:52


Sind eben alles Experimente. Und ab und zu gibt es beim Ausprobieren einen Aha-Effekt auf den man dann logsch aufbauen kann.

Deine letzte Kachel ist nicht ausbalanciert, besitzt also mehr äußere als innere Ecken die zusammenpassen. Daher die Lücken. Die AMK müsste also ausbalanciert sein, wobei ich da an Ecken und Rundungen denke, damit der Verlegewinkel variable ist. Wie bei dieser Kachel in dem Numberphil Video.

Und von der Rotationssymmetrie/Spiralform müssen wir uns verabschieden. Das kann ja nicht funktionieren. Aber trotzdem könnte man in deinem letzten Bild versuchen die Ein- und Auskerbungen so zu erweitern/reduzieren, dass die Dreieckslücken flächenmäßig insgesamt kleiner werden und dann eben keine Dreiecke mehr sind. So ähnlich wie man sich bei der Integralrechnung an eine Kurvenfläche durch Rechtecke oder Dreiecke annähert.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.104, eingetragen 2019-10-05 14:50


noch möchte ich mich noch nicht von der spiral-symetrie verabschieden, auch wenn sie wohl nie zu nem ziel führt ist sie doch gut geeignet um techniken zu erlernen

ich hatte ja eine kachel für die 10 teilige spirale gefunden und acker jetzt an der 8 teiligen, fals ein prinzip klar wird danach an der 6 teiligen

letztere ermöglicht dann doch evtl. auch mehrere spiralen die escher-mässig ineinanderlaufen, dass dürfte noch spannend sein

also die dreieckchen konnte ich nach ausdauernder analysierung und etlichen spinn-off versuchen jetzt eliminieren... dazu reduzierte ich die zeichnung auf möglichst wenige entscheidende situationen, (8 davon hab ich ermittelt)

bleibt derzeit der rote untertritt, da eine frühere konstruktion mit der kachel aus #92 einen übertritt hatte bin ich guten mutes

haribo



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.105, eingetragen 2019-10-06 12:53


kleiner ist die rote, jetzt geteilte, untertritt fläche nicht geworden, aber etwas geometrischer...

ziemliche gehirn-saltos um weiter zu kommen erforderlich



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.106, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-06 13:15


Das wird schon noch. Der Triplet-Kite ist auch aus so einem Brainstorming entstanden. cool

Haben die Zahlen und Kreise eine Relevanz für die Kachel oder nur für die Anordnung?



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.107, eingetragen 2019-10-06 15:44


kreise sind meine ankerpunkt fürs zeichnen, lagen mal in der mitte der einen hälfte, also liegen sie in jeder zeichnung an der gleichen stelle und ergeben hinterher z.B. die spirale

ich variiere ja nur die kachelform und nie die einzelanordnung

zahlen war die suche nach "wie viele verschiedene" dreh /spiegel anordnungen muss ich beachten um alle anordnungs möglichkeiten abzudecken

ursprungszeichnung ist #92, um 1/16el im UZ gedreht und dann die vier rechten sektoren um eine stufe nach unten versetzt, daraus ergab sich die erste überschneidung in der mitte, bei bedarf mach ich nochmal ein bild davon?



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